Problema sulla cinematica del punto
Un treno inizialmente fermo si mette in moto all'istante $t=0$ con accelerazione scalare $a_0=0,4 m/s^2$; l'accelerazione diminuisce poi linearmente col tempo e si annulla all'istante $T$ in cui il treno ha raggiunto una velocità di modulo $V=90 (km)/h$. Si determini lo spazio $S$ percorso dal treno fino all'istante $T$.
Penso di dover risolvere questo problema partendo dall'equazione di $a$ e poi integrare
però non so trovare quell'equazione
qualcuno sa aiutarmi?
grazie mille
Penso di dover risolvere questo problema partendo dall'equazione di $a$ e poi integrare
però non so trovare quell'equazione
qualcuno sa aiutarmi?
grazie mille
Risposte
basta usare le leggi del moto uniformemente accelerato.
nel moto uniformememnte accelerato l'accelerazione è sempre la stessa qui invece varia nel tempo!
In fisica non sono mai stata un granchè e vorrei migliorare, cerco di ragionare insieme a voi...
Se la accelerazione diminuisce linearmente significa che la variazione di accelerazione è costante nel tempo,
$a_0 - a_1= k (t_o - T)$
Ora $a_0=0,4m/s^2$
$a_1=0$
$t_0=0$
T è l'incognita
mi manca da determinare k, la costante di proporzionalità.
Ho a disposizione l'informazione che la velocità varia da 0 a $90(Km)/h$ (sarà da trasformare in m/s),
ebbene potrebbe essere $v_1= v_0 + a_0*T + 1/2 kT^2$?
con $v_1=90(Km)/h$ e $v_0=0$
Ora insieme all'altra condizione, si possono determinare le incognite?
Se ho preso dei granchi pazzeschi, scusatemi!
Se la accelerazione diminuisce linearmente significa che la variazione di accelerazione è costante nel tempo,
$a_0 - a_1= k (t_o - T)$
Ora $a_0=0,4m/s^2$
$a_1=0$
$t_0=0$
T è l'incognita
mi manca da determinare k, la costante di proporzionalità.
Ho a disposizione l'informazione che la velocità varia da 0 a $90(Km)/h$ (sarà da trasformare in m/s),
ebbene potrebbe essere $v_1= v_0 + a_0*T + 1/2 kT^2$?
con $v_1=90(Km)/h$ e $v_0=0$
Ora insieme all'altra condizione, si possono determinare le incognite?
Se ho preso dei granchi pazzeschi, scusatemi!
ops... scusate ho letto male il testo 
[quote=gio73]ebbene potrebbe essere $v_1= v_0 + a_0*T + 1/2 kT^2$?
per trovare $v_1$ non devo fare l'integrale di a?
cioè non dovrei avere $v_1=1/2kT^2$?
per trovare $v_1$ non devo fare l'integrale di a?
cioè non dovrei avere $v_1=1/2kT^2$?
Secondo me l'accelerazione è:
$a=a_0(1-t/T)$
La velocità diventa:
$v=a_0t(1-t/(2T))$
Per t = T si ha $v = (a_0T)/2$
Cioè $T = (2v)/a_0=125 s$.
$a=a_0(1-t/T)$
La velocità diventa:
$v=a_0t(1-t/(2T))$
Per t = T si ha $v = (a_0T)/2$
Cioè $T = (2v)/a_0=125 s$.
anche con l'equazioni scritte prima ho $T=125s$
Il mio problema è poi per $s$ perchè faccio l integrale di $v$ xo dovrebbe uscire come risultato 2803m invece mi esce esattamente la metà
Il mio problema è poi per $s$ perchè faccio l integrale di $v$ xo dovrebbe uscire come risultato 2803m invece mi esce esattamente la metà
Lo spostamento diventa:
$s=(a_0t^2)/6(3-t/T)=2803,3 m$.
$s=(a_0t^2)/6(3-t/T)=2803,3 m$.
Ma come hai trovato l' equazione per l' accelerazione?
"miriam161089":
Ma come hai trovato l' equazione per l' accelerazione?
L'equazione dell'accelerazione è una retta che incontra gli assi (t, a) nei punti (0,$a_0$) e (T,0).
Dall'equazione segmentaria di una retta possiamo perciò scrivere:
$a/a_0+t/T=1$
Da questa si ricava l'equazione dell'accelerazione.
Io ragionerei complessivamente così (come è già stato fatto) ...
Se l'accelerazione diminuisce linearmente con il tempo e per $t=0$ vale $a(0)=a_0=0.4 \ m*s^-2$, allora ha espressione $a(t)=a_0-k*t$, con $k>0$.
Se poi si annulla al tempo $t=T$, allora si ha $a(T)=a_0-k*T=0$, da cui $k=a_0/T$ e $a(t)=a_0*(1-t/T)$.
Poiché $a(t)=(dv)/(dt)$, allora
$v(t)-v(0)=int_0^t dv=int_0^t a(t) dt=int_0^t a_0*(1-t/T)=a_0*int_0^t (1-t/T)dt = a_0(t-1/(2*T)*t^2)$
e
$v(t)=v(0)+a_0(t-1/(2*T)*t^2)$.
Ma il treno inizialmente era fermo, per cui $v(0)=0$ e la velocità ha espressione
$v(t)=a_0*t-a_0/(2*T)*t^2$.
Siccome la velocità al tempo $t=T$ è $v_(f)=v(T)=90 \ km*h^-1=90*10^3/3600=25 \ m*s^-1$, allora
$v_(f)=v(T)=a_0*T-a_0/(2*T)*T^2=1/2*a_0*T$,
da cui
$T=(2*v_(f))/a_0=(2*25)/0.4=125 \ s$
e
$v(t)=a_0*t-a_0/(2*(2*v_(f))/a_0)*t^2= a_0*t-(a_0^2)/(4*v_(f))*t^2$.
Per quanto riguarda lo spazio percorso, $v(t)=(dx)/(dt)$ e
$x(t)-x(0)=int_0^t dx =int_0^t v(t) dt= int_0^t (a_0*t-(a_0^2)/(4*v_(f))*t^2) dt =1/2*a_0*t^2 -1/12*a_0^2/v_(f)*t^3$.
Presa l'origine nella posizione iniziale, $x(0)=0$ e
$x(t) =1/2*a_0*t^2 -1/12*a_0^2/v_(f)*t^3$.
Da cui
$x(T)=1/2*a_0*T^2 -1/12*a_0^2/v_(f)*T^3=1/2*a_0*T^2*(1-1/6*a_0/v_(f)*T)=$
$1/2*a_0*((2*v_(f))/a_0)^2*(1-1/6*a_0/v_(f)*(2*v_(f))/a_0)=2*v_(f)^2/a_0*(1-1/3)=4/3*v_(f)^2/a_0=4/3*25^2/0.4=6250/3~=2083 \ m$.
Se l'accelerazione diminuisce linearmente con il tempo e per $t=0$ vale $a(0)=a_0=0.4 \ m*s^-2$, allora ha espressione $a(t)=a_0-k*t$, con $k>0$.
Se poi si annulla al tempo $t=T$, allora si ha $a(T)=a_0-k*T=0$, da cui $k=a_0/T$ e $a(t)=a_0*(1-t/T)$.
Poiché $a(t)=(dv)/(dt)$, allora
$v(t)-v(0)=int_0^t dv=int_0^t a(t) dt=int_0^t a_0*(1-t/T)=a_0*int_0^t (1-t/T)dt = a_0(t-1/(2*T)*t^2)$
e
$v(t)=v(0)+a_0(t-1/(2*T)*t^2)$.
Ma il treno inizialmente era fermo, per cui $v(0)=0$ e la velocità ha espressione
$v(t)=a_0*t-a_0/(2*T)*t^2$.
Siccome la velocità al tempo $t=T$ è $v_(f)=v(T)=90 \ km*h^-1=90*10^3/3600=25 \ m*s^-1$, allora
$v_(f)=v(T)=a_0*T-a_0/(2*T)*T^2=1/2*a_0*T$,
da cui
$T=(2*v_(f))/a_0=(2*25)/0.4=125 \ s$
e
$v(t)=a_0*t-a_0/(2*(2*v_(f))/a_0)*t^2= a_0*t-(a_0^2)/(4*v_(f))*t^2$.
Per quanto riguarda lo spazio percorso, $v(t)=(dx)/(dt)$ e
$x(t)-x(0)=int_0^t dx =int_0^t v(t) dt= int_0^t (a_0*t-(a_0^2)/(4*v_(f))*t^2) dt =1/2*a_0*t^2 -1/12*a_0^2/v_(f)*t^3$.
Presa l'origine nella posizione iniziale, $x(0)=0$ e
$x(t) =1/2*a_0*t^2 -1/12*a_0^2/v_(f)*t^3$.
Da cui
$x(T)=1/2*a_0*T^2 -1/12*a_0^2/v_(f)*T^3=1/2*a_0*T^2*(1-1/6*a_0/v_(f)*T)=$
$1/2*a_0*((2*v_(f))/a_0)^2*(1-1/6*a_0/v_(f)*(2*v_(f))/a_0)=2*v_(f)^2/a_0*(1-1/3)=4/3*v_(f)^2/a_0=4/3*25^2/0.4=6250/3~=2083 \ m$.
grazie mille a tutti
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