Problema variazionale

[sant3]

Salve a tutti, vi propongo un problema di fisica richiedente metodi variazionali. Ho una fune inestensibile, di spessore trascurabile, densità lineare costante e lunghezza assegnata. La tengo per le due estremità in modo che queste si trovino alla stessa altezza rispetto al terreno. Che forma assume? I "dati sperimentali" mi dicono che si tratta di una parabola o di una catenaria (so che sono curve molto diverse, ma senza piano cartesiano diventano indistinguibili), ma come dimostrarlo? E' un problema isoperimetrico che ho provato a ricondurre al Problema di Didone (quello di area massima), la cui soluzione, purtroppo, è una circonferenza. La prima condizione da imporre è sicuramente la lunghezza. La seconda?

[sonoqui_1]

Le condizioni da imporre sono le equazioni di equilibrio statico con le condizioni al contorno, la derivazione la puoi trovare qui
http://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria

Quello che intendi dire nella seconda parte del tuo messaggio è che la forma della curva secondo cui si dispone la fune dipende dalla formula (4) e questa formula dipende dalla metrica della superficie su cui sono fissate le coordinate x e y?
Alla curvatura della fune tesa corrisponde una distribuzione di forze che la equilibrano, per cui, si dovrebbero avere delle forze di reazione sulla fune della superficie su cui è disposta. Nei dati del problema non è specificato questo, non ci sono altre forze di reazione oltre a quella presenti agli estremi e la forza distribuita è solo quella di gravità, costante.
Diversa sarebbe la situazione se la fune fosse sospesa mantenendosi a contatto su una superficie curva ad esempio cilindrica, con asse verticale, scegliendo delle coordinate cilindriche per cui $vecg$ è uniforme. In questo caso, se la superficie è in grado di reagire sulla fune, può esserci la distribuzione di forze necessaria.