Problema sui gas ideali
un recipiente a pareti rigide, adiabatico ed orizzontale, è diviso in 2 parti da un pistone fluttuante adiabatico capace di scorrere all'interno senza attrito; le due parti sono riempite di gas monoatomico ideale nelle condizioni iniziali $T_(A_1)=T_(B_1)=283.15 K$ , $V_(A_1)=V_(B_1)=0.5 m^3$ , $P_(A_1)$=$P_(B_1)$=1 bar . Supponendo di introdurre calore nel gas occupante la parte A mediante una resistenza elettrica affinche la pressione del gas A raggiunge il valore $P_(A_2)=3 $bar , devo calcolare la temperatura finale $T_(B_2) $ del gas B, quella finale del gas A $T_(A_2)$, il calore $Q_A$ introdotto nel gas A, infine il lavoro $L_(AB)$ trasmesso dal gas A al gas B.
Da dove comincio?!?! vorrei qualche aiutino per favore
Da dove comincio?!?! vorrei qualche aiutino per favore
Risposte
Il gas in B subisce una compressione adiabatica. Ipotizzando che il riscaldamento avvenga in modo sufficientemente lento, possiamo ritenere tale trasformazione reversibile.
All'equilibrio il pistone è fermo e la pressione è la stessa in A e B.
Il lavoro compiuto sul gas in B è:
\(L_B=-nc_v(T_{B2}-T_{B1})\)
Per l'equazione di Poisson abbiamo:
\(P \cdot V^\gamma = cost\)
\(P^{1 - \gamma } \cdot T^\gamma = cost\)
essendo il gas monoatomico \(c_v \) e \( \gamma \) sono noti
Per la quantità di calore fornita:
\(Q=L_A+ \Delta U_A\)
All'equilibrio il pistone è fermo e la pressione è la stessa in A e B.
Il lavoro compiuto sul gas in B è:
\(L_B=-nc_v(T_{B2}-T_{B1})\)
Per l'equazione di Poisson abbiamo:
\(P \cdot V^\gamma = cost\)
\(P^{1 - \gamma } \cdot T^\gamma = cost\)
essendo il gas monoatomico \(c_v \) e \( \gamma \) sono noti
Per la quantità di calore fornita:
\(Q=L_A+ \Delta U_A\)
grazie innanzitutto per l'attenzione, ma non mi è ancora chiaro come trovare ciò che mi chiede il problema...cioè non capisco proprio dove ricavare $T_(B2)$ e $Q_A$ ...puoi essere un pò più dettagliato se non ti dispiace? scusami se ti faccio perder tempo in ogni caso..
allora il primo quesito l'ho risolto impostando $T_(A1)P_(A1) ^(-2/5)=T_(B2)P_(A2) ^(-2/5)$ da cui $T_(B2)=439.4 K$ , perfetto mi da...poi come trovo invece $T_(A2)$ ??
la temperatura finale in B la puoi calcolare anche così:
\(\displaystyle T_{B2} = \frac{{P_{B2} V_{B2} }}{{nR}}\)
Dalle condizioni iniziali ricavi il numero di moli, con l'eq. di stato.
Volume finale per il gas in B:
\(V_{B2} = V_0 \cdot \left( {\frac{{P_0 }}{{P_{B2} }}} \right)^{\frac{1}{\gamma }}\)
il pedice 0 indica le condizioni iniziali, che sono le stesse per i due gas.
per calcolare il volume finale del gas in A
\(V_{A2} = V_{tot} - V_{B2} = 2V_0 - V_0 \left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{\gamma }} = ...\)
la temperatura finale in A la trovi con l'equazione di stato.
Il calore è fornito solo ad A, che compie lavoro su B
\(\Delta U_A + \Delta U_B = Q_A \)
\(\Delta U = nc_v \Delta T_A + nc_v \Delta T_B = Q_A \)
Lavoro fatto dal gas in A su B
\(L_A = \Delta U_A - Q_A\)
in effetti hai ragione; il mio primo post è stato un po' frettoloso, ma serviva per vincere la sindrome da foglio bianco.
\(\displaystyle T_{B2} = \frac{{P_{B2} V_{B2} }}{{nR}}\)
Dalle condizioni iniziali ricavi il numero di moli, con l'eq. di stato.
Volume finale per il gas in B:
\(V_{B2} = V_0 \cdot \left( {\frac{{P_0 }}{{P_{B2} }}} \right)^{\frac{1}{\gamma }}\)
il pedice 0 indica le condizioni iniziali, che sono le stesse per i due gas.
per calcolare il volume finale del gas in A
\(V_{A2} = V_{tot} - V_{B2} = 2V_0 - V_0 \left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{\gamma }} = ...\)
la temperatura finale in A la trovi con l'equazione di stato.
Il calore è fornito solo ad A, che compie lavoro su B
\(\Delta U_A + \Delta U_B = Q_A \)
\(\Delta U = nc_v \Delta T_A + nc_v \Delta T_B = Q_A \)
Lavoro fatto dal gas in A su B
\(L_A = \Delta U_A - Q_A\)
in effetti hai ragione; il mio primo post è stato un po' frettoloso, ma serviva per vincere la sindrome da foglio bianco.
ora sei stato molto chiaro 
una cosa però: quando devo trovare la temperatura finale in A, come dici tu uso l'equazione di stato perciò $T_(A2)= (P_(A2)V_(A2))/(nR) = (3*0.75 m^3) /(n*8.31)$ ma le moli quante sono? Trovandole con le condizioni iniziali mi danno 0.00021 però usando questo dato i conti non tornano perchè così la temperatura finale in A mi da 1289.3 quando invece il libro mi porta come risultato 1259.5 K
in ogni caso ho notato pure che nelle formule hai usato $P_(B2)$ cioè la pressione finale in B ma io non lo ho questo dato..tu hai scritto 3 quando hai trovato il volume finale in B...
una cosa però: quando devo trovare la temperatura finale in A, come dici tu uso l'equazione di stato perciò $T_(A2)= (P_(A2)V_(A2))/(nR) = (3*0.75 m^3) /(n*8.31)$ ma le moli quante sono? Trovandole con le condizioni iniziali mi danno 0.00021 però usando questo dato i conti non tornano perchè così la temperatura finale in A mi da 1289.3 quando invece il libro mi porta come risultato 1259.5 Kin ogni caso ho notato pure che nelle formule hai usato $P_(B2)$ cioè la pressione finale in B ma io non lo ho questo dato..tu hai scritto 3 quando hai trovato il volume finale in B...
"piero_":
All'equilibrio il pistone è fermo e la pressione è la stessa in A e B.
Per il resto attenzione alle unità di misura e agli arrotondamenti.
sono impantanato qua..allora riepiloghiamo : per il primo quesito la temperatura finale in B è 439.4 K e ci siamo perchè il risultato del testo dà così; per il secondo quesito cioè la temperatura finale in A, come mi suggerisci tu, trovo prima il volume finale in B e mi da 0,25 m^3 , da cui quello finale in A mi esce che è 0.75 m^3 , così ora posso trovarmi la temperatura finale in A con l'equazione di stato ed ottengo la formula che ho scritto al post sopra...mi è sorto pure il dubbio quando ho trovato le moli con le condizioni iniziali di usare il volume totale e la pressione totale ma non mi trovo comunque...come ne esco?!?! 
Quello che volevo dire è che le formule non funzionano a prescindere dalle unità di misura che utilizzi.
Con quel valore di R la pressione va in Pascal
Fai i calcoli con attenzione, le moli sono 21 e il volume risulta:
\[V_{A2} = 1 - 0,5 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{\gamma }} = 0,74_1 {\rm m}^{\rm 3}\]
Con quel valore di R la pressione va in Pascal
Fai i calcoli con attenzione, le moli sono 21 e il volume risulta:
\[V_{A2} = 1 - 0,5 \cdot \left( {\frac{1}{3}} \right)^{\frac{1}{\gamma }} = 0,74_1 {\rm m}^{\rm 3}\]
ok temperatura finale in A trovata anche se mi viene 1 K in meno, comunque quando mi calcolo il calore fornito ad A non mi viene proprio usando la formula che mi hai dato $ΔU=nc_vΔT_A+nc_vΔT_B=QA $
se posti i tuoi calcoli per esteso e con le unità di misura che hai usato, posso controllare.
La temperatura in B mi esce 1259,49 K e direi che ci siamo.
La temperatura in B mi esce 1259,49 K e direi che ci siamo.
in A vorresti dire non B.. comunque faccio $T_(A2)= (P_(A2) V_(A_2))/(n R) = (3*101325*0.74)/(21.53*8.31) = 1258 K$ circa!! dove sbaglio??
nessun errore, solo qualche arrotondamento diverso, ma va bene. Io come numero di moli ho tenuto 21,23, forse è per questo che ci sono delle piccole differenze. Adesso vediamo i calcoli per il calore, se non ti trovi col risultato.
allora ho rifatto i calcoli, le moli ora mi danno 21,25 , la TA2 mi da 1257.16 K...per il calore applicando la formula che mi hai scritto faccio $21.25*2.98*(1258-283.15)+21.25*2.98*(439.4-283.15) = 71.57 kJ$ e non 299.5 kJ ...dove sbaglio??
\(\displaystyle c_v = \frac{3}{2}R = 12,471{\rm }\frac{{\rm J}}{{{\rm K} \cdot {\rm moli}}}\)
\(\Delta U_A=258,6 Kj\)
\(\Delta U_B=41,3 Kj\)
\(Q_A=299,9 Kj\)
ti ricordo che, per omogeneità delle unità di misura, devi usare
\[R = 8,314{\rm }\frac{{\rm J}}{{{\rm K} \cdot {\rm moli}}}\]
\(\Delta U_A=258,6 Kj\)
\(\Delta U_B=41,3 Kj\)
\(Q_A=299,9 Kj\)
ti ricordo che, per omogeneità delle unità di misura, devi usare
\[R = 8,314{\rm }\frac{{\rm J}}{{{\rm K} \cdot {\rm moli}}}\]
perfetto grazie per tutto l'aiuto che mi hai dato in questo esercizio sei stato molto gentile
sei stato molto gentile
Prego, ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo