Problema sull'attrito

[indovina]

Buonasera!
Sto studiando il capitolo sugli attriti e oggi ho affrontato questo problema:

Una corda omogenea è posata in parte sopra una superfice orizzontale scabra mentre la parte restante, una frazione x dell'intera corda, pende nel vuoto. Se $mu_s$ attrito tra corda e superfice, al di sopra di quale valore di x la corda non resta in equilibrio?

io ho fatto così:
C'è una tensione che riguarda la parte di corda che sta sul piano scabro, e una tensione che riguarda la x che dobbiamo trovare. E' una corda inestensibile di lunghezza $l$, quindi la parte 'sopra' il piano la indico come: $l - x$ e quella che dobbiamo trovare ovviamente $x$.
l'accelerazione è uguale su tutti i punti della corda quindi:

$tau_1 *(l-x) -tau_2 *x= tau*l$

$tau_1 * l - tau_1 * x - tau_2 * x = tau * l$

$m*A*mu_s*l - m A mu_s * x - m A x = m A l$

$ mu_s *l - (mu_s + 1) *x = l $

$ (mu_s + 1) *x = mu_s *l - l$

$ x = l ( mu_s -1 ) / (mu_s + 1)$

nel risultato non devo comparire l nè quel $-1$ ! sicuramente c'è qualcosa che non va, ma non so cosa, forse la strada è diversa e ho preso un abbaglio! Suggerimenti?
Grazie in anticipo!

[legendre]

la l c'e' e non capisco perche' non l'abbia messa.beh comunque considera che essendo la fune omogenea di densita' $\lambda$ per l'equilibrio applicando la seconda legge di Newton $\vecF=m\veca=0$:
$T_1-\lambdaxg=\lambdaxa=0$
$-T_2+A=\lambda(L-x)a=0$ dove $\lambdaxg$ e' il contributo della forza peso sul tratto che pende,$\lambdax$ e $\lambda(L-x)$ le masse dei 2 pezzi di fune,$A$ e' l'attrito e $T_1=T_2$.Sommando membro a membro ottieni $x=L(\mu)/(1+\mu)$

[mircoFN1]

"legendre":
.....
ottieni $x=L(\mu)/(1+\mu)$

è corretto ma nell'ipotesi che l'attrito non agisca nello spigolo del tavolo (credo che l'esercizio lo assuma implicitamente per semplicità, anche se la situazione è fisicamente poco verosimile).

[legendre]

Si giusto e nella figura non ci avrei dovuto mettere neanche la gamba del tavolo ma c'ho messo per pareggiare una macchia rossa sotto il tavolo a dimostrare che c'ho messo il sangue nel fare il disegno .Non ve la prendete, sono un tipo gogliardico,me piace scherzare !!!!Anzi ho pure invertito gli assi!!!

[Newton_1372]

Ma la tensione della fune non è uguale a $F_{"attrito"} + P_{"peso tratto x"}$ visto che il peso del tratto L-x è bilanciato dal tavolo? Inoltre la forza lungo j SI TRASMETTE LUNGO LA CORDA...io avevo pensato di fare

$ A - P_x+T=0$

[mircoFN1]

il tiro del filo (impropriamente chiamato tensione) è variabile lungo il filo stesso.
@ legendre la gamba non produce attrito anche se la disegni

[legendre]

Sir Newton_1372.Quando una fune inestensibile viene tirata per effetto di una forza analizzando un pezzo interno infinitesimo della fune si esplicano da una parte e l'altra del pezzo 2 forze $\vecf_1$ ed $\vecf_2$ che hanno stessa direzione,stesso modulo $f_1=f_2=f$ ma verso opposto per esempio $vec f_1=-\vecf_2$ .La tensione in questi 2 pezzi saranno in modo che si opporranno alle 2 forze tale che $t_1=-f_1=$ e $t_2=-f_2$(un po' contorto,scusate).Sono prorpio queste 2 forze che stanno all'interno del filo che lo fanno tendere(azione e reazione)e creano tensioni opposte ma uguali in modulo alla forza $f$.in definitiva in modulo $f=T$ e vettorialmente $vec f=-vecT$.Quindi in questo caso gli mancherebbe,da come metti l'equazione,proprio quella parte della tensione che si oppone alla forza di attrito e/o la forza peso che dovra' essere sommata a quell'altro contributo della tensione per cui alla fine si sommano.Spero di essere stato chiaro (per come e' scritto mi auto flagellerei )

[indovina]

"legendre":la l c'e' e non capisco perche' non l'abbia messa.beh comunque considera che essendo la fune omogenea di densita' $\lambda$ per l'equilibrio applicando la seconda legge di Newton $\vecF=m\veca=0$:
$T_1-\lambdaxg=\lambdaxa=0$
$-T_2+A=\lambda(L-x)a=0$ dove $\lambdaxg$ e' il contributo della forza peso sul tratto che pende,$\lambdax$ e $\lambda(L-x)$ le masse dei 2 pezzi di fune,$A$ e' l'attrito e $T_1=T_2$.Sommando membro a membro ottieni $x=L(\mu)/(1+\mu)$

tu per somma membro a membro intendi ovviamente questo:

$T_1-\lambdaxg -T_2+A=\lambdaxa + \lambda(L-x)a =0$

poi diche che $T_1=T_2$

quindi si riduce a
$-\lambdaxg +A=\lambdaxa + \lambda(L-x)a $

la cosa che non capisco è come se ne va $a$ , tu ad $A$ metti $mu_d * lambda * (L-x) *g$ , perchè svolgendo i vari calcolucci, non so come eliminare $a$ e $g$.
scusa per il stupido disturbo ancora xD
P.S
sul libro avranno sicuramente sbagliato nel senso che quel $L$ ci vuole! $x$ è una grandezza espressa in metri (o suoi multipli), e se fosse solo rimasto con quella formula riportata dal libro, sicuramente non avrebbe avuto senso fisico, perche $mu_s$ è adimensionale xD

grazie per l'help!

[Raptorista1]

Mi intrometto senza aver letto il tutto e senza aver prestato attenzione ai conti, ma forse so perché vi compare una [tex]l[/tex] di troppo: il testo del problema parla di "una frazione di corda", ho notato che voi avete interpretato [tex]l[/tex] come se fosse una lunghezza, io invece quando ho letto questa frase ho interpretato la questione come se fosse [tex]l \cdot x[/tex] la parte pendente, con [tex]l[/tex] lunghezza della corda e [tex]0 È solo un'idea, non so se cambi effettivamente qualcosa e, comunque, è sera-quasi tardi

Chiedo scusa nel caso abbia detto una fesseria

[legendre]

Grande Raptorista hai ragione te!!!!!!E' una frazione per cui quello che dici e' giustissimo!!!!Si puo' togliere $L$.Per cui:
$T-xg=0$
$-T+\mu(1-x)g=0$
@clever $a=0$

[mircoFN1]

"legendre":Sir Newton_1372.Quando una fune inestensibile viene tirata per effetto di una forza analizzando un pezzo interno infinitesimo della fune si esplicano da una parte e l'altra del pezzo 2 forze $\vecf_1$ ed $\vecf_2$ che hanno stessa direzione,stesso modulo $f_1=f_2=f$ ma verso opposto per esempio $vec f_1=-\vecf_2$ .La tensione in questi 2 pezzi saranno in modo che si opporranno alle 2 forze tale che $t_1=-f_1=$ e $t_2=-f_2$(un po' contorto,scusate).Sono prorpio queste 2 forze che stanno all'interno del filo che lo fanno tendere(azione e reazione)e creano tensioni opposte ma uguali in modulo alla forza $f$.in definitiva in modulo $f=T$ e vettorialmente $vec f=-vecT$.Quindi in questo caso gli mancherebbe,da come metti l'equazione,proprio quella parte della tensione che si oppone alla forza di attrito e/o la forza peso che dovra' essere sommata a quell'altro contributo della tensione per cui alla fine si sommano.Spero di essere stato chiaro (per come e' scritto mi auto flagellerei )

Povero Isaac, temo che si rigiri nella tomba! Per favore lasciamo stare i grandi e non tiriamone la giacca per difendere le nostre affermazioni (soprattutto quando sono confuse o scorrette).
Non saprei da dove cominciare, in primo luogo in una fune pesante verticale in equilibrio (come la parte di fune sospesa del problema) le forze che agiscono sulle facce di un generico spezzone (ovvero i due tiri) non sono uguali e opposte (se lo spezzone è infinitesimo i due tiri differiscono comunque di una quantità infinitesima). Qui non c'entra il principio di azione e reazione, le due forze tiro e il peso dello spezzone sono, per lo spezzone stesso, un sistema equilibrato di forze esterne (se mai si può fare ricorso la seconda equazione della dinamica). Come ho già detto, il tiro della fune è, in generale, funzione della posizione, per la parte verticale è infatti nullo all'estremo libero e massimo nel punto più alto.

Invece della flagellazione, suggerirei un'altra penitenza: la rilettura e la riscrittura dell'intervento.

[indovina]

"Raptorista":Mi intrometto senza aver letto il tutto e senza aver prestato attenzione ai conti, ma forse so perché vi compare una [tex]l[/tex] di troppo: il testo del problema parla di "una frazione di corda", ho notato che voi avete interpretato [tex]l[/tex] come se fosse una lunghezza, io invece quando ho letto questa frase ho interpretato la questione come se fosse [tex]l \cdot x[/tex] la parte pendente, con [tex]l[/tex] lunghezza della corda e [tex]0 È solo un'idea, non so se cambi effettivamente qualcosa e, comunque, è sera-quasi tardi

Chiedo scusa nel caso abbia detto una fesseria

Quindi la tua ipotesi sarebbe concorde con il risultato dell'esercizio che considera $x$ un numero puro.
La notazione [tex]l \cdot x[/tex] non l'ho capita molto, anche se mettendola nelle due equazioni poi davvero toglie l'impiccio della $l$.
La condizione [tex]0
per le due equazioni svolgo tutti i passagi, ditemi se sono così, non vorrei sbagliarmi:
$T - l*x *g = 0$
$-T + l*mu_s *g*(1-x) = 0$

$l*x *g + l*mu_s *g*(1-x) = 0$

$-x(1+mu_s) = - mu_s$
$x = mu_s/(1+mu_s)$