Problema sulla statica dei fluidi
Salve a tutti, sono nuovo del forum e vorrei proporvi un problema che non mi sembra di aver risolto correttamente.
Come in figura, c'è un contenitore cilindirco, con area di base \(\displaystyle A \) che contiene un liquido di densità \(\displaystyle \rho \), fino ad un'altezza \(\displaystyle h \). Si inserisce un contenitore di massa \(\displaystyle m \) e volume \(\displaystyle V_0 \) capovolto contenente aria alla pressione atmosferica, ad una profondità tale da dimezzare il volume dell'aria. Tale contenitore è ancorato al soffitto mediante un'asticella rigida.
Viene chiesto di calcolare la pressione alla base del cilindro, e il peso misurato dalla bilancia in figura.
Io ho ragionato in questo modo:
sul bicchiere agisce una spinta d'Archimede, il cui modulo sarà \(\displaystyle S = {V_0 \over 2}\rho g \) inoltre la forza peso, diretta in verso opposto, è certamente \(\displaystyle P = mg \). La risultante di queste due forze sarà pareggiata dalla tensione esercitata sull'asticella, la quale a sua volta è pareggiata dalla reazione vincolare del soffitto. Questo sarebbe vero sia che la risultante fosse diretta verso il basso (\(\displaystyle S
Come in figura, c'è un contenitore cilindirco, con area di base \(\displaystyle A \) che contiene un liquido di densità \(\displaystyle \rho \), fino ad un'altezza \(\displaystyle h \). Si inserisce un contenitore di massa \(\displaystyle m \) e volume \(\displaystyle V_0 \) capovolto contenente aria alla pressione atmosferica, ad una profondità tale da dimezzare il volume dell'aria. Tale contenitore è ancorato al soffitto mediante un'asticella rigida.
Viene chiesto di calcolare la pressione alla base del cilindro, e il peso misurato dalla bilancia in figura.
Io ho ragionato in questo modo:
sul bicchiere agisce una spinta d'Archimede, il cui modulo sarà \(\displaystyle S = {V_0 \over 2}\rho g \) inoltre la forza peso, diretta in verso opposto, è certamente \(\displaystyle P = mg \). La risultante di queste due forze sarà pareggiata dalla tensione esercitata sull'asticella, la quale a sua volta è pareggiata dalla reazione vincolare del soffitto. Questo sarebbe vero sia che la risultante fosse diretta verso il basso (\(\displaystyle S
P \)).
A questo punto però bisogna considerare la pressione del volume d'aria, che essendo alla stessa temperatura del liquido (viene specificato nella traccia), avrà raggiunto il valore \(\displaystyle P_f = 2P_0\) (è corretto?). Allora possiamo dire che sul fondo del contenitore la pressione è data dalla somma \(\displaystyle P_0 + 2P_0 + \rho gh \) (pressione atmosferica, pressione dell'aria nel bicchiere, pressione dovuta al peso del liquido).
Il mio dubbio stà nel fatto che la pressione \(\displaystyle 2P_0\) all'interno del bicchiere si sommi semplicemente alle altre due, nonostante questa venga esercitata su una superficie minore (la traccia non la specifica).
Qualche anima pia con un pò di tempo libero potrebbe dirmi se ho fatto qualche errore?
Grazie mille a chiunque mi legga 
Risposte
Puoi fare l'esperimento tu stesso, se hai una bilancia in cucina : prendi una pentola piena a metà di acqua, mettila sulla bilancia, poi prendi un bicchiere, capovolgilo e introducilo capovolto nell'acqua, senza far sfuggire bolle d'aria. Guarda l'ago della bilancia e vedi che succede.
È meglio ragionare con le pressioni relative, anziché quelle assolute.
Tieni presente che anche il bicchiere ha una massa $m$, quindi ha un suo peso $mg = \rho_bV_bg$ e un suo volume.Quando lo metti tutto in acqua, supponiamo diritto, e lo mandi a fondo, il suo volume $V_b$ sposta dell'acqua, quindi hai una spinta archimedea di valore $\rho_wV_bg$ , dove ora compare la densità $\rho_w$ dell'acqua, dovuta al solo bicchiere.
Poi, nel bicchiere capovolto c'è un volume di aria $V_0/2$. La bolla esercita una pressione sull'acqua, quindi una forza moltiplicando la pressione per l'area. E questa forza per il principio di azione e reazione è uguale e contraria alla forza che l'acqua esercita sull'aria. Ti faccio notare che il piano orizzontale coincidente con la superficie dell'acqua nel bicchiere è una superficie isobarica : dentro e fuori il bicchiere, a quella altezza la pressione è uguale.
È meglio ragionare con le pressioni relative, anziché quelle assolute.
Tieni presente che anche il bicchiere ha una massa $m$, quindi ha un suo peso $mg = \rho_bV_bg$ e un suo volume.Quando lo metti tutto in acqua, supponiamo diritto, e lo mandi a fondo, il suo volume $V_b$ sposta dell'acqua, quindi hai una spinta archimedea di valore $\rho_wV_bg$ , dove ora compare la densità $\rho_w$ dell'acqua, dovuta al solo bicchiere.
Poi, nel bicchiere capovolto c'è un volume di aria $V_0/2$. La bolla esercita una pressione sull'acqua, quindi una forza moltiplicando la pressione per l'area. E questa forza per il principio di azione e reazione è uguale e contraria alla forza che l'acqua esercita sull'aria. Ti faccio notare che il piano orizzontale coincidente con la superficie dell'acqua nel bicchiere è una superficie isobarica : dentro e fuori il bicchiere, a quella altezza la pressione è uguale.
Prima di tutto, ti ringrazio per la risposta.
Per quanto riguarda la verifica sperimentale, mi stò già attrezzando: appena mi capita una bilancia sottomano proverò!
Tornando al problema, non viene data nessuna informazione sul bicchiere. Non conosco nè la sezione, nè il volume proprio del bicchiere. (Conosco solo il volume dell'aria al suo interno)
Ed è proprio questo che mi ha confuso le idee: se non conosco l'area della superficie d'acqua nel bicchiere, non posso ricavare il valore della forza che agisce su di essa.
Mi sembra che l'unica cosa possibile sia sommare le pressioni, e poi eventualmente dividere per la superficie del piatto della bilancia, in modo da ottenere la forza. Dico bene?
Per quanto riguarda la verifica sperimentale, mi stò già attrezzando: appena mi capita una bilancia sottomano proverò!
Tornando al problema, non viene data nessuna informazione sul bicchiere. Non conosco nè la sezione, nè il volume proprio del bicchiere. (Conosco solo il volume dell'aria al suo interno)
Ed è proprio questo che mi ha confuso le idee: se non conosco l'area della superficie d'acqua nel bicchiere, non posso ricavare il valore della forza che agisce su di essa.
Mi sembra che l'unica cosa possibile sia sommare le pressioni, e poi eventualmente dividere per la superficie del piatto della bilancia, in modo da ottenere la forza. Dico bene?
secondo me questo problema è tutto un tranello.
La pressione sul fondo del cilindro è $rho gh$ più la pressione atmosferica e basta, come dice stevino.
L'aria all'interno del contenitore "misura" la pressione del liquido all'altezza $x$ a cui è inserito, ma non la modifica.
Quindi, in definitiva, l'unico dato che ti manca per calcolare la pressione sul fondo è $h_1$, la nuova altezza del liquido dopo aver inserito il contenitore.
Conosci l'aerea di base e il volume del bicchiere, quindi puoi calcolare $Deltah$. A questo punto, applichi stevino e trovi il risultato.
Per la seconda domanda, io dico che è un attimo ambigua.
La bilancia misura una forza. Se con "peso" intende appunto la forza, allora basta prendere la pressione, dividere per l'area di base e hai il valore, ma mi sembra un po' ridondante chiedere una cosa del genere.
Se invece intende la quantità di materia che compone il sistema, allora la risposta è $Ah_0rho_text(liquido)+m0+V_0/2rho_text(aria)$
Io l'avrei risolto così.
La pressione sul fondo del cilindro è $rho gh$ più la pressione atmosferica e basta, come dice stevino.
L'aria all'interno del contenitore "misura" la pressione del liquido all'altezza $x$ a cui è inserito, ma non la modifica.
Quindi, in definitiva, l'unico dato che ti manca per calcolare la pressione sul fondo è $h_1$, la nuova altezza del liquido dopo aver inserito il contenitore.
Conosci l'aerea di base e il volume del bicchiere, quindi puoi calcolare $Deltah$. A questo punto, applichi stevino e trovi il risultato.
Per la seconda domanda, io dico che è un attimo ambigua.
La bilancia misura una forza. Se con "peso" intende appunto la forza, allora basta prendere la pressione, dividere per l'area di base e hai il valore, ma mi sembra un po' ridondante chiedere una cosa del genere.
Se invece intende la quantità di materia che compone il sistema, allora la risposta è $Ah_0rho_text(liquido)+m0+V_0/2rho_text(aria)$
Io l'avrei risolto così.
Ringrazio anche te per l'interesse
Dunque, per quanto riguarda il valore di \(\displaystyle h_1 \), io non mi sono posto neppure il problema. Ho pensato che il livello sale da \(\displaystyle h \) a \(\displaystyle h_1 \) dopo aver inserito il bicchiere, quindi la quantità d'acqua non aumenta. Il livello sale perchè nel nuovo volume \(\displaystyle Ah_1 \) non c'è più solo acqua, ma anche aria. Dunque nel calcolo della pressione esercitata unicamente dall'acqua, penso che sia corretto continuare a scrivere \(\displaystyle \rho gh \).
Per quanto riguarda la presunta pressione esercitata dall'aria nel bicchiere, io credo che vada considerata. Anche perchè ho finalmente avuto modo di verificare sperimentalmente, ed effettivamente iserendo un bicchiere capovolto nel liquido il peso misurato varia..
Dunque, per quanto riguarda il valore di \(\displaystyle h_1 \), io non mi sono posto neppure il problema. Ho pensato che il livello sale da \(\displaystyle h \) a \(\displaystyle h_1 \) dopo aver inserito il bicchiere, quindi la quantità d'acqua non aumenta. Il livello sale perchè nel nuovo volume \(\displaystyle Ah_1 \) non c'è più solo acqua, ma anche aria. Dunque nel calcolo della pressione esercitata unicamente dall'acqua, penso che sia corretto continuare a scrivere \(\displaystyle \rho gh \).
Per quanto riguarda la presunta pressione esercitata dall'aria nel bicchiere, io credo che vada considerata. Anche perchè ho finalmente avuto modo di verificare sperimentalmente, ed effettivamente iserendo un bicchiere capovolto nel liquido il peso misurato varia..
certo che varia, perché la colonna d'acqua aumenta, quindi la bilancia misura una pressione superiore.
E' sbagliato sostenere che, visto che la quantità d'acqua non cambia, allora la pressione non cambia. Quella che non cambia è la massa, ma la legge di Stevino è molto chiara: la pressione dipende dalla profondità e dalla densità, NON dalla massa.
Secondo te, un aereo che ti passa sulla testa, aumenta la pressione atmosferica?
E' sbagliato sostenere che, visto che la quantità d'acqua non cambia, allora la pressione non cambia. Quella che non cambia è la massa, ma la legge di Stevino è molto chiara: la pressione dipende dalla profondità e dalla densità, NON dalla massa.
Secondo te, un aereo che ti passa sulla testa, aumenta la pressione atmosferica?
Ho visto anch'io che mancano dati sul bicchiere, si sa solo che ha una massa $m$. Ma ha quindi anche un volume $V_b$, che sposta acqua. E inoltre l'acqua è spostata anche dall'aria intrappolata nel bicchiere, di volume $V_0/2$.
D'altronde, un tranello forse c'è, ed è questo: alla differenza tra peso e spinta del bicchiere "ci pensa" il vincolo, rappresentato dall'asticella saldata al fondo. Se il bicchiere tira verso il basso o spinge verso l'alto, l'asticella , che si suppone sufficientemente rigida, reagisce di conseguenza.
Quindi, se trascuriamo il volume proprio del bicchiere (ma non è molto giusto…) , possiamo dire che il volume $V_0/2$ della bolla d'aria sposta un ugual volume di acqua, ok? . Perciò se prima l'altezza dell'acqua esterna al bicchiere era $h$ , ora sarà $h_1 = h + \Deltah = h + 1/A*V_0/2$ .
Quindi la pressione sul fondo del cilindro sarà $\rhogh_1 = \rhog(h + 1/A*V_0/2)$ , e la forza totale sul fondo sarà :
$\rhog(h + 1/A*V_0/2)*A = \rhoghA + (\rhog)V_0/2 $ .
Il primo termine a secondo membro è il peso dell'acqua "prima" dell' introduzione del bicchiere capovolto.
D'altronde, un tranello forse c'è, ed è questo: alla differenza tra peso e spinta del bicchiere "ci pensa" il vincolo, rappresentato dall'asticella saldata al fondo. Se il bicchiere tira verso il basso o spinge verso l'alto, l'asticella , che si suppone sufficientemente rigida, reagisce di conseguenza.
Quindi, se trascuriamo il volume proprio del bicchiere (ma non è molto giusto…) , possiamo dire che il volume $V_0/2$ della bolla d'aria sposta un ugual volume di acqua, ok? . Perciò se prima l'altezza dell'acqua esterna al bicchiere era $h$ , ora sarà $h_1 = h + \Deltah = h + 1/A*V_0/2$ .
Quindi la pressione sul fondo del cilindro sarà $\rhogh_1 = \rhog(h + 1/A*V_0/2)$ , e la forza totale sul fondo sarà :
$\rhog(h + 1/A*V_0/2)*A = \rhoghA + (\rhog)V_0/2 $ .
Il primo termine a secondo membro è il peso dell'acqua "prima" dell' introduzione del bicchiere capovolto.
che non è esattamente quello che ho detto io? <.<
Certo Kurt….lo hai detto !
piccolo lapsus. Moltiplicare, non dividere!
Io scherzo Kurt, non fare il permaloso !
Per la seconda domanda, io dico che è un attimo ambigua.
La bilancia misura una forza. Se con "peso" intende appunto la forza, allora basta prendere la pressione, dividere per l'area di base e hai il valore, ma mi sembra un po' ridondante chiedere una cosa del genere.
Se invece intende la quantità di materia che compone il sistema, allora la risposta è $Ah_0rho_text(liquido)+m0+V_0/2rho_text(aria)$
Io l'avrei risolto così.
piccolo lapsus. Moltiplicare, non dividere!
Io scherzo Kurt, non fare il permaloso !
uops 
Vi ringrazio, quindi la pressione esercitata dal volume di aria nel bicchiere non va considerata?
non è che non la consideri: semplicemente quella pressione non causa un innalzamento di pressione nel liquido, ma lo "spinge" e fa salire il livello da $h$ a $h_1$
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