Problema sulla legge oraria del moto
Sto cercando di risolvere il seguente problema di cinematica su di una legge oraria del moto. Faccio sempre fatica perchè in fisica 1 usiamo spesso infinitesimi o integrali che non so ancora usare bene, in quanto li faremo in analisi 2 e per ora ho frequetanto solo analisi 1.
E' data la legge dell'accelerazione di un corpo che si muove lungo una retta. Tale legge è [tex]a=-kv[/tex]
dove a indica l'accelerazione, v la velocità e k è una costante positiva.
Si sa inoltre che all'istante iniziale (t=0) la velocità è [tex]v_{0}[/tex] ed il corpo si trova all'origine del sistema di riferimento.
Devo trovare la legge della velocità in funzione del tempo e quella dello spazio in funzione del tempo.
Per ricavare quella della velocità ho proceduto così (di seguito indico lo spazio con la lettera x e faccio a volte uso della notazione di Newton per le derivate):
Per trovare la velocità integro l'accelerazione rispetto al tempo:
[tex]\dot{x}(t)=\int-k\dot{x}\mathrm{d} t=-k\int\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t=-k\int \mathrm{d} x=-kx + C[/tex]
dove C indica una costante additiva. Per determinarla si usa la condizione iniziale \dot x (t=0)=v_{0}
[tex]\dot x (t=0)=v_{0}=-kt+C=C\Rightarrow C=v_{0}[/tex]
Quindi la legge della velocità è ora:
[tex]\dot x (t)=-kx+v_{0}[/tex]
A questo punto dovrei integrare la velocità rispetto al tempo per trovare la legge oraria del moto:
[tex]x(t)=\int(-kx+v_{0})\mathrm{dt} =-k\int x\mathrm{dt}+\int v_{0}\mathrm{dt}[/tex]
Ecco che non so più come cavarmela, in particolare a causa del termine [tex]-k\int x\mathrm{dt}[/tex]
Vi chiedo se ciò che ho fatto sia giusto, se potete suggerirmi come procedere e se ci sono consigli in generale.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!!
E' data la legge dell'accelerazione di un corpo che si muove lungo una retta. Tale legge è [tex]a=-kv[/tex]
dove a indica l'accelerazione, v la velocità e k è una costante positiva.
Si sa inoltre che all'istante iniziale (t=0) la velocità è [tex]v_{0}[/tex] ed il corpo si trova all'origine del sistema di riferimento.
Devo trovare la legge della velocità in funzione del tempo e quella dello spazio in funzione del tempo.
Per ricavare quella della velocità ho proceduto così (di seguito indico lo spazio con la lettera x e faccio a volte uso della notazione di Newton per le derivate):
Per trovare la velocità integro l'accelerazione rispetto al tempo:
[tex]\dot{x}(t)=\int-k\dot{x}\mathrm{d} t=-k\int\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}\mathrm{d} t=-k\int \mathrm{d} x=-kx + C[/tex]
dove C indica una costante additiva. Per determinarla si usa la condizione iniziale \dot x (t=0)=v_{0}
[tex]\dot x (t=0)=v_{0}=-kt+C=C\Rightarrow C=v_{0}[/tex]
Quindi la legge della velocità è ora:
[tex]\dot x (t)=-kx+v_{0}[/tex]
A questo punto dovrei integrare la velocità rispetto al tempo per trovare la legge oraria del moto:
[tex]x(t)=\int(-kx+v_{0})\mathrm{dt} =-k\int x\mathrm{dt}+\int v_{0}\mathrm{dt}[/tex]
Ecco che non so più come cavarmela, in particolare a causa del termine [tex]-k\int x\mathrm{dt}[/tex]
Vi chiedo se ciò che ho fatto sia giusto, se potete suggerirmi come procedere e se ci sono consigli in generale.
Grazie mille in anticipo per l'aiuto!!!
Risposte
In sostanza hai una equazione differenziale data da:
$\frac{dx}{dt}=-kx +v_0$
per cui puoi risolverla per separazione di variabili:
$\frac{dx}{-kx + v_0}=dt$
integrando dovresti ottenere la soluzione.
$\frac{dx}{dt}=-kx +v_0$
per cui puoi risolverla per separazione di variabili:
$\frac{dx}{-kx + v_0}=dt$
integrando dovresti ottenere la soluzione.
Ciao!
Secondo me hai fatto un errore nell'integrale: all'inizio hai l'accelerazione rispetto al tempo, ma dopo elimini quest'ultimo lasciando '' dx '' calcolato rispetto al tempo ( insomma non puoi risolverlo cosi', perche' penso sia necessaria una funzione che leghi '' dx '' a '' dt '', e la soluzione dipenderebbe proprio dalla funzione ).
Un modo semplice per risolvere e' il seguente:
- VELOCITA': $a=-kv$. Il problema pone '' $\t_0\=0$ ''.
$(dv)/dt=-kv$. Ovvero l'accelerazione come derivata della velocita' rispetto al tempo.
$(dv)/v=-kdt$. Integrando:
$int_{\v_0\}^v (dv)/v=-kint_0^t dt$.
Che si risolve cosi':
$ln(v/\v_0\)=-kt$. Isolando '' v '':
$v(t)=\v_0\e^(-kt)$. Da notare che l'oggetto si ferma dopo un tempo infinito.
- SPAZIO: dobbiamo integrare la velocita' ottenuta. Sia '' x0 '' la posizione iniziale.
$x(t)=\x_0\+int_0^t v(t)dt$.
$x(t)=\x_0\+int_0^t \v_0\e^(-kt)\dt$.
$x(t)=\x_0\-(\v_0\/k)[\e^(-kt)\]$. La parentesi quadra tra '' 0 '' e '' t ''. Infine:
$x(t)=\x_0\+(\v_0\/k)(1-\e^(-kt)\)$.
Da notare che l'oggetto percorre '' $(\v_0\)/k$ '' in un tempo infinito. In genere ( in pratica ) dopo un certo tempo si puo' considerare il moto ormai concluso.
Secondo me hai fatto un errore nell'integrale: all'inizio hai l'accelerazione rispetto al tempo, ma dopo elimini quest'ultimo lasciando '' dx '' calcolato rispetto al tempo ( insomma non puoi risolverlo cosi', perche' penso sia necessaria una funzione che leghi '' dx '' a '' dt '', e la soluzione dipenderebbe proprio dalla funzione ).
Un modo semplice per risolvere e' il seguente:
- VELOCITA': $a=-kv$. Il problema pone '' $\t_0\=0$ ''.
$(dv)/dt=-kv$. Ovvero l'accelerazione come derivata della velocita' rispetto al tempo.
$(dv)/v=-kdt$. Integrando:
$int_{\v_0\}^v (dv)/v=-kint_0^t dt$.
Che si risolve cosi':
$ln(v/\v_0\)=-kt$. Isolando '' v '':
$v(t)=\v_0\e^(-kt)$. Da notare che l'oggetto si ferma dopo un tempo infinito.
- SPAZIO: dobbiamo integrare la velocita' ottenuta. Sia '' x0 '' la posizione iniziale.
$x(t)=\x_0\+int_0^t v(t)dt$.
$x(t)=\x_0\+int_0^t \v_0\e^(-kt)\dt$.
$x(t)=\x_0\-(\v_0\/k)[\e^(-kt)\]$. La parentesi quadra tra '' 0 '' e '' t ''. Infine:
$x(t)=\x_0\+(\v_0\/k)(1-\e^(-kt)\)$.
Da notare che l'oggetto percorre '' $(\v_0\)/k$ '' in un tempo infinito. In genere ( in pratica ) dopo un certo tempo si puo' considerare il moto ormai concluso.
Premesso che la soluzione di GaS è corretta, il problema si può risolvere più in generale tramite le equazioni differenziali. Stefano93, tu dici che hai dato solo analisi 1, e che non avete fatto nemmeno gli integrali...quindi se la soluzione di GaS potrebbe sembrarti abbastanza oscura, la mia probabilmente ti sembrerà ancora più incomprensibile 
(a questo punto mi viene una domanda: ma cosa avete fatto in analisi 1, solo le derivate? 
). Comunque sia, ti propongo anche questa soluzione, (magari il prof di fisica vi ha dato qualche cenno su come si risolvono le equazioni differenziali).
La relazione
\(\displaystyle a=-kv\)
è una equazione differenziale per la funzione posizione $x(t)$, infatti si può riscrivere come
\(\displaystyle \ddot x +k\dot x=0\)
Questa è una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti e la teoria (che non sto a spiegare) ci dice che la sua soluzione è della forma (prova a fare una verifica sostituendola nella equazione di partenza! è molto semplice, basta fare le derivate )
\(\displaystyle x(t)=A+Be^{-kt}\)
dove $A$ e $B$ sono costanti arbitrarie da determinare tramite le condizioni iniziali, che nel tuo esercizio sono
\(\displaystyle x(0)=0\) e \(\displaystyle \dot x(0)=v_0\)
ed imponendole si trova \(\displaystyle A=\frac{v_0}{k}\) e \(\displaystyle B=-\frac{v_0}{k}\) e quindi si ottiene
\(\displaystyle x(t)=\frac{v_0}{k}(1+e^{-kt})\)
che è la stessa ottenuta da GaS.
(a questo punto mi viene una domanda: ma cosa avete fatto in analisi 1, solo le derivate? ). Comunque sia, ti propongo anche questa soluzione, (magari il prof di fisica vi ha dato qualche cenno su come si risolvono le equazioni differenziali).La relazione
\(\displaystyle a=-kv\)
è una equazione differenziale per la funzione posizione $x(t)$, infatti si può riscrivere come
\(\displaystyle \ddot x +k\dot x=0\)
Questa è una equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti e la teoria (che non sto a spiegare) ci dice che la sua soluzione è della forma (prova a fare una verifica sostituendola nella equazione di partenza! è molto semplice, basta fare le derivate
)\(\displaystyle x(t)=A+Be^{-kt}\)
dove $A$ e $B$ sono costanti arbitrarie da determinare tramite le condizioni iniziali, che nel tuo esercizio sono
\(\displaystyle x(0)=0\) e \(\displaystyle \dot x(0)=v_0\)
ed imponendole si trova \(\displaystyle A=\frac{v_0}{k}\) e \(\displaystyle B=-\frac{v_0}{k}\) e quindi si ottiene
\(\displaystyle x(t)=\frac{v_0}{k}(1+e^{-kt})\)
che è la stessa ottenuta da GaS.
Ciao Mathbells!
Per quanto riguarda gli integrali oggi si svolgono nel programma di analisi '' 2 ''.
Non so se e' cosi' in tutta Italia, ma nell'universita' dove vado io si'.
Nell'universita' dove va Stefano93 ( a meno che non sia la stessa ) anche.
Penso che sia proprio il programma odierno.
Per quanto riguarda gli integrali oggi si svolgono nel programma di analisi '' 2 ''.
Non so se e' cosi' in tutta Italia, ma nell'universita' dove vado io si'.
Nell'universita' dove va Stefano93 ( a meno che non sia la stessa ) anche.
Penso che sia proprio il programma odierno.
@GaS
@Stefano93
Grazie GaS per la precisazione! Io so che con la riforma del "3+2" il materiale di analisi è stato diversamente distribuito (oltre che, in molti casi, tagliato) tra gli esami di Analisi 1 e 2 nel senso di una maggiore semplificazione di analisi 1, però non credevo fino a questo punto. Fare fisica 1 senza integrali ed equazioni differenziali (anche semplici) è veramente limitativo, diventa praticamente un corso di liceo. Posso chiederti che corso di laurea fai? Lo chiedo anche a Stefano93. E posso chiedere ad entrambi se il prof di fisica 1 fa una qualche introduzione agli integrali ed alle eq. differenziali prima di iniziare il corso?
Grazie!
@Stefano93
Grazie GaS per la precisazione! Io so che con la riforma del "3+2" il materiale di analisi è stato diversamente distribuito (oltre che, in molti casi, tagliato) tra gli esami di Analisi 1 e 2 nel senso di una maggiore semplificazione di analisi 1, però non credevo fino a questo punto. Fare fisica 1 senza integrali ed equazioni differenziali (anche semplici) è veramente limitativo, diventa praticamente un corso di liceo. Posso chiederti che corso di laurea fai? Lo chiedo anche a Stefano93. E posso chiedere ad entrambi se il prof di fisica 1 fa una qualche introduzione agli integrali ed alle eq. differenziali prima di iniziare il corso?
Grazie!
Ciao Mathbells!
Sono uno studente di fisica.
Devo precisare che non esiste piu' nemmeno il corso di Fisica '' 1 '' ( meccanica e termodinamica, se non sbaglio ( forse c'era anche relativita' speciale ) )!
Ora abbiamo Meccanica al primo anno e Termodinamica al secondo.
Premetto che studio prevalentemente da solo, per vari motivi, escludendo gli obblighi o alcune eccezioni per corsi non obbligatori.
Che io ricordi, da quel poco che ho seguito di Meccanica ( in particolare all'inizio del corso ) non c'era un' introduzione agli integrali e alle equazioni differenziali. Pero' bisogna specificare due cose:
- Il corso di Analisi '' 1 '' e' parallelo a quello di Meccanica ( anche se gli integrali non si fanno, e le equazioni differenziali si affrontano relativamente tardi ).
- C'era un precorso ( che non ho seguito ) che trattava questi argomenti, precedente ai corsi stessi.
Non so quanti moduli di Analisi Matematica esistessero nel vecchio ordinamento, ma ora la situazione e' la seguente:
Analisi Matematica '' 1,2,3 '' sono obbligatorie e da farsi nei primi due anni della triennale. Al terzo anno c'e' la possibilita' di scegliere Analisi Matematica '' 4 ''. Quindi penso che in totale, la cosiddetta Analisi standard sia affrontata tutta.
Certamente capisco quello che vuoi dire, ovvero che quando si affronta Meccanica non ci sono conoscenze adeguate per affrontare problemi complessi. Un'evoluzione del corso dovrebbe essere Meccanica Analitica ( ultimo semestre del secondo anno ), che arriva proprio dopo le tre analisi. Sicuramente un fisico, al giorno d'oggi, per essere veramente tale deve avere la laurea magistrale, cioe' dev'essere specializzato.
Sono uno studente di fisica.
Devo precisare che non esiste piu' nemmeno il corso di Fisica '' 1 '' ( meccanica e termodinamica, se non sbaglio ( forse c'era anche relativita' speciale ) )!
Ora abbiamo Meccanica al primo anno e Termodinamica al secondo.
Premetto che studio prevalentemente da solo, per vari motivi, escludendo gli obblighi o alcune eccezioni per corsi non obbligatori.
Che io ricordi, da quel poco che ho seguito di Meccanica ( in particolare all'inizio del corso ) non c'era un' introduzione agli integrali e alle equazioni differenziali. Pero' bisogna specificare due cose:
- Il corso di Analisi '' 1 '' e' parallelo a quello di Meccanica ( anche se gli integrali non si fanno, e le equazioni differenziali si affrontano relativamente tardi ).
- C'era un precorso ( che non ho seguito ) che trattava questi argomenti, precedente ai corsi stessi.
Non so quanti moduli di Analisi Matematica esistessero nel vecchio ordinamento, ma ora la situazione e' la seguente:
Analisi Matematica '' 1,2,3 '' sono obbligatorie e da farsi nei primi due anni della triennale. Al terzo anno c'e' la possibilita' di scegliere Analisi Matematica '' 4 ''. Quindi penso che in totale, la cosiddetta Analisi standard sia affrontata tutta.
Certamente capisco quello che vuoi dire, ovvero che quando si affronta Meccanica non ci sono conoscenze adeguate per affrontare problemi complessi. Un'evoluzione del corso dovrebbe essere Meccanica Analitica ( ultimo semestre del secondo anno ), che arriva proprio dopo le tre analisi. Sicuramente un fisico, al giorno d'oggi, per essere veramente tale deve avere la laurea magistrale, cioe' dev'essere specializzato.
"mathbells":
@GaS
@Stefano93
Grazie GaS per la precisazione! Io so che con la riforma del "3+2" il materiale di analisi è stato diversamente distribuito (oltre che, in molti casi, tagliato) tra gli esami di Analisi 1 e 2 nel senso di una maggiore semplificazione di analisi 1, però non credevo fino a questo punto. Fare fisica 1 senza integrali ed equazioni differenziali (anche semplici) è veramente limitativo, diventa praticamente un corso di liceo. Posso chiederti che corso di laurea fai? Lo chiedo anche a Stefano93. E posso chiedere ad entrambi se il prof di fisica 1 fa una qualche introduzione agli integrali ed alle eq. differenziali prima di iniziare il corso?
Grazie!
Io studio all'Università di Trieste e da quest anno hanno deciso di spostare la parte di programma su integrali e serie ad analisi 2. Il professore di meccanica ha fatto un introduzione molto veloce sugli integrali, che un po' so calcolare dal liceo ma non so ancora applicare con disinvoltura in fisica. Mi spiego meglio, sulla parte di teoria non ho problemi ad usare gli integrali seguendo i calcoli che ha fatto il professore ma quando si tratta di applicarli ai problemi la questione si complica un po'.
Mi hai inoltre chiesto cosa abbiamo fatto ad analisi 1. Beh, si è trattato di un corso in comune con il Cdl in matematica, quindi molto teorico ed incentrato su questioni topologiche, teoria degli spazi metrici e poi i classici limiti e derivate.
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