Problema sul centro di massa
Un’asta sottile con sezione trasversale di area A è piegata a forma di semicirconferenza di raggio R. Quale è la posizione del C.d.M dell’asta?
Risposte
In particolare, non riesco a capire bene come sia fatta l'asta... Il fatto che sia sottile significa che ha spessore nullo, giusto? Quindi, se ha sezione A e spessore nullo, è un po' come se fosse un piano piegato a forma di semicirconferenza? Le coordinate che individuano il centro di massa sono, quindi 3 (dal momento che l'asta si estenderebbe in tre dimensioni)? Se le mie considerazioni sono esatte, avrei pensato di prendere l'asse z coincidente con l'asse di simmetria dell'asta, di modo che x_cdm = 0 e y_cdm = 0. A questo punto, però, per determinare la quota del centro di massa, bisognerebbe calcolare l'integrale doppio di z sulla superficie dell'asta... ma come fare??
Ah, dimenticavo, il piano xy l'ho preso in modo tale che l'asta vi si "appoggi" sopra...
Boh, spero di aver capito bene il problema perchè A non l'ho usata... Se l'asta è sottile non dovrebbe significare che A è trascurabile dato che è la sezione trasversale?
Comunque immagino l'asta piegata a semicirconferenza. $\rho$ è la densità lineica di massa. Prendo un punto sulla semicirconferenza le cui coordinate sono $y=R\sin \alpha$ e $x=R\cos \alpha$. Per simmetria vedo subito che la coordinata x del cdm sarà zero, pertanto trascuro le ascisse. Vedo anche che sempre per simmetria la coordinata y del cdm di metà della semicirconferenza di destra (o di sinistra) sarà la stessa di quella di tutta la semicirconferenza.
Pertanto $y_{cdm}=\frac{\int_0^{\pi/2} \rho R^2\sin \alpha d \alpha}{\rho \pi R/2}=\frac{2R}{\pi}$
dove ho preso che poichè l'angolo è in radianti la lunghezza del pezzettino da considerare è molto piccola e pari a $Rd\alpha$
Comunque immagino l'asta piegata a semicirconferenza. $\rho$ è la densità lineica di massa. Prendo un punto sulla semicirconferenza le cui coordinate sono $y=R\sin \alpha$ e $x=R\cos \alpha$. Per simmetria vedo subito che la coordinata x del cdm sarà zero, pertanto trascuro le ascisse. Vedo anche che sempre per simmetria la coordinata y del cdm di metà della semicirconferenza di destra (o di sinistra) sarà la stessa di quella di tutta la semicirconferenza.
Pertanto $y_{cdm}=\frac{\int_0^{\pi/2} \rho R^2\sin \alpha d \alpha}{\rho \pi R/2}=\frac{2R}{\pi}$
dove ho preso che poichè l'angolo è in radianti la lunghezza del pezzettino da considerare è molto piccola e pari a $Rd\alpha$
Il punto è che credo che la sezione sia da intendersi piana, proprio perchè lo spessore, comunque, è nullo... Dovresti immaginare una sorta di foglio piegato a forma di semicirconferenza... almeno io così l'avevo inteso... ma volevo conferme, perchè anche a me era poco chiaro... se fosse come lo intendo io, come si potrebbe procedere?
Penso semplicemente che il ragionamento
di texas97 sia corretto: solo
che nel considerare la massa, è là che entra $A$.
Perchè $\rho$ è la densità volumica di massa, perciò la massa di un quarto di circonferenza è $\rhoA\pi/2$
di texas97 sia corretto: solo
che nel considerare la massa, è là che entra $A$.
Perchè $\rho$ è la densità volumica di massa, perciò la massa di un quarto di circonferenza è $\rhoA\pi/2$
Se $\rho$ fosse la densità volumica, avrei un integrale triplo... e poi scusa, come dovrei immaginarla quest'asta?
Sono giunto alla conclusione che l'asta, in realtà, non sia sottile... deve essere un errore nel testo del problema... non avrebbe neanche senso parlare di sezione di AREA A, come faceva notare, giustamente, texas97. Di conseguenza, R deve essere il raggio medio dell'asta piegata. Non mi è, però, ancora chiara la strada da percorrere per arrivare alla soluzione...
Mi correggo, quello che ha scritto texas97 è giusto -non avevo letto
che per lui $\rho$ era la densità lineica.
Se posso dopo scrivo mie considerazioni su come vada considerata la "sottigliezza" dell'asta.
che per lui $\rho$ era la densità lineica.
Se posso dopo scrivo mie considerazioni su come vada considerata la "sottigliezza" dell'asta.
Possibile che, per simmetria, il centro di massa dell'asta (che è, dunque, un oggetto tridimensionale) sia lo stesso di quello di un semplice arco di semicirconferenza con lo stesso raggio? In tal caso, il problema si ridurrebbe comunque al semplice integrale di texas97... ma volendolo verificare con i calcoli, come imposto l'integrale triplo sul volume dell'asta? Non posso neanche usare le coordinate sferiche, perchè la simmetria non è certo sferica...
Non puoi comunque impostare un integrale triplo perchè
non hai alcuna informazione sulla forma della sezione.
Ma la "sottilità" entra proprio in questo.
Approssimi il volume (di metà asta) con l'integrale in una sola dimensione: $int_0^(\pi/2)AR"d"\theta$
(@edit: avevo saltato $R$)
Una volta in un compito
ho fatto tutto un integrale (doppio in quel caso), per approssimare dopo, trascurando
alcuni termini, ed il professore mi ha giustamente rimproverato: a questo punto approssimi prima
e rendi più semplice l'integrazione.
Ora, nel calcolo del centro di massa, hai $\rhoA$ sia al numeratore che al denominatore, per
cui semplifichi.
$A$ rientrerebbe per esempio nel calcolo dei momenti di inerzia.
non hai alcuna informazione sulla forma della sezione.
Ma la "sottilità" entra proprio in questo.
Approssimi il volume (di metà asta) con l'integrale in una sola dimensione: $int_0^(\pi/2)AR"d"\theta$
(@edit: avevo saltato $R$)
Una volta in un compito
ho fatto tutto un integrale (doppio in quel caso), per approssimare dopo, trascurando
alcuni termini, ed il professore mi ha giustamente rimproverato: a questo punto approssimi prima
e rendi più semplice l'integrazione.
Ora, nel calcolo del centro di massa, hai $\rhoA$ sia al numeratore che al denominatore, per
cui semplifichi.
$A$ rientrerebbe per esempio nel calcolo dei momenti di inerzia.
Nell'approssimazione credo, però, che manchi un termine R nell'integrale (anche perché, sennò, non mi tornerebbe dimensionalmente...). Quindi, questa semplificazione varrebbe soltanto perchè l'asta è sottile? E perché? Comunque, in pratica, il conto torna col precedente, da cui deduco che le mie considerazioni sulla simmetria (puramente intuitive e "a occhio") fossero corrette...
Ah sì, certo! manca $R$ ("distrazione") -ho corretto, grazie.
Però scusa... la coordinata z è giusto riscriverla come l'ha scritta texas97? Stiamo, stavolta, considerando un corpo tridimensionale... Non ho comunque capito bene nè in che senso l'asta sia sottile nè perchè quest'ipotesi serva per fare la semplificazione che hai fatto tu.... P.S.: scusa le troppe domande, ma ci terrei a capire bene quest'esercizio...
Cancello la prima domanda (risposta ovvia: visto che l'integrale è diventato ad una dimensione, è cambiato anche il dominio di integrazione). Aspetto, comunque delucidazioni in merito alla sottigliezza dell'asta.
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