Problema sulle onde
Su un ricevitore arrivano tre onde di uguale ampiezza $a_1$ ed intensità $I_1$, e sfasamenti tali
che la perturbazione risultante può essere così rappresentata:
$y = a_1 [sin(\omegat) + sin(\omegat+\phi) + sin(\omegat+2\phi)]$
Detta $I$ l’intensità risultante, si calcoli:
a) il minimo valore di $\phi$ per cui $I = I_1$;
b) il minimo valore di $\phi$ per cui $I=0$;
c) il valore di I per $\phi=\pi$ e $\phi =2\pi$.
Qualcuno mi dà un input per questo problema? Non so neppure da dove partire.
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
che la perturbazione risultante può essere così rappresentata:
$y = a_1 [sin(\omegat) + sin(\omegat+\phi) + sin(\omegat+2\phi)]$
Detta $I$ l’intensità risultante, si calcoli:
a) il minimo valore di $\phi$ per cui $I = I_1$;
b) il minimo valore di $\phi$ per cui $I=0$;
c) il valore di I per $\phi=\pi$ e $\phi =2\pi$.
Qualcuno mi dà un input per questo problema? Non so neppure da dove partire.
Risposte
Se hai le risposte verifica se :
a) $Phi = pi $
b) $ Phi = 2pi/3$
c) per $Phi = pi rarr I=I_1 $ ; per $ Phi = 2pi rarr I=3*I_1.
a) $Phi = pi $
b) $ Phi = 2pi/3$
c) per $Phi = pi rarr I=I_1 $ ; per $ Phi = 2pi rarr I=3*I_1.
Non sono tutte corrette. Ora ti posto le risposte:
1) $\phi=\pi/2$
2) $\phi=(2*\pi)/3$
3) $I_1;9I_1$
Deve essere tosto, 'sto problema.
1) $\phi=\pi/2$
2) $\phi=(2*\pi)/3$
3) $I_1;9I_1$
Deve essere tosto, 'sto problema.
a) giusto $pi/2$ ; $pi $ è corretto ma non è il minimo...
b) ok
c_1 ) ok
c_2 ) ho dimenticato di elevare al quadrato l'ampiezza per avere l'intensità.
Inzia dalla terza domanda e sostituisci nell'espressione della onda totale i valori indicati per $Phi $
per la seconda domanda puoi considerare che tre vettori di uguale ampiezza e sfasati di 120° hanno risultante nulla : per farlo analiticamente svolgi i calcoli trigonometrici del tipo $ sin(omegat+phi ) = sin omegat*cos phi +cos omegat*sin phi $ e imponi che la onda risultante valga 0, cioè che si annulli l'intera espressione che la esprime.
Per il primo quesito svolgi analoghi calcoli e imponi poi che l'onda risulatnte abbia intensita $I $ e quindi ampiezza $a_1 $ e quindi del tipo $a_1 sin omegat $ oppure$a_1 cos omegat $.
Se hai dimestichezza con la rappresentazione con vettori ruotanti delle forme d'onda sinusoidali, le soluzioni ti appariranno chiare e semplici.
b) ok
c_1 ) ok
c_2 ) ho dimenticato di elevare al quadrato l'ampiezza per avere l'intensità.
Inzia dalla terza domanda e sostituisci nell'espressione della onda totale i valori indicati per $Phi $
per la seconda domanda puoi considerare che tre vettori di uguale ampiezza e sfasati di 120° hanno risultante nulla : per farlo analiticamente svolgi i calcoli trigonometrici del tipo $ sin(omegat+phi ) = sin omegat*cos phi +cos omegat*sin phi $ e imponi che la onda risultante valga 0, cioè che si annulli l'intera espressione che la esprime.
Per il primo quesito svolgi analoghi calcoli e imponi poi che l'onda risulatnte abbia intensita $I $ e quindi ampiezza $a_1 $ e quindi del tipo $a_1 sin omegat $ oppure$a_1 cos omegat $.
Se hai dimestichezza con la rappresentazione con vettori ruotanti delle forme d'onda sinusoidali, le soluzioni ti appariranno chiare e semplici.
Scusa la mia ignoranza (è in assoluto il primo problema di una certa difficoltà che faccio sulle onde 
), ma continuo a non capire.
La formula che conosco per l'ampiezza di un'onda è $I=uv$, dove $u=1/2*k*A^2$, per'un onda del tipo $y=A*sin(kx-\omegat)$.
Potresti spiegarmi meglio i passaggi da te svolti?
), ma continuo a non capire.La formula che conosco per l'ampiezza di un'onda è $I=uv$, dove $u=1/2*k*A^2$, per'un onda del tipo $y=A*sin(kx-\omegat)$.
Potresti spiegarmi meglio i passaggi da te svolti?
La formula che hai considerato è più complessa del necessario per questo problema : dipende da 2 variabili , il tempo e lo spazio.Descrive correttamente fenomeni più complessi , come la deformazione di una corda che viene pizzicata e allora sì che la posizione della corda dipende da dove sei lungo la corda ( $x $ ) e da in quale momento osservi la deformazione della corda ($t$).
Nell'esercizio invece lo spazio è fissato ,l'ingresso del ricevitore, quindi possiamo non considerarlo.
Mettiti idealmente nel punto in cui è situato il ricevitore : lì arrivano tre segnali che variano in funzione del tempo soltanto e sono di forma sinusoidale con una certa ampiezza(uguale ) e una certa differenza di fase tra di loro e si sommano istante per istante dando luogo alla forma d'onda complessiva ricevuta .
Da notare che le tre forme d'onda sono alla stessa frequenza ma non con stessa fase .
Ad esempio, per semplificare considera che le onde siano solo 2 .
Una sia data da $y_1 = a_1 sen omegat $ , l'altra da $y_2 = a_1 sen ( omegat + phi ) $ .
All'ingresso del ricevitore arrivino entrambe le onde , quindi in quel punto io osserverò una onda che sarà data da questa espressione analitica $ y= y_1 +y_2 = a_1 sin wt +a_1 sin(omegat+phi )$ .( stessa frequenza ma fase diversa)
Se ora la domanda fosse : qual è il minimo angolo $phi $ per cui all'ingresso del ricevitore si ottiene una onda di intensità = 0, si ha cioè l'annullamneto delle due onde ? vorrà dire che le due onde sono in controfase , quando una ha i picchi positivi , l'altra ha i picchi negativi ( di egual valore ) e quindi le due onde sono sfasate di 180° o di $pi $ radianti e si cancellano a vicenda .
ok ?
In tal caso la risposta sarebbe $ phi = pi $ , infatti una onda sarenbbe $y_1 = sen omegat,$ l'altra $y_2 = sin( omegat +pi ) =- sen omega t $ e si annullano.
Spero di non averto aumentato la confusione.
Se questo ti è chiaro , dopo si tratta solo di fare calcoletti trigonometrici, assai fastidiosi ma concettualmente banali.
Nell'esercizio invece lo spazio è fissato ,l'ingresso del ricevitore, quindi possiamo non considerarlo.
Mettiti idealmente nel punto in cui è situato il ricevitore : lì arrivano tre segnali che variano in funzione del tempo soltanto e sono di forma sinusoidale con una certa ampiezza(uguale ) e una certa differenza di fase tra di loro e si sommano istante per istante dando luogo alla forma d'onda complessiva ricevuta .
Da notare che le tre forme d'onda sono alla stessa frequenza ma non con stessa fase .
Ad esempio, per semplificare considera che le onde siano solo 2 .
Una sia data da $y_1 = a_1 sen omegat $ , l'altra da $y_2 = a_1 sen ( omegat + phi ) $ .
All'ingresso del ricevitore arrivino entrambe le onde , quindi in quel punto io osserverò una onda che sarà data da questa espressione analitica $ y= y_1 +y_2 = a_1 sin wt +a_1 sin(omegat+phi )$ .( stessa frequenza ma fase diversa)
Se ora la domanda fosse : qual è il minimo angolo $phi $ per cui all'ingresso del ricevitore si ottiene una onda di intensità = 0, si ha cioè l'annullamneto delle due onde ? vorrà dire che le due onde sono in controfase , quando una ha i picchi positivi , l'altra ha i picchi negativi ( di egual valore ) e quindi le due onde sono sfasate di 180° o di $pi $ radianti e si cancellano a vicenda .
ok ?
In tal caso la risposta sarebbe $ phi = pi $ , infatti una onda sarenbbe $y_1 = sen omegat,$ l'altra $y_2 = sin( omegat +pi ) =- sen omega t $ e si annullano.
Spero di non averto aumentato la confusione.
Se questo ti è chiaro , dopo si tratta solo di fare calcoletti trigonometrici, assai fastidiosi ma concettualmente banali.
"Camillo":
a) c_2 ) ho dimenticato di elevare al quadrato l'ampiezza per avere l'intensità.
Se sostituisco $2\pi$ al posto di $\phi$ ottengo che l'intensità è $3I_1$. Perchè dovrei elevare al quadrato il 3 per avere l'ampiezza?
Perchè l'intensità è legata al quadrato dell'ampiezza dell'onda...
Sì, certo, lo so. Ma non riesco a vedere in che modo applicare questa regola al problema...
"matths87":
[quote="Camillo"]a) c_2 ) ho dimenticato di elevare al quadrato l'ampiezza per avere l'intensità.
Se sostituisco $2\pi$ al posto di $\phi$ ottengo che l'intensità è $3I_1$. Perchè dovrei elevare al quadrato il 3 per avere l'ampiezza?[/quote]
Hai invertito i termini
Nel caso c2) si otteneva come forma d'onda risultante $ y(t) = 3a_1sen (omegat) $ ; la singola onda ha espressione
$a_1sen (omegat )$ e intensità proporzionale al quadrato dell'ampiezza cioe $ I_1 = k *a_1^2 $ .
L' intensità della onda risultante è quindi $ I = k*(3*a_1 ) ^ 2 = 9*I_1 $ .
$a_1sen (omegat )$ e intensità proporzionale al quadrato dell'ampiezza cioe $ I_1 = k *a_1^2 $ .
L' intensità della onda risultante è quindi $ I = k*(3*a_1 ) ^ 2 = 9*I_1 $ .
"matths87":
[quote="Camillo"]a) c_2 ) ho dimenticato di elevare al quadrato l'ampiezza per avere l'intensità.
Se sostituisco $2\pi$ al posto di $\phi$ ottengo che l'intensità è $3I_1$. Perchè dovrei elevare al quadrato il 3 per avere l'ampiezza?[/quote]
No, l'ampiezza dell'onda risultante è $3a_1 $ , l'intensità è invece $9I_1 $ .
Soluzione SINTETICA del quesito a)
Se $ I=i_1 $ allora $a = a_1 $ , quindi l'ampiezza della forma d'onda risultante deve essere la stessa di ogni singola onda, cioè appunto $a_1 $.
il segnale composito è $ y=a_1sen (omegat) +a_1sen(omegat +phi) +a_1 sen(omegat+2 phi) $ .
Se il I° e il III° termine si elidessero avrei la soluzione $y = a_1 sen(omegat +phi) $ che è un'onda appunto di ampiezza $a_1 $ e di intensità $ I_1$, come è richiesto.
Perchè il primo e terzo termine si elidano basta siano in opposizione di fase , le loro fasi differiscano cioè di $ pi$.
pongo allora $ 2phi = pi $ da cui $ phi = pi/2 $ .
Se $ I=i_1 $ allora $a = a_1 $ , quindi l'ampiezza della forma d'onda risultante deve essere la stessa di ogni singola onda, cioè appunto $a_1 $.
il segnale composito è $ y=a_1sen (omegat) +a_1sen(omegat +phi) +a_1 sen(omegat+2 phi) $ .
Se il I° e il III° termine si elidessero avrei la soluzione $y = a_1 sen(omegat +phi) $ che è un'onda appunto di ampiezza $a_1 $ e di intensità $ I_1$, come è richiesto.
Perchè il primo e terzo termine si elidano basta siano in opposizione di fase , le loro fasi differiscano cioè di $ pi$.
pongo allora $ 2phi = pi $ da cui $ phi = pi/2 $ .
Ok, adesso mi è chiaro. Ho risolto problemi più difficili (secondo il nostro professore) in un quarto di tempo, questo proprio la mia mente non voleva capirlo.
Grazie a tuttti quelli che pazientemente mi hanno aiutato.
Grazie a tuttti quelli che pazientemente mi hanno aiutato.
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