Problema sui moti relativi

[spidersim]

Salve a tutti!!
Riporto di seguito un problema con soluzione, a me non chiara, proposto nel libro 'fisica vol. 1' degli autori P. Mazzoldi, M. Nigro, C. Voci:


PROBLEMA
Si consideri un disco di raggio $R=1m$ che ruota con velocità angolare $\omega=10(rad)/(s)$ attorno ad un asse verticale passante per il suo centro.
Lungo un diametro del disco è realizzata una scanalatura dove può scorrere senza attrito una pallina di massa $m=0.1Kg$, collegata al centro $O$
del disco da una molla di costante elastica $k=5(N)/(m)$ e lunghezza a riposo nulla. Se inizialmente la pallina è tenuta in quiete rispetto al disco,
alla distanza $r=0.5m$ da $O$, determinare la sua velocità radiale quando sta per uscire dalla scanalatura.


SOLUZIONE
Non c'è equilibrio, $k*r bilancio energetico:
$1/2*k*r^2+\int_{r}^{R} m*\omega^2*r dr=1/2*k*R^2+1/2*m*v^2$ $rArr$ $v=6.12m/s$.


Sareste così gentili da spiegarmi cosa rappresenta il termine $\int_{r}^{R} m*\omega^2*r dr$ ?
E' l'energia cinetica nella posizione iniziale? Non dovrebbe essere semplicemente $1/2*m*\omega^2*r^2$ ?

Grazie!!
Simone

[VINX89]

Quell'integrale rappresenta il lavoro compiuto dalla forza centrifuga, nel sistema non inerziale solidale con il disco, per portare la pallina dalla posizione $r$ alla posizione $R$
Tale lavoro, per uno spostamento infinitesimo, è $dW = m omega^2 r dr$ (forza per spostamento); integrando si ottiene quella scrittura lì.
Il secondo membro rappresenta la variazione di energia meccanica della pallina, ovvero la variazione di energia cinetica e potenziale (elastica, in questo caso) della stessa.
Dalla cinematica si sà che $v = omega R$, quindi le due scritture sono equivalenti.

[spidersim]

Grazie 1000!!