Problema sui conduttori
Ho delle difficoltà a risolvere questo problema:
"Due fogli metallici sferici, di spessore trascurabile,concentrici, aventi rispettivamente raggi $R1=2 cm$ e $R2=5 cm$, sono collegati con un sottile filo conduttore. Una carica $q=10 ^-10 C$ è posta al centro del sistema e una carica $qo=q$ è posta in un punto B distante $d=25 cm$ dal foglio esterno. Calcolare la forza $F$ esercitata da $qo$ su ciacun foglio."
Innanzitutto so che per induzione, sulla superficie di $R1$ è posta carica positva, mentre su $R2$ carica negativa. Dopodichè ho delle difficoltà e dei dubbi nel calcolare le due forze, anche perchè la soluzione del libro dice : "Per l'azione di schermo elettrostatico $qo$ esercita una forza solo sul foglio esterno, $ F= (qo)^2/[4pi epsilon (d+R2)^2]$". Non capisco perchè $qo$ solo su $R2$ eserciti una forza, e pure se fosse così, perchè porta $(d+R2)$ come distanza visto che la carica $qo$ dista solo $d$ dal foglio esterno?
"Due fogli metallici sferici, di spessore trascurabile,concentrici, aventi rispettivamente raggi $R1=2 cm$ e $R2=5 cm$, sono collegati con un sottile filo conduttore. Una carica $q=10 ^-10 C$ è posta al centro del sistema e una carica $qo=q$ è posta in un punto B distante $d=25 cm$ dal foglio esterno. Calcolare la forza $F$ esercitata da $qo$ su ciacun foglio."
Innanzitutto so che per induzione, sulla superficie di $R1$ è posta carica positva, mentre su $R2$ carica negativa. Dopodichè ho delle difficoltà e dei dubbi nel calcolare le due forze, anche perchè la soluzione del libro dice : "Per l'azione di schermo elettrostatico $qo$ esercita una forza solo sul foglio esterno, $ F= (qo)^2/[4pi epsilon (d+R2)^2]$". Non capisco perchè $qo$ solo su $R2$ eserciti una forza, e pure se fosse così, perchè porta $(d+R2)$ come distanza visto che la carica $qo$ dista solo $d$ dal foglio esterno?
Risposte
La carica $q_0$ determina un campo elettrico che determina la forza a cui sono soggette le due sfere. Però bisogna tener conto che la prima sfera è dentro la seconda sfera, pertanto, dato che come dice bene il libro, la sfera esterna funge da schermo elettrostatico (ossia se ci si trova DENTRO a un conduttore, qualsiasi campo elettrico ESTERNO è schermato dal conduttore) pertanto l'unica forza che il campo elettrico di $q_0$ determina è quella sulla sfera esterna, e per la legge di coulomb il suo valore è quello riportato dal libro.
"Vulplasir":
la sfera esterna funge da schermo elettrostatico (ossia se ci si trova DENTRO a un conduttore, qualsiasi campo elettrico ESTERNO è schermato dal conduttore)
ossia se ci si trova DENTRO a un conduttore (quindi se la prima foglia si trova dentro alla seconda foglia), qualsiasi campo elettrico ESTERNO è schermato dal conduttore ( il conduttore della seconda foglia? e cosa intendi per schermato?)
Perchè applicando Coloumb è quella la formula? La distanza tra $qo$ e la carica $-q$ che si trova sulla seconda foglia è $d$, non $d+ R2$)
Per schermato intendo che un campo elettrico esterno non fa alcun effetto dentro a un conduttore. Nel problema hai 2 sfere, una dentro l'altra, la sfera esterna scherma quella interna dal campo elettrico della carica esterna $q_0$.
No, d è la distanza tra la carica e la superficie della sfera, per trovare la forza che q_0 esercita su ogni carica presente sulla sfera esterna devi fare l'integrale della forza su tutta la sfera, facendo questo integrale si nota che la forza esercitata tra la sfera esterna e q_0 è la stessa che si avrebbe nel caso in cui tutta la carica della sfera esterna fosse concentrata nel suo centro, e quindi la distanza da mettere nella formula è d+R.
No, d è la distanza tra la carica e la superficie della sfera, per trovare la forza che q_0 esercita su ogni carica presente sulla sfera esterna devi fare l'integrale della forza su tutta la sfera, facendo questo integrale si nota che la forza esercitata tra la sfera esterna e q_0 è la stessa che si avrebbe nel caso in cui tutta la carica della sfera esterna fosse concentrata nel suo centro, e quindi la distanza da mettere nella formula è d+R.
Scusami, l'integrale da risolvere quale sarebbe? $F = qo int_(?)^(?) (qo)/(4pi epsilon r^2) dr $ Ma gli estremi di integrazione?
L'integrale da risolvere è $F=q_0int_S(dq)/(4piepsilon_0r^2)$ Essendo $dq$ una carica infinitesima sulla superficie della sfera e $r$ la sua distanza da $q_0$. Come vedi non ci sono gli estremi di integrazione perché è un integrale di superficie (quella $S$ sotto il segno di integrale sta a significare che l'integrale è esteso a tutta la superficie della sfera) e per risolverlo bisogna usare tecniche di integrazione per integrali di superficie. Comunque se non sai risolvere integrali di superficie, allo stesso risultato si arriva considerando il teorema di Gauss: Considera una superficie gaussiana sferica di raggio r>R_2 che ricopre la sfera esterna, per il teorema di gauss il flusso del campo elettrico è $E*4pir^2=q/(epsilon_0)$, essendo q la carica netta totale contenuta dentro la superficie gaussiana, da cui risulta $E=q/(4piepsilon_0r^2)$, ossia il campo elettrico generato da una sfera uniformemente carica è uguale cal campo elettrico generato da una carica puntiforme. Moltiplicando questo campo elettrico per $q_0$ ottieni la forza che si esercita tra la sfera esterna e $q_0$
Sì, giusto. Quindi $ E= (q * qo)/ (4pie r^2) $ dove $r= R2+d$. (Sottolineo il $q*qo$ e non il $(qo)^2$).Grazie.
Ultima domanda: posso pensarla in questo modo? I due conduttori sono collegati. Ora io so che il campo elettrostatico $E$ all'interno di un conduttore è nullo e c'è soltanto all'esterno, nei pressi della superficie, perciò la forza agisce soltanto sulla seconda foglia, che è il conduttore più esterno, visto che $R1$ è interno.
Ps. Questa cosa valeva anche se i due conduttori non erano collegati?
Ultima domanda: posso pensarla in questo modo? I due conduttori sono collegati. Ora io so che il campo elettrostatico $E$ all'interno di un conduttore è nullo e c'è soltanto all'esterno, nei pressi della superficie, perciò la forza agisce soltanto sulla seconda foglia, che è il conduttore più esterno, visto che $R1$ è interno.
Ps. Questa cosa valeva anche se i due conduttori non erano collegati?
Si tutto giusto; valeva anche se le sfere non erano collegate.
Grazie mille!
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