Problema sul segno di un prodotto scalare…
Salve,
chiedo un aiuto per la comprensione sul segno del prodotto scalare nel calcolo del lavoro di un pendolo.
Consideriamo un pendolo semplice di massa m che parte da fermo con un angolo di 60° con la verticale, (indichiamo con A il punto iniziale del moto e con B il punto più basso): calcolare la velocità in B.
Ai fini di calcolare la velocità nel punto più basso della traiettoria usiamo il teorema dell’energia cinetica.
Il lavoro della forza peso è
la mia perplessità è nel determinare il segno del prodotto scalare.
Il Silvestrini (da cui ho preso questo esercizio) dice:
“Notiamo che la forza peso mg è costante in modulo e direzione e che la proiezione di ds nella direzione della forza è semplicemente $–dy$ (mg ha la stessa direzione dell’asse y ma verso opposto) ;
per cui $mg ∙ ds = – mg dy$”.
Ma come? Non dovrebbe essere mg ∙ ds = mg (–j) ∙ dy (–j ) = mg dy
Lo so che il segno corretto è il meno ma con queste notazioni non lo vedo....
chiedo un aiuto per la comprensione sul segno del prodotto scalare nel calcolo del lavoro di un pendolo.
Consideriamo un pendolo semplice di massa m che parte da fermo con un angolo di 60° con la verticale, (indichiamo con A il punto iniziale del moto e con B il punto più basso): calcolare la velocità in B.
Ai fini di calcolare la velocità nel punto più basso della traiettoria usiamo il teorema dell’energia cinetica.
Il lavoro della forza peso è
la mia perplessità è nel determinare il segno del prodotto scalare.
Il Silvestrini (da cui ho preso questo esercizio) dice:
“Notiamo che la forza peso mg è costante in modulo e direzione e che la proiezione di ds nella direzione della forza è semplicemente $–dy$ (mg ha la stessa direzione dell’asse y ma verso opposto) ;
per cui $mg ∙ ds = – mg dy$”.
Ma come? Non dovrebbe essere mg ∙ ds = mg (–j) ∙ dy (–j ) = mg dy
Lo so che il segno corretto è il meno ma con queste notazioni non lo vedo....
Risposte
Il lavoro e' sempre $-mgdy$ se l'asse y e' rivolto verso l'alto.
Il punto e' che qui e' vincolato a muoversi su una circonferenza e questo genera confusione.
In pratica, lui disegna tutto, ma poi usando il dy ignora tutto l'impianto (perche sa gia' che il lavoro sara' mgdy).
Pero' hai ragione tu ad avere il dubbio: sia la proiezione di $mvecg$ che la proiezione di $dvecs$ sono negative, quindi il lavoro per andare da A a B e' positivo (infatti il pendolo accelera nella fase di discesa).
Per lo stesso motivo ottieni che il lavoro e' $-mgdy$: se $dy<0$ il lavoro e' positivo.
Una non felice rappresentazione grafica che giustifica la tua domanda
Il punto e' che qui e' vincolato a muoversi su una circonferenza e questo genera confusione.
In pratica, lui disegna tutto, ma poi usando il dy ignora tutto l'impianto (perche sa gia' che il lavoro sara' mgdy).
Pero' hai ragione tu ad avere il dubbio: sia la proiezione di $mvecg$ che la proiezione di $dvecs$ sono negative, quindi il lavoro per andare da A a B e' positivo (infatti il pendolo accelera nella fase di discesa).
Per lo stesso motivo ottieni che il lavoro e' $-mgdy$: se $dy<0$ il lavoro e' positivo.
Una non felice rappresentazione grafica che giustifica la tua domanda
Di fatto hai ragione te, solo che quello è un integrale curvilineo, nel Silvestrini l'ha già ridotto a integrale normale perché "ovvio", ma quell'integrale NON va da $y_A$ a $y_B$, ma da $theta=60$ a $theta=0$, infatti quella circonferenza ha parametrizzazione:
$x=Rsintheta$
$y=OO'-Rcostheta$
Per quanto detto si ha $L=intmgdy$
Essendo $dy=Rsinthetad theta$, quindi:
$L=int_(60)^(0)mgRsinthetad theta$
$x=Rsintheta$
$y=OO'-Rcostheta$
Per quanto detto si ha $L=intmgdy$
Essendo $dy=Rsinthetad theta$, quindi:
$L=int_(60)^(0)mgRsinthetad theta$
Grazie delle vostre risposte, ma svolgendo l'integrale il risultato è sempre sbagliato per il segno...
si ha $L = mgR(-1+costheta_0)$
si ha $L = mgR(-1+costheta_0)$
Allora, no, niente lascia fare tutto quello che ho scritto. Il fatto è che gli "infinitesimi" non hanno segno, $dvecs$ è semplicemente il vettore $(dx, dy)$, non ha senso scrivere $-dx$ oppure $-dy$, Il lavoro di una forza è una "forma differenziale" $dL=F_xdx+F_ydy+F_xdx$, nel tuo caso la forza è $mvecg=(0, -mg)$, quindi ul suo lavoro elementare è:
$dL=(0,-mg)*(dx,dy)=-mgdy$
L'errore sta nello scrivere $dvecs=-dxveci-dyvecj$, infatti è $dvecs=dxveci+dyvecj$, il verso di $dvecs$ lo decidono i dx e i dy, se dx e dy sono positivi allora $dvecs$ puta nel primo quadrante, se sono entrambi negativi punta nel terzo quandrante etc.
$dL=(0,-mg)*(dx,dy)=-mgdy$
L'errore sta nello scrivere $dvecs=-dxveci-dyvecj$, infatti è $dvecs=dxveci+dyvecj$, il verso di $dvecs$ lo decidono i dx e i dy, se dx e dy sono positivi allora $dvecs$ puta nel primo quadrante, se sono entrambi negativi punta nel terzo quandrante etc.
Grazie tanto...finalmente ho chiaro il discorso .....
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