Problema Urto Anelastico
Il problema è il seguente:
Una barretta di lunghezza l e massa M può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo. Essa viene portata in posizione orizzontale e lasciata andare da ferma; quando passa per la posizione verticale, il suo estremo libero urta, in modo completamente anelastico, una massa puntiforme m inizialmente ferma. Trascurando gli attriti del perno calcolare:
-L'elongazione massima θ della barretta dopo l'urto;
-La reazione vincolare del perno nella posizione verticale subito dopo l'urto;
-La reazione vincolare del perno nel punto di massima elongazione.
Io ho trovato la velocità angolare subito prima dell'urto usando la conservazione dell'energia, ma ora siccome l'urto è anaelastico posso usare solo la conservazione del momento angolare per trovare le velocità finali. Però in questo modo ho una solo equazione e due incognite. C'è qualcosa che mi sfugge
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Una barretta di lunghezza l e massa M può ruotare attorno ad un asse orizzontale passante per un suo estremo. Essa viene portata in posizione orizzontale e lasciata andare da ferma; quando passa per la posizione verticale, il suo estremo libero urta, in modo completamente anelastico, una massa puntiforme m inizialmente ferma. Trascurando gli attriti del perno calcolare:
-L'elongazione massima θ della barretta dopo l'urto;
-La reazione vincolare del perno nella posizione verticale subito dopo l'urto;
-La reazione vincolare del perno nel punto di massima elongazione.
Io ho trovato la velocità angolare subito prima dell'urto usando la conservazione dell'energia, ma ora siccome l'urto è anaelastico posso usare solo la conservazione del momento angolare per trovare le velocità finali. Però in questo modo ho una solo equazione e due incognite. C'è qualcosa che mi sfugge
Spero che qualcuno possa aiutarmi
Risposte
la massa resta attaccata alla sbarra
detta $omega$ la velocità angolare subito dopo l'urto e $v$ la velocità della massa,si ha $v=omegal$
detta $omega$ la velocità angolare subito dopo l'urto e $v$ la velocità della massa,si ha $v=omegal$
Ah ecco! Grazie, ci avevo pensato ma non ero convinta. Scusa la domanda stupida ma quindi ogni volta che si ha un urto completamente anelastico le due masse dopo l'urto restano sempre attaccate?
sì,per definizione
Allora, vorrei sapere se sono giusti i passaggi che ho effettuato:
$ omega i= sqrt(3g/l) $
$ (Ml^2)/3omega i=((Ml^2)/3 + ml^2)omega f $
da questa ricavo la velocità angolare finale
$ omega f= (Msqrt(3g/l))/(M+3m) $
Poi usando la conservazione dell'energia per la massa m scrivo
$ 1/2 ml^2 omega f^2=mgh $
da cui
$ h=(3lM^2)/(2(M+3m) $
quindi
$ vartheta =arccos ((l-h)/l) $
Ho commesso errori?
$ omega i= sqrt(3g/l) $
$ (Ml^2)/3omega i=((Ml^2)/3 + ml^2)omega f $
da questa ricavo la velocità angolare finale
$ omega f= (Msqrt(3g/l))/(M+3m) $
Poi usando la conservazione dell'energia per la massa m scrivo
$ 1/2 ml^2 omega f^2=mgh $
da cui
$ h=(3lM^2)/(2(M+3m) $
quindi
$ vartheta =arccos ((l-h)/l) $
Ho commesso errori?
fino a $omega_f$ è corretto
ma poi,anche l'asta ha una sua energia cinetica e anche il suo peso compie un lavoro negativo
ma poi,anche l'asta ha una sua energia cinetica e anche il suo peso compie un lavoro negativo
quindi sarebbe $ 1/2((Ml^2)/3+ml^2)omega f^2=(M+m)gh $
$ h=((Ml^2)/3+3ml^2)/((M+m)6g)omega f^2 $ ?
$ h=((Ml^2)/3+3ml^2)/((M+m)6g)omega f^2 $ ?
scusa se non ti rispondo in maniera esplicita,ma preferisco farti ragionare :
per quanto riguarda il lavoro totale non ci siamo,perchè la variazione di quota del centro di massa dell'asta non coincide con la variazione di quota della corpo attacato
per quanto riguarda il lavoro totale non ci siamo,perchè la variazione di quota del centro di massa dell'asta non coincide con la variazione di quota della corpo attacato
"stormy":
scusa se non ti rispondo in maniera esplicita,ma preferisco farti ragionare :
per quanto riguarda il lavoro totale non ci siamo,perchè la variazione di quota del centro di massa dell'asta non coincide con la variazione di quota della corpo attacato
Figurati, preferisco capirle le cose più che averle fatte da qualcuno ^^
Vediamo se ho capito, questa variazione di quota che ho trovato io è riferita al centro di massa del sistema asta+blocchetto?
Invece a me serve la differenza di quota del blocchetto.
Ma non riesco a capire come continuare u.u
supponiamo che ,al momento dell'urto, il corpo attaccato abbia quota $0$ ed il centro di massa dell'asta abbia quota $l/2$
detto $theta$ l'angolo di massima elongazione,con un po' di trigonometria si vede che la nuova quota del primo è $l-lcostheta$,la nuova quota del secondo è $l-l/2costheta$
adesso puoi calcolare i 2 lavori
detto $theta$ l'angolo di massima elongazione,con un po' di trigonometria si vede che la nuova quota del primo è $l-lcostheta$,la nuova quota del secondo è $l-l/2costheta$
adesso puoi calcolare i 2 lavori
Ah quindi devo calcolare i lavori per i due corpi separatamente?
$ 1/2ml^2omega f^2=mg(l-lcosvartheta ) $
$ 1/2(Ml^2)/3omega f^2=Mg(l-l/2cosvartheta ) $
ma così facendo ottengo due valori diversi per $ cosvartheta $
$ 1/2ml^2omega f^2=mg(l-lcosvartheta ) $
$ 1/2(Ml^2)/3omega f^2=Mg(l-l/2cosvartheta ) $
ma così facendo ottengo due valori diversi per $ cosvartheta $
attenzione
prima di tutto,la variazione di quota del centro di massa dell'asta è $(l-l/2costheta)-l/2=l/2-l/2costheta$,quindi devi ricalcolare un lavoro
poi,è chiaro che i lavori si sommano algebricamente(sono entrambi negativi)
detto $L$ il valore assoluto della loro somma ,uguagli $L$ all'energia cinetica totale
prima di tutto,la variazione di quota del centro di massa dell'asta è $(l-l/2costheta)-l/2=l/2-l/2costheta$,quindi devi ricalcolare un lavoro
poi,è chiaro che i lavori si sommano algebricamente(sono entrambi negativi)
detto $L$ il valore assoluto della loro somma ,uguagli $L$ all'energia cinetica totale
quindi $ vartheta $ lo ricavo da
$ 1/2((Ml^2)/3+ml^2)omega f^2=gl(1-cosvartheta )(m+M/2) $
Invece la reazione vincolare del perno nella posizione verticale subito dopo l'urto sarà uguale all'impulso?
$ 1/2((Ml^2)/3+ml^2)omega f^2=gl(1-cosvartheta )(m+M/2) $
Invece la reazione vincolare del perno nella posizione verticale subito dopo l'urto sarà uguale all'impulso?
"Silvere":
invece la reazione vincolare del perno nella posizione verticale subito dopo l'urto sarà uguale all'impulso?
chiaramente no,se non altro perchè non sono uguali neanche dimensionalmente
bisogna partire dall'equazione
$vecR+(m+M)vec(g) =(m+M)veca_(cm)$
per calcolare $a_(cm)$ bisogna determinare la posizione del centro di massa(e questo si fa velocemente) e la legge oraria di
$theta$
per il calcolo della legge oraria è consigliabile partire dall'equazione $M=I(domega)/(dt)=I ddot(theta) $ e vedere il sistema come un pendolo composto
questa volta con $M$ si intende il momento risultante delle forze rispetto al punto in cui è incernierata l'asta e con $I$ il momento di inerzia del sistema asta-massa sempre rispetto a questo punto
Il centro di massa del pendolo composto si troverà a una distanza $ (M*l/2+m*l)/(M+m) $ dal perno
E il momento d'inerzia del sistema rispetto al pendolo sarà $ (Ml^2)/3+ml^2 $
Quindi l'equazione $ M=I(domega)/(dt)=I ddot(theta) $ diventa
$ (M+m)*g*sinvartheta *(M*l/2+m*l)/(M+m)=((Ml^2)/3+ml^2)(domega)/(dt) $
e ora per ricavare la legge oraria devo integrare?
E il momento d'inerzia del sistema rispetto al pendolo sarà $ (Ml^2)/3+ml^2 $
Quindi l'equazione $ M=I(domega)/(dt)=I ddot(theta) $ diventa
$ (M+m)*g*sinvartheta *(M*l/2+m*l)/(M+m)=((Ml^2)/3+ml^2)(domega)/(dt) $
e ora per ricavare la legge oraria devo integrare?
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