Problema sui circuiti RLC.

[jellybean22]

Buonasera a tutti; avrei delle difficoltà nel risolvere il seguente esercizio:
Un circuito è costituito da una resistenza R, una capacità C e un'induttanza L collegate in serie a un generatore di tensione variabile nel tempo la legge V=$V_0 sen(omegat)$. Se la resistenza interra del generatore è trascurabile e se il circuito è in risonanza, valutare la potenza media $P_(1m)$ erogata dal generatore.
Si riduce ora la frequenza dell'alimentatore in modo che la reattanza $(1/(omegaC)-omegaL)=R$ mentre il valore $V_0$ di picco della tensione resta inalterato. Determinare il nuovo valore $P_(2m)$ della potenza media erogata dl generatore.

Ho provato a fare qualcosa, ma niente...

Grazie a tutti.

[Gost91]

In generale la potenza media (\(\text{P}\)) corrisponde alla parte reale della potenza complessa (\(\textbf{S}\)).

\[\text{P} =\text{Re}(\textbf{S}) \]

La potenza complessa si può calcolare come:

\[\textbf{S}=\frac{\textbf{V}\textbf{I}^*}{2}=\frac{|\textbf{V}^2|}{2\textbf{Z}^*}=\frac{|\textbf{I}^2|}{2}\textbf{Z}\]

o, in termini efficaci, come:

\[\textbf{S}=\textbf{V}_{\text{rms}}\textbf{I}_{\text{rms}}^*=\frac{|\textbf{V}_{\text{rms}}^2|}{\textbf{Z}^*}=|\textbf{I}_{\text{rms}}^2|\textbf{Z}\]

Il primo caso è particolarmente semplice in quanto alla risonanza gli effetti reattivi della rete si annichilano tra di loro quindi l'impedenza totale sarà puramente resistiva, quindi sarà descritta da un numero reale.
Di conseguenza la potenza complessa sarà descritta da un numero reale, quindi avremo che coinciderà con la potenza media.
Comunque per scrupolo posto tutti i passaggi.

La potenza complessa erogata dal generatore sarà:

\[\textbf{S}=\frac{|\textbf{V}^2|}{2\textbf{Z}^*}\]

ora, essendo:

\[\textbf{Z}=R\]

avremo:

\[\textbf{S}=\frac{V_0^2}{2R}\]

quindi concludiamo che:

\[\begin{split} P_{1m} &=\text{Re}(\textbf{S}) \\
&=\frac{V_0^2}{2R} \end{split}\]


Il secondo punto è un po' più complicato dal punto di vista dei conti in quanto l'impedenza della rete ha la componente reattiva non nulla, comunque il procedimento è il solito.
La potenza complessa erogata dal generatore sarà sempre:

\[\textbf{S}=\frac{|\textbf{V}^2|}{2\textbf{Z}^*}\]

quindi essendo:

\[\begin{split} \textbf{Z} &=R+\text{j}R \\ &=R(1+\text{j}) \end{split}\]

avremo:

\[\begin{split} \textbf{S} &=\frac{V_0^2}{2R(1-\text{j})} \\
&=\frac{V_0^2}{4R}(1+\text{j}) \end{split}\]

quindi concludiamo che:

\[\begin{split} P_{2m} &=\text{Re}(\textbf{S}) \\
&=\frac{V_0^2}{4R} \end{split}\]