Problema sui gas ideali
Ho appena risolto un problema sui gas veramente tosto: Un becker con metà gas e metà mercurio. Dovevamo applicare Pascal e l'equazione dei gas ideali. tutto ok.
Ma ora nè ho uno che proprio non riesco a levarci le gambe:
" La massa totale di una mongolfiera ad aria calda vale 320Kg (escludendo l'aria ccontenuta nel pallone). L'aria all'esterno del pallone ha una pressione di 1,01 x 10**5 Pascal e una densità di 1,29 Kg/m**3. Il pallone contiene 650 m**3 di aria .
A quale temperatura assoluta deve essere riscaldata l'aria perchè il pallone comincia salire in verticale? (La massa molecolare dell'aria è 29 u). "
Il risultato deve essere 440 Kelvin.
Ho fatto vari tentativi considerando la pressione interna come uguale a quella esterna + la pressione del peso della mongolfiera ma non ho trovato niente di serio e corrispondente al valore giusto del risultato.
Avete qualche idea sul ragionamento da fare e le regole da applicare?
Grazie Roberto Antonelli Lucca.
Ma ora nè ho uno che proprio non riesco a levarci le gambe:
" La massa totale di una mongolfiera ad aria calda vale 320Kg (escludendo l'aria ccontenuta nel pallone). L'aria all'esterno del pallone ha una pressione di 1,01 x 10**5 Pascal e una densità di 1,29 Kg/m**3. Il pallone contiene 650 m**3 di aria .
A quale temperatura assoluta deve essere riscaldata l'aria perchè il pallone comincia salire in verticale? (La massa molecolare dell'aria è 29 u). "
Il risultato deve essere 440 Kelvin.
Ho fatto vari tentativi considerando la pressione interna come uguale a quella esterna + la pressione del peso della mongolfiera ma non ho trovato niente di serio e corrispondente al valore giusto del risultato.
Avete qualche idea sul ragionamento da fare e le regole da applicare?
Grazie Roberto Antonelli Lucca.
Risposte
Di fatto sei partito da ipotesi non giuste. Non è detto che la pressione all'interno sia uguale alla pressione sulla superficie esterna, visto che è possibile che il telo del pallone sia teso e si disponga secondo una superficie curva per soddisfare le condizioni di equilibrio di forze su ogni superficie "infinitesima" del pallone, così come avviene.
ed allora come penseresti di procedere?
Grazie.
Grazie.
Volete provare a concretizzare il procedimento? Vi sarei molto grato.
R. Antonelli Lucca.
R. Antonelli Lucca.
"ANTONELLI ":
Volete provare a concretizzare il procedimento? Vi sarei molto grato.
R. Antonelli Lucca.
All'inizio l'aria nel pallone è alla stessa temperatura e pressione dell'aria esterna, riscaldandola quello che succede è che il volume del pallone aumenta e la densità dell'aria nel pallone diminuisce per cui si genera la spinta di Archimede. Devi fare un'ipotesi sulla trasformazione del gas durante il riscaldamento e penso abbia senso considerare la pressione del gas sempre uguale e pari a quella esterna (in realtà non è esattamente così visto che il pallone gonfiandosi per richiamo elastico genera sul gas una pressione, ma penso come approssimazione possa starci altrimenti i dati che abbiamo non sono sufficienti.).
Prova a impostare le equazioni....
EDIT: Un altro punto di vista è considerare il volume del pallone gonfio sempre uguale e assumere che gonfiandosi parte dell'aria esce all'esterno. In questo caso la pressione interna è ancora sempre pari all'esterna ma la densità dell'aria nel pallone diminuisce perché diminuisce l'aria stessa nel pallone.
Confesso la mia ignoranza e non so se una mongolfiera a aria calda funziona secondo il primo modo o secondo questo, forse quest'ultimo ha più senso perché il volume dell'involucro gonfio rimane uguale e non deve espandersi.
Prova a impostare le equazioni per questo caso.
Io ho fatto questo ragionamento (che però non mi ha portato a risolverlo positivamente):
Finchè la Temperatura all'interno della mongolfiera non raggiunge un certo valore Tf la mongolfiera non riesce a salire perchè la pressione esterna (atmosferica ) diretta verso il basso così come pure la pressione esercitata dal peso della struttura stessa della mongolfiera superano la pressione interna dell'aria che si sta riscaldando all'interno della mongolfiera stessa.
Nel momento in cui si raggiunge la temperatuta Tf cercata allora si applica la Formula:
$ p V = n R T$
e siccome noi stiamo cercando appunto T allora:
$ T = (p V)/ (n R) $
dove p è appunto la differenza tra la pressione interna della mongolfiera ( che è rappresentata dalla spinta di archimede per la sezione della mongolfiera) con la temperatura riscaldata meno la pressione atmosferica meno la pressione esercitata dal peso della struttura
Il volume è quello dato perchè è proprio quello massimo della mongolfiera quando è piena di aria calda
$ n = $ numero moli espresso in grammi e cioè la massa dell'aria diviso la massa molecolare dell'aria stessa
quindi avremo:
$ T = [(Fi - Pmong ) 4 Pgr r^2 - Patm]/ (n R) $ Non riesco a scrivere P greco come si deve
In questa maniera però non ottengo il risultato sperato e cioè 440 Kelvin.
Roberto Antonelli
Se potete formalizzare la Formula.
Finchè la Temperatura all'interno della mongolfiera non raggiunge un certo valore Tf la mongolfiera non riesce a salire perchè la pressione esterna (atmosferica ) diretta verso il basso così come pure la pressione esercitata dal peso della struttura stessa della mongolfiera superano la pressione interna dell'aria che si sta riscaldando all'interno della mongolfiera stessa.
Nel momento in cui si raggiunge la temperatuta Tf cercata allora si applica la Formula:
$ p V = n R T$
e siccome noi stiamo cercando appunto T allora:
$ T = (p V)/ (n R) $
dove p è appunto la differenza tra la pressione interna della mongolfiera ( che è rappresentata dalla spinta di archimede per la sezione della mongolfiera) con la temperatura riscaldata meno la pressione atmosferica meno la pressione esercitata dal peso della struttura
Il volume è quello dato perchè è proprio quello massimo della mongolfiera quando è piena di aria calda
$ n = $ numero moli espresso in grammi e cioè la massa dell'aria diviso la massa molecolare dell'aria stessa
quindi avremo:
$ T = [(Fi - Pmong ) 4 Pgr r^2 - Patm]/ (n R) $ Non riesco a scrivere P greco come si deve
In questa maniera però non ottengo il risultato sperato e cioè 440 Kelvin.
Roberto Antonelli
Se potete formalizzare la Formula.
No.
E' errato il ragionamento fisico che fai.
Calcola quanto deve essere la densità del gas dentro la mongolfiera affinché la spinta di Archimede equilibri le altre forze, condizione affinché la mongolfiera si alzi. (Ti ricordo che la spinta di Archimede è pari al peso dell'aria esterna che sarebbe contenuta nel volume della mongolfiera.) La spinta di Archimede deve eguagliare quindi il peso della mongolfiera più il peso del gas caldo contenuto nella mongolfiera.
Avrai una equazione con incognita la densità dell'aria calda.
Poi dalla legge dei gas perfetti conoscendo la densità e la pressione del gas puoi ricavarne la temperatura.
E' errato il ragionamento fisico che fai.
Calcola quanto deve essere la densità del gas dentro la mongolfiera affinché la spinta di Archimede equilibri le altre forze, condizione affinché la mongolfiera si alzi. (Ti ricordo che la spinta di Archimede è pari al peso dell'aria esterna che sarebbe contenuta nel volume della mongolfiera.) La spinta di Archimede deve eguagliare quindi il peso della mongolfiera più il peso del gas caldo contenuto nella mongolfiera.
Avrai una equazione con incognita la densità dell'aria calda.
Poi dalla legge dei gas perfetti conoscendo la densità e la pressione del gas puoi ricavarne la temperatura.
Dunque: Mi calcolo la spinta di archimede:
$ Fi = densità aria esterna . Vmong .g$
uguagliandola al Peso dell'aria calda contenuta nella mongolfiera + la massa della mongolfiera stessa.
In questo modo mi ricavo la densità dell'aria calda contenuta nella mongolfiera e mi torna 7.81 (cosa strana perchè in genere mi sembra che all'aumentare della temperatura l'aria dovrebbe essere meno densa)
A questo punto cerco di applicare la legge dei gas ideali:
$ T = (pV)/(n R) $
dove secondo me la pressione p dovrebbe essere data dalla pressione del gas caldo contenuto nella mongolfiera ottenuto come prodotto del suo peso per g . A questa pressione dovremmo poi toglierci la pressione atmosferica che ci viene data. Il tutto diviso il numero dei moli ottenuto come la massa dell'aria all'interno della mongolfiera per la sua massa molecolare .
Il risultato non torna . Dovrebbe essere 440 k
Insomma non so proprio dove sbattere la testa.
$ Fi = densità aria esterna . Vmong .g$
uguagliandola al Peso dell'aria calda contenuta nella mongolfiera + la massa della mongolfiera stessa.
In questo modo mi ricavo la densità dell'aria calda contenuta nella mongolfiera e mi torna 7.81 (cosa strana perchè in genere mi sembra che all'aumentare della temperatura l'aria dovrebbe essere meno densa)
A questo punto cerco di applicare la legge dei gas ideali:
$ T = (pV)/(n R) $
dove secondo me la pressione p dovrebbe essere data dalla pressione del gas caldo contenuto nella mongolfiera ottenuto come prodotto del suo peso per g . A questa pressione dovremmo poi toglierci la pressione atmosferica che ci viene data. Il tutto diviso il numero dei moli ottenuto come la massa dell'aria all'interno della mongolfiera per la sua massa molecolare .
Il risultato non torna . Dovrebbe essere 440 k
Insomma non so proprio dove sbattere la testa.
Caro Antonelli,
siamo molto lontani....
Ti scrivo la soluzione, però mi raccomando rifletti bene sui passaggi.
Cerca di leggerla con senso critico e di farne tesoro, molti concetti non li hai compresi.
Per prima cosa come ti dicevo calcoliamo la densità dell'aria calda per far sì che la mongolfiera si alzi.
Eguaglio la spinta di Archimede al peso della mongolfiera più il peso dell'aria calda.
$rho_f * V*g=m*g+rho_c *V *g $
quindi la densità dell'aria calda deve essere:
$rho_c=(rho_f*V-m)/V=0.7977 (kg)/m^3$
Adesso devo vedere a che temperatura l'aria ha quella densità.
L'equazione di stato dei gas perfetti mi dice
$P*V=n*R*T$
da cui:
$n/V=p/(R*T)$
siccome voglio la densità moltiplico $n$ per il peso molecolare e lo divido per $1000$ (sia primo che secondo membro) ottenendo la densità in $(kg)/m^3$:
$rho=p/(R*1000/(PM) * T)$
la quantità $R*1000/(PM)$ è detta costante del gas $R_g$ e per l'aria vale circa $287 J/(kg*K)$.
quindi
$T=p/(rho_c*R_g)=441 K$
siamo molto lontani....
Ti scrivo la soluzione, però mi raccomando rifletti bene sui passaggi.
Cerca di leggerla con senso critico e di farne tesoro, molti concetti non li hai compresi.
Per prima cosa come ti dicevo calcoliamo la densità dell'aria calda per far sì che la mongolfiera si alzi.
Eguaglio la spinta di Archimede al peso della mongolfiera più il peso dell'aria calda.
$rho_f * V*g=m*g+rho_c *V *g $
quindi la densità dell'aria calda deve essere:
$rho_c=(rho_f*V-m)/V=0.7977 (kg)/m^3$
Adesso devo vedere a che temperatura l'aria ha quella densità.
L'equazione di stato dei gas perfetti mi dice
$P*V=n*R*T$
da cui:
$n/V=p/(R*T)$
siccome voglio la densità moltiplico $n$ per il peso molecolare e lo divido per $1000$ (sia primo che secondo membro) ottenendo la densità in $(kg)/m^3$:
$rho=p/(R*1000/(PM) * T)$
la quantità $R*1000/(PM)$ è detta costante del gas $R_g$ e per l'aria vale circa $287 J/(kg*K)$.
quindi
$T=p/(rho_c*R_g)=441 K$
Seguendo le indicazioni ho provato a risolvere il seguente problema (Amaldi per i Licei scientifici). La soluzione mi sembra limpida, eppure il risultato non è corretto.
Il testo del problema è il seguente:
La mia soluzione è la seguente:
Conoscendo la massa molare media, e il numero di moli di aria, mi calcolo la massa di aria calda che devo sollevare assieme al carico utile della mongolfiera ($m=850 kg$). $$m_{aria}=2896 kg$$
Sapendo che la spinta di archimede deve bilanciare il peso complessivo della mongolfiera, ottengo il volume che deve essere raggiunto dall'aria calda: $$\rho_f V g=mg+m_{aria}g \\ V= \frac{m + m_{aria}}{\rho_f} $$ Poi, sapendo la pressione raggiunta dall'aria calda, attraverso la legge dei gas perfetti ottengo la temperatura:
$$T=\frac{pV}{nR}=\frac{p}{nR}\frac{m + m_{aria}}{\rho_f}$$
Il problema non fornisce il valore della densità dell'aria fuori, usando $1,22 kg/{m^3}$ si ottiene una temperatura di $491 K= 218°C$. Il risultato oltre che essere diverso da quello del libro ($120°C$) è anche poco sensato, visto che il Nylon di cui è fatta la mongolfiera fonde a circa $230°C$. In effetti gran parte delle mongolfiere lavora ben al di sotto dei $200°C$.
Il testo del problema è il seguente:
Il pallone di una mongolfiera viene riempito con $1,0 × 10^5 mol$ di aria e può sollevare una massa di $850 kg$. La
massa molare media dell’aria vale $0,02986 kg/{mol}$. Durante il funzionamento della mongolfiera, la pressione
dell’aria vale $1, 3 × 10^5 Pa$.
Calcola la minima temperatura a cui deve essere scaldata l’aria affinchè la mongolfiera possa sollevarsi.
Suggerimento: per ricavare il volume dell’aria nella mongolfiera, ricorda che, perché la mongolfiera si sollevi, la
spinta di Archimede deve almeno uguagliare il peso della massa di $850 kg$ più il peso dell’aria calda contenuta nella
mongolfiera.
La mia soluzione è la seguente:
Conoscendo la massa molare media, e il numero di moli di aria, mi calcolo la massa di aria calda che devo sollevare assieme al carico utile della mongolfiera ($m=850 kg$). $$m_{aria}=2896 kg$$
Sapendo che la spinta di archimede deve bilanciare il peso complessivo della mongolfiera, ottengo il volume che deve essere raggiunto dall'aria calda: $$\rho_f V g=mg+m_{aria}g \\ V= \frac{m + m_{aria}}{\rho_f} $$ Poi, sapendo la pressione raggiunta dall'aria calda, attraverso la legge dei gas perfetti ottengo la temperatura:
$$T=\frac{pV}{nR}=\frac{p}{nR}\frac{m + m_{aria}}{\rho_f}$$
Il problema non fornisce il valore della densità dell'aria fuori, usando $1,22 kg/{m^3}$ si ottiene una temperatura di $491 K= 218°C$. Il risultato oltre che essere diverso da quello del libro ($120°C$) è anche poco sensato, visto che il Nylon di cui è fatta la mongolfiera fonde a circa $230°C$. In effetti gran parte delle mongolfiere lavora ben al di sotto dei $200°C$.
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