Problema Termodinamica
Salve, ho un problema di termodinamica,se mi date un po una mano, che venerdì ho l'esame.
Un gas ideale biatomico a pressione di 1Atm, volume 1 litro e temperatura 27°C, contenuto in un cilindro adiabatico munito di pistone, viene compresso lentamente, fino a quando la pressione esterna finale sul pistone risulta il doppio di quella iniziale. Calcolare : la temperatura raggiunta dal gas e la variazione di energia interna tra lo stato iniziale e quello finale. Calcolare le stesse grandezze se il gas viene compresso bruscamente.
Allora, per calcolarmi la temperatura finale $T_b$ ho fatto in questo modo:$P_a(V_a)^α=P_b(V_b)^α$,sostituendo:$P_a(V_a)^α=2P_a(V_b)^α$;$V_b=V_a/(2)^(1/α)$.Sfruttando $P_bV_b=nRT_b$ allora $T_b=P_bV_b/(P_aV_a) T_a=2(1/2^(1/α)) T_a=365K$
Ora il problema è trovarmi la variazione di energia interna,quindi dovrei partire da $ΔU=nc_v(T_b-T_a)$,ma il problema è che non ho il numero di moli,ho provato a girare e rigirare la formula per sopperire a tale inconveniente,ma al limite me la trovo in funzione di $P_a$ che comunque non ho.Ho dunque pensato di applicare la formula $U=5/2 RT$,ovvero $ΔU=5/2 R(T_b-T_a)$ però tale formula vale per una mole di gas,di conseguenza il problema è sempre quello di determinare le moli.Come posso fare?
Per quanto riguarda il calcolo di tali grandezze quando la compressione viene fatta bruscamente,come posso impostare il problema?
Grazie
Un gas ideale biatomico a pressione di 1Atm, volume 1 litro e temperatura 27°C, contenuto in un cilindro adiabatico munito di pistone, viene compresso lentamente, fino a quando la pressione esterna finale sul pistone risulta il doppio di quella iniziale. Calcolare : la temperatura raggiunta dal gas e la variazione di energia interna tra lo stato iniziale e quello finale. Calcolare le stesse grandezze se il gas viene compresso bruscamente.
Allora, per calcolarmi la temperatura finale $T_b$ ho fatto in questo modo:$P_a(V_a)^α=P_b(V_b)^α$,sostituendo:$P_a(V_a)^α=2P_a(V_b)^α$;$V_b=V_a/(2)^(1/α)$.Sfruttando $P_bV_b=nRT_b$ allora $T_b=P_bV_b/(P_aV_a) T_a=2(1/2^(1/α)) T_a=365K$
Ora il problema è trovarmi la variazione di energia interna,quindi dovrei partire da $ΔU=nc_v(T_b-T_a)$,ma il problema è che non ho il numero di moli,ho provato a girare e rigirare la formula per sopperire a tale inconveniente,ma al limite me la trovo in funzione di $P_a$ che comunque non ho.Ho dunque pensato di applicare la formula $U=5/2 RT$,ovvero $ΔU=5/2 R(T_b-T_a)$ però tale formula vale per una mole di gas,di conseguenza il problema è sempre quello di determinare le moli.Come posso fare?
Per quanto riguarda il calcolo di tali grandezze quando la compressione viene fatta bruscamente,come posso impostare il problema?
Grazie
Risposte
scusa ma sai che è un gas ideale hai temperatura pressione e volume iniziale...con l'equazione di stato dei gas perfetti trovi il numero di moli!!
"valentino86":
scusa ma sai che è un gas ideale hai temperatura pressione e volume iniziale...con l'equazione di stato dei gas perfetti trovi il numero di moli!!
Madò noooo!Ero convinto di sapere solo che la pressione iniziale era la metà di quella finale, non mi ero accorto che mi dava anche il valore,che scemo!
grazie mille.
"darinter":
Calcolare : la temperatura raggiunta dal gas e la variazione di energia interna tra lo stato iniziale e quello finale. Calcolare le stesse grandezze se il gas viene compresso bruscamente.
Mi sembra una domanda a trabocchetto, a cui risponderei come segue, in prima approssimazione. Poiché il gas è ideale, non è soggetto a fenomeni dissipativi interni dovuti all'attrito o variazioni di energia potenziale delle molecole. La compressione rapida innesca fenomeni ondulatori, con formazione di un fronte d'onda di compressione davanti al pistone, che si propaga alla velocità del suono all'interno del cilindro. Mancando la dissipazione, possiamo immaginare che quest'onda si propaghi fino al fondo e rimbalzi, senza dissiparsi, proseguendo indefinitamente in rimbalzi successivi. Questo non consente di definire una temperatura del gas, perché essa non è distribuita uniformemente (le onde sono da associarsi a compressioni e rarefazioni adiabatiche). Per queste ragioni mi sembra difficile calcolare anche l'energia interna. Mi spiego. L'energia del gas sarebbe data dalla somma di quella interna (temodinamica, del tipo $C_vT$) e dell'energia cinetica associata ai movimenti oscillatori dei vai strati di gas. Il calcolo dell'energia interna totale del gas richiederebbe la conoscenza della distribuzione sia della temperatura sia della velocità. Detto a parolacce, una tale trasformazione non è reversibile.
Mi sembra un problema difficilmente affrontabile al livello di Fisica I. Per lo meno, non mi viene in mente ora un procedimento sintetico e di facile approccio. Magari la mia è solo perdita di lucidità
"kinder":
[quote="darinter"]Calcolare : la temperatura raggiunta dal gas e la variazione di energia interna tra lo stato iniziale e quello finale. Calcolare le stesse grandezze se il gas viene compresso bruscamente.
Mi sembra una domanda a trabocchetto, a cui risponderei come segue, in prima approssimazione. Poiché il gas è ideale, non è soggetto a fenomeni dissipativi interni dovuti all'attrito o variazioni di energia potenziale delle molecole. La compressione rapida innesca fenomeni ondulatori, con formazione di un fronte d'onda di compressione davanti al pistone, che si propaga alla velocità del suono all'interno del cilindro. Mancando la dissipazione, possiamo immaginare che quest'onda si propaghi fino al fondo e rimbalzi, senza dissiparsi, proseguendo indefinitamente in rimbalzi successivi. Questo non consente di definire una temperatura del gas, perché essa non è distribuita uniformemente (le onde sono da associarsi a compressioni e rarefazioni adiabatiche). Per queste ragioni mi sembra difficile calcolare anche l'energia interna. Mi spiego. L'energia del gas sarebbe data dalla somma di quella interna (temodinamica, del tipo $C_vT$) e dell'energia cinetica associata ai movimenti oscillatori dei vai strati di gas. Il calcolo dell'energia interna totale del gas richiederebbe la conoscenza della distribuzione sia della temperatura sia della velocità. Detto a parolacce, una tale trasformazione non è reversibile.
Mi sembra un problema difficilmente affrontabile al livello di Fisica I. Per lo meno, non mi viene in mente ora un procedimento sintetico e di facile approccio. Magari la mia è solo perdita di lucidità
[/quote]Il prof ha più o meno accennato a come fare questo problema nel caso di trasformazione brusca,quindi non reversibile.Ha detto che si deve sfruttare il fatto che il lavoro del pistone è uguale all'opposto del lavoro esterno $(W_(est)=-W)$,per calcolare il lavoro potrei dunque utilizzare $W_(est)=2P_a ΔV$ e da qui ricavare il lavoro del gas,ma ha detto che il problema è che non si conosce il volume finale,nè è possibile ricavarlo da $P(V^α)=cost$ perchè non è applicabile,dato che la trasformazione non è reversibile.
Idee?
Sto impazzendo,sono riuscito ad arrivare al risultato nel caso di trasformazione brusca,solo che il risultato è inaspettato.
Il ragionamento è il seguente:
So che il lavoro del gas è uguale all'opposto del lavoro dell'ambiente,dunque:$W=-W_(amb)$,mi calcolo dunque il lavoro dell'ambiente $W_(amb)=P_b (V_b-V_a)$,ma dal testo $P_b=2P_a$ e poi posso ricavarmi $V_b$ dall'equazione di stato, ovvero $V_b=(nRT_b)/P_b$ effettuando la sostituzione arrivo a $W_(amb)=2P_a((nRT_b)/(2P_a) -V_a)$, dunque $W_(amb)=(nRT_b-2P_aV_a)$ e ancora $W_(amb)=(nRT_b-2nRT_a)$,quindi $W_(amb)=nR(T_b-2T_a)$.Ora ricordando che $W=-W_(amb)$ e che $ΔU=ncv(Tb-Ta)=-W=W_(amb)$ e dunque $n(5/2)R(T_b-T_a)=nR(T_b-2T_a)$, quindi $2T_b-4T_a=5T_b-5T_a$ e dunque $T_b=(1/3)T_a$ ovvero la temperatura finale è diminuita di $200K$.
La $ΔU=ncv(Tb-Ta)=-162J$.
Dopo tutta sta faticata,mi chiedo com'è possibile che il gas,venendo compresso adiabaticamente di botto si comporti in modo opposto a come dovrebbe comportarsi,ovvero la temperatura diminuisce e l'energia interna anche.Ho sbagliato tutto o esiste un perchè?
Vi sarei grato se mi deste una mano
Grazie
P.S. Potete dare uno sguardo a questo file che ho trovato http://www.uniurb.it/MedChem/Gatti/termodin/Termod4.doc,andate a pag 4,dove c'è scritto "Espansione adiabatica del gas ideale":dice che $dw=dU$,com'è possibile,non dovrebbe essere $-dw=du$?
Il ragionamento è il seguente:
So che il lavoro del gas è uguale all'opposto del lavoro dell'ambiente,dunque:$W=-W_(amb)$,mi calcolo dunque il lavoro dell'ambiente $W_(amb)=P_b (V_b-V_a)$,ma dal testo $P_b=2P_a$ e poi posso ricavarmi $V_b$ dall'equazione di stato, ovvero $V_b=(nRT_b)/P_b$ effettuando la sostituzione arrivo a $W_(amb)=2P_a((nRT_b)/(2P_a) -V_a)$, dunque $W_(amb)=(nRT_b-2P_aV_a)$ e ancora $W_(amb)=(nRT_b-2nRT_a)$,quindi $W_(amb)=nR(T_b-2T_a)$.Ora ricordando che $W=-W_(amb)$ e che $ΔU=ncv(Tb-Ta)=-W=W_(amb)$ e dunque $n(5/2)R(T_b-T_a)=nR(T_b-2T_a)$, quindi $2T_b-4T_a=5T_b-5T_a$ e dunque $T_b=(1/3)T_a$ ovvero la temperatura finale è diminuita di $200K$.
La $ΔU=ncv(Tb-Ta)=-162J$.
Dopo tutta sta faticata,mi chiedo com'è possibile che il gas,venendo compresso adiabaticamente di botto si comporti in modo opposto a come dovrebbe comportarsi,ovvero la temperatura diminuisce e l'energia interna anche.Ho sbagliato tutto o esiste un perchè?
Vi sarei grato se mi deste una mano
Grazie
P.S. Potete dare uno sguardo a questo file che ho trovato http://www.uniurb.it/MedChem/Gatti/termodin/Termod4.doc,andate a pag 4,dove c'è scritto "Espansione adiabatica del gas ideale":dice che $dw=dU$,com'è possibile,non dovrebbe essere $-dw=du$?
Comunque ho risolto,sbagliavo il segno del lavoro esterno che è negativo e non positivo,in tal modo la temperatura finale aumenta com'è giusto che sia.
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
Quali sono i dati che hai utilizzato per risolvere l'esercizio...L'espressione che utilizzi per calcolare il lavoro è valida solo per una trasformazione quasi statica.
Non si può risolvere il problema se non si conosce il rendimento di compressione isoentropico e questo credo che si ottenga solo sperimentalmente.
Non si può risolvere il problema se non si conosce il rendimento di compressione isoentropico e questo credo che si ottenga solo sperimentalmente.
"nnsoxke":
Quali sono i dati che hai utilizzato per risolvere l'esercizio...L'espressione che utilizzi per calcolare il lavoro è valida solo per una trasformazione quasi statica.
Non si può risolvere il problema se non si conosce il rendimento di compressione isoentropico e questo credo che si ottenga solo sperimentalmente.
Il prof ha fatto qualche esempio quando la trasformazione non è reversibile e negli appunti ho segnato che per calcolare il lavoro si può calcolare il lavoro fatto dall'ambiente come $P_(est) (V_b-V_a)$ e considerare il lavoro del gas come l'opposto di tale lavoro.
"darinter":
Il prof ha fatto qualche esempio quando la trasformazione non è reversibile e negli appunti ho segnato che per calcolare il lavoro si può calcolare il lavoro fatto dall'ambiente come $P_(est) (V_b-V_a)$ e considerare il lavoro del gas come l'opposto di tale lavoro.
Non mi sembra così banale.
Assumamo pure che il pistone abbia massa trascurabile; in questo caso la pressione sui suoi due lati è uguale. Il lavoro compiuto dalla pressione esterna è $int_(t_1)^(t_2)p(t)Ads$, in cui $T_1$ e $t_2$ individuano l'intervallo di tempo durante cui la pressione raddoppia, e $ds$ lo spostamento infinitesimo del pistone. Se pongo $ds=v(t)dt$ con $v(t)$ la velocità del pistone all'istante $t$, l'integrale precedente diventa: $Aint_(t_1)^(t_2)p(t)v(t)dt$. Pure assumendo che $p(t)$ sia imposta e nota, non vedo come si possa ottenere la $v(t)$ senza scrivere ed integrare l'equazione dell'onda all'interno del pistone. Ripeto, non mi sembra banale.
Il prof ha fatto qualche esempio quando la trasformazione non è reversibile e negli appunti ho segnato che per calcolare il lavoro si può calcolare il lavoro fatto dall'ambiente come Pest(Vb-Va) e considerare il lavoro del gas come l'opposto di tale lavoro.
La formula utilizzata è valida per una trasformazione quasi statica, anche se applicata all'ambiente esterno.
Se si suppone che la trasformazione sia quasi statica per l'ambiente esterno e non quasi statica per il gas contenuto nel cilindro può andare come soluzione.
Ad esempio se la velocità del suono nel fluido esterno è "sufficientemente" più grande rispetto a quello interno e più grande della velocità massima raggiunta dal pistone.
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