Problema sulla relatività
Ciao a tutti, sono appena arrivato e volevo proporvi un problema che mi è capitato di trovare in una verifica.
Premetto che frequento la V di un liceo scientifico PNI e che la spiegazione della mia prof. non mi è stata per nulla chiara.
Questo è il problema:
Se è passata esattamente un'ora rispetto all'orologio che si trova sulla parete della tua stanza, qual è il tempo misurato da una persona che ti passa davanti ad una velocità pari al 93,0% della velocità della luce?
La questione che non mi è chiara è il tempo di un'ora è il tempo proprio (come sostiene la mia professoressa) oppure no (come sostengo io)?
Aggiungo che se si da ragione alla professoressa facendo due calcoli si verrebbe a trovare un tempo superiore all'ora: questo è possibile?
Ringrazio tutti quelli che avranno la pazienza di mettersi lì a rispondere a questa domanda.
Premetto che frequento la V di un liceo scientifico PNI e che la spiegazione della mia prof. non mi è stata per nulla chiara.
Questo è il problema:
Se è passata esattamente un'ora rispetto all'orologio che si trova sulla parete della tua stanza, qual è il tempo misurato da una persona che ti passa davanti ad una velocità pari al 93,0% della velocità della luce?
La questione che non mi è chiara è il tempo di un'ora è il tempo proprio (come sostiene la mia professoressa) oppure no (come sostengo io)?
Aggiungo che se si da ragione alla professoressa facendo due calcoli si verrebbe a trovare un tempo superiore all'ora: questo è possibile?
Ringrazio tutti quelli che avranno la pazienza di mettersi lì a rispondere a questa domanda.
Risposte
Servirebbe precisare cosa si intende per misurare. Ciascuno dei due osservatori misura il tempo proprio con l'orologio in quiete nel proprio sistema di riferimento, ed il caso da te descritto è simmetrico, cioè ciascuno dei due osservatori è in movimento rispetti all'altro ad una velocità di $0.93c$. Quando un osservatore si chiede qual è il tempo misurato dall'altro, significa come può un osservatore confrontare la propria misura con quella dell'altro, e nel tuo caso non è precisato. È la questione alla base del paradosso dei gemelli.
Per inciso: un'ora è il tempo proprio della persona "ferma"
Facciamo un esempio pratico.
È noto (è stato misurato in vari modi) che la vita media dei muoni a riposo è circa $2\mus$. I muoni vengono prodotti in quantità misurabile negli strati alti dell'atmosfera, a quote dell'ordine di 10 km, dalla collisione dei protoni nei raggi cosmici, e vengono rilevati a terra con una frequenza di circa $100m^{-2}s^{-1}sterad^{-1}$ (grossomodo 1 al minuto su un cm quadrato, lo steradiante è l'unità di misura dell'angolo solido, lo riporto per completezza ma non è rilevante ai fini dell'esempio). Negli sciami sono presenti muoni veloci, e consideriamoa $0.999c$. A quella velocità, un muone dovrebbe percorrere, prima di decadere, circa $0.999*3*10^8m/s*2*10^{-6}s \approx 600m$. La probabilità di rilevarli a terra quindi dovrebbe essere molto bassa, incompatibile con il flusso misurato. In realtà il muone veloce nel suo sistema di riferimento sopravvive $2\mus$, che nel sistema della Terra diventano $2*10^{-6}*\frac{1}{\sqrt{1-0.999^2}} \approx 45*10^{-6}s$, durante i quali percorre $0.999*3*10^8m/s*45*10^{-6}s \approx 13500 m = 13.5 km$, il che spiega come mai la frequenza di rilevamento a terra sia così alta.
In questo caso il confronto fra gli orologi è eseguito mediante la misura della vita media a terra.
Per inciso: un'ora è il tempo proprio della persona "ferma"
Facciamo un esempio pratico.
È noto (è stato misurato in vari modi) che la vita media dei muoni a riposo è circa $2\mus$. I muoni vengono prodotti in quantità misurabile negli strati alti dell'atmosfera, a quote dell'ordine di 10 km, dalla collisione dei protoni nei raggi cosmici, e vengono rilevati a terra con una frequenza di circa $100m^{-2}s^{-1}sterad^{-1}$ (grossomodo 1 al minuto su un cm quadrato, lo steradiante è l'unità di misura dell'angolo solido, lo riporto per completezza ma non è rilevante ai fini dell'esempio). Negli sciami sono presenti muoni veloci, e consideriamoa $0.999c$. A quella velocità, un muone dovrebbe percorrere, prima di decadere, circa $0.999*3*10^8m/s*2*10^{-6}s \approx 600m$. La probabilità di rilevarli a terra quindi dovrebbe essere molto bassa, incompatibile con il flusso misurato. In realtà il muone veloce nel suo sistema di riferimento sopravvive $2\mus$, che nel sistema della Terra diventano $2*10^{-6}*\frac{1}{\sqrt{1-0.999^2}} \approx 45*10^{-6}s$, durante i quali percorre $0.999*3*10^8m/s*45*10^{-6}s \approx 13500 m = 13.5 km$, il che spiega come mai la frequenza di rilevamento a terra sia così alta.
In questo caso il confronto fra gli orologi è eseguito mediante la misura della vita media a terra.
Quindi mi stai dicendo che dal testo del problema non è possibile stabilire se il tempo dell'orologio sulla parete sia il tempo proprio oppure no?
Cosa intendi per tempo proprio? Il tempo proprio è il tempo misurato da un orologio in quiete, o, per usare altre parole, "da un orologio tra eventi che avvengono nello stessa posizione dell'orologio" (vd. per esempio http://en.wikipedia.org/wiki/Proper_time). È "proprio" dell'osservatore.
Ti inserisco la definizione del mio manuale di fisica:
Il tempo proprio è l'intervallo di tempo che separa due eventi che avvengono nello stesso posto.
Secondo questa definizione l'orologio, stando fermo, dovrebbe indicare il tempo proprio. Però come è possibile che invece il signore che va al 93,0% della velocità della luce abbia un orologio che indica un tempo maggiore?
Il tempo proprio è l'intervallo di tempo che separa due eventi che avvengono nello stesso posto.
Secondo questa definizione l'orologio, stando fermo, dovrebbe indicare il tempo proprio. Però come è possibile che invece il signore che va al 93,0% della velocità della luce abbia un orologio che indica un tempo maggiore?
Chi dice che segna un tempo maggiore? O per porre la domanda in termini più precisi, come vengono confrontati gli orologi? Riconsidera l'esempio dei muoni. L'orologio interno del muone segna sempre $2\mus$, ma nel sistema della terra passano circa $45\mus$. Ora supponiamo che le due persone di cui parli siano inizialmente nella stessa posizione e sincronizzino gli orologi. Quando nell'orologio della persona ferma è passata un'ora, fermiamo l'altro e confrontiamo i due orologi. Secondo la definizione di tempo proprio, riportata anche nel link wikipedia consigliato, $\Delta\tau=\int_{0}^{1h}\sqrt{1-\frac{v(t)^2}{c^2}}dt$ e, poichè $v(t)$ è costante, tranne nell'intervallo di frenamento che per semplicità trascuriamo, $\Delta\tau=\sqrt{1-0.93^2}*\Deltat \approx 0.37h$ (il tempo $\Deltat = 1h$ è quello misurato nel sistema di riferimento in cui l'osservatore ha velocità $v=0.93c$), quindi l'orologio della persona che è stata in movimento misura un tempo trascorso di circa 22 minuti, che è il suo tempo proprio. Tieni conto che in questo caso introduciamo un'asimmetria, perchè per confrontare gli orologi fermiamo uno dei due osservatori, che quindi si accorge di essere stato in movimento rispetto all'altro perchè nella sua storia il suo sistema di riferimento non è stato sempre inerziale. Un esperimento del genere è stato condotto negli anni settanta, da Hafele e Keating (se ne è già parlato in questo forum): due orologi atomici vennero sincronizzati ed uno fu portato in giro per il mondo con un aereo, e poi confrontati. Ovviamente i valori riscontrati avevano differenze minime rispetto all'esempio, ma compatibili con la teoria (l'esperimento è stato talvolta contestato, ma è un'altra storia).
Grazie mille CMAX! Sostanzialmente hai confermato la mia idea di partenza cioè che Δt=1h corrisponde al tempo proprio.
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