Problema teorico sulle soluzioni dell'eq. di un'onda EM
Partiamo dalle equazioni di Maxwell macroscopiche scritte per un dielettrico perfetto, illimitato, lineare, omogeneo, isotropo e che risponda “istantaneamente” alle variazioni di [tex]\boldsymbol{E}[/tex] e [tex]\boldsymbol{B}[/tex]:
[tex]\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = 0 \hspace{5cm} (1a) \\[2ex]
& \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = 0 \hspace{5cm} (1b) \\[2ex]
& \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = -\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3.27cm} (1c) \\[2ex]
& \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \epsilon \mu \frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3.2cm} (1d)
\end{align}[/tex]
Applicando l'operatore di rotore alla (1c) e derivando parzialmente rispetto al tempo la (1d), assumendo che [tex]\boldsymbol{E}[/tex] e [tex]\boldsymbol{B}[/tex] siano almeno di classe [tex]C^2[/tex], risulta:
[tex]\begin{align}
& \boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\frac{\partial}{\partial t} \Big[ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \Big] \hspace{2cm} (2)\\[2ex]
& \frac{\partial}{\partial t} \Big[ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \Big] = \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3cm} (3)
\end{align}[/tex]
Inserendo il secondo membro della (3) nella (2) si ottiene:
[tex]\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{2cm} (4)
\end{align}[/tex]
Facendo uso dell'identità vettoriale [tex]\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}) - \nabla^2 \boldsymbol{v}[/tex], la (4) diventa, in virtù della (1a):
[tex]\begin{align}
\nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} (5)
\end{align}[/tex]
Teorema. Se [tex]\boldsymbol{E}[/tex] è una soluzione delle (1), allora la (5) è soddisfatta anche da [tex]\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^\prime[/tex], dove [tex]\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}^\prime=\boldsymbol{0}[/tex].
Dimostrazione. ???
[tex]\begin{align}
&\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = 0 \hspace{5cm} (1a) \\[2ex]
& \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = 0 \hspace{5cm} (1b) \\[2ex]
& \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = -\frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3.27cm} (1c) \\[2ex]
& \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) = \epsilon \mu \frac{\partial}{\partial t}\boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3.2cm} (1d)
\end{align}[/tex]
Applicando l'operatore di rotore alla (1c) e derivando parzialmente rispetto al tempo la (1d), assumendo che [tex]\boldsymbol{E}[/tex] e [tex]\boldsymbol{B}[/tex] siano almeno di classe [tex]C^2[/tex], risulta:
[tex]\begin{align}
& \boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\frac{\partial}{\partial t} \Big[ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \Big] \hspace{2cm} (2)\\[2ex]
& \frac{\partial}{\partial t} \Big[ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r},t) \Big] = \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{3cm} (3)
\end{align}[/tex]
Inserendo il secondo membro della (3) nella (2) si ottiene:
[tex]\begin{align}
\boldsymbol{\nabla} \times \Big[\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t)\Big] = -\epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) \hspace{2cm} (4)
\end{align}[/tex]
Facendo uso dell'identità vettoriale [tex]\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{v}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{v}) - \nabla^2 \boldsymbol{v}[/tex], la (4) diventa, in virtù della (1a):
[tex]\begin{align}
\nabla^2 \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) - \epsilon \mu \frac{\partial^2}{\partial t^2} \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r},t) = \boldsymbol{0} \hspace{2cm} (5)
\end{align}[/tex]
Teorema. Se [tex]\boldsymbol{E}[/tex] è una soluzione delle (1), allora la (5) è soddisfatta anche da [tex]\boldsymbol{E}+\boldsymbol{E}^\prime[/tex], dove [tex]\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{E}^\prime=\boldsymbol{0}[/tex].
Dimostrazione. ???
Risposte
Beh, vedila così; passando dalla (1) alla (5) hai una "perdita di informazione" dovuta all'applicazione del rotore.
Poniamo che $\mathbf{E} + \mathbf{E}^{\prime}$ con $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}^{\prime}=0$ sia una soluzione delle (1). Quando vai ad applicare il rotore ad entrambi i membri delle eq (1), dato che il rotore di $\mathbf{E}^{\prime}$ è nullo, lo "perderai" e proseguendo con i calcoli non ne rimarrà traccia.
Osservando ciò, quando consideri una soluzione della (5) in realtà stai considerando una famiglia di soluzioni delle (1).
Un po' come nella risoluzione di un integrale indefinito consideri la soluzione più una costante arbitraria, ovvero una famiglia di soluzioni, sapendo che quella costante viene "persa" nel processo di derivazione.
Poniamo che $\mathbf{E} + \mathbf{E}^{\prime}$ con $\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}^{\prime}=0$ sia una soluzione delle (1). Quando vai ad applicare il rotore ad entrambi i membri delle eq (1), dato che il rotore di $\mathbf{E}^{\prime}$ è nullo, lo "perderai" e proseguendo con i calcoli non ne rimarrà traccia.
Osservando ciò, quando consideri una soluzione della (5) in realtà stai considerando una famiglia di soluzioni delle (1).
Un po' come nella risoluzione di un integrale indefinito consideri la soluzione più una costante arbitraria, ovvero una famiglia di soluzioni, sapendo che quella costante viene "persa" nel processo di derivazione.
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