Problema sugli urti [mazzoldi]
C'è un problema sugli urti sul mazzoldi su cui ho capito poco la risoluzione
il problema è questo:
http://****/2bvhx
a) quanto vale la velocità del sistema dopo l'urto
b) ampiezza di oscillazioni dopo l'urto
a)
il problema è risolto in un passaggio
$m*v=(m+M)*V$
e io non capisco perchè non tenga minimamente conto della velocità della molla nella massima elongazione, o meglio a massima elongazione la velocità non è nulla? [ecco il dubbio teorico]
b)
credo di aver capito il concetto
la relazione per l'ampiezza è:
$A=sqrt((x_0)^2 + (V/(omega))^2)$
quindi $A=x_0$ ovvero la lunghezza della molla a riposo?
il problema è questo:
http://****/2bvhx
a) quanto vale la velocità del sistema dopo l'urto
b) ampiezza di oscillazioni dopo l'urto
a)
il problema è risolto in un passaggio
$m*v=(m+M)*V$
e io non capisco perchè non tenga minimamente conto della velocità della molla nella massima elongazione, o meglio a massima elongazione la velocità non è nulla? [ecco il dubbio teorico]
b)
credo di aver capito il concetto
la relazione per l'ampiezza è:
$A=sqrt((x_0)^2 + (V/(omega))^2)$
quindi $A=x_0$ ovvero la lunghezza della molla a riposo?
Risposte
Io risponderei così ....
a)
L'urto è totalmente anelastico, ma si conserva la quantità di moto. Al momento dell'urto il corpo di massa $M$ si trova nel punto di massima elongazione e quindi ha velocità $= 0$; perciò la quantità di moto totale iniziale è solo $m*v$. Quella dopo l'urto è $(M + m)*V$, con $V$ velocità finale comune alle due masse che sono restate unite. Quindi $m*v = (M + m)*V$, da cui $V=m/(M+m)*v$.
b)
L'energia iniziale, considerata a un estremo dell'oscillazione iniziale e subito dopo l'urto, è la somma di un termine di energia cinetica con uno di energia potenziale elastica: $E_i = E_\text(c i)+E_\text(pot i) = 1/2*(M+m)*V^2 + 1/2*k*A^2$.
L'energia finale, considerata all'altro estremo della traiettoria, è solo potenziale elastica: $E_f=E_\text(pot f)=1/2*k*(A')^2$.
Poiché l'energia si è conservata, $E_i = E_f$ e cioè $1/2(M+m)*V^2 + 1/2*k*A^2=1/2*k*(A')^2$, da cui l'ampiezza finale dell'oscillazione, che corrisponde alla massima elongazione, è $A'=sqrt(A^2 + (M+m)/k*V^2)$.
Poiché la pulsazione finale dell'oscillazione è $omega=sqrt(k/(M+m))$, la stessa espressione si può anche scrivere come $A'=sqrt(A^2 + (V/omega)^2)$.
a)
L'urto è totalmente anelastico, ma si conserva la quantità di moto. Al momento dell'urto il corpo di massa $M$ si trova nel punto di massima elongazione e quindi ha velocità $= 0$; perciò la quantità di moto totale iniziale è solo $m*v$. Quella dopo l'urto è $(M + m)*V$, con $V$ velocità finale comune alle due masse che sono restate unite. Quindi $m*v = (M + m)*V$, da cui $V=m/(M+m)*v$.
b)
L'energia iniziale, considerata a un estremo dell'oscillazione iniziale e subito dopo l'urto, è la somma di un termine di energia cinetica con uno di energia potenziale elastica: $E_i = E_\text(c i)+E_\text(pot i) = 1/2*(M+m)*V^2 + 1/2*k*A^2$.
L'energia finale, considerata all'altro estremo della traiettoria, è solo potenziale elastica: $E_f=E_\text(pot f)=1/2*k*(A')^2$.
Poiché l'energia si è conservata, $E_i = E_f$ e cioè $1/2(M+m)*V^2 + 1/2*k*A^2=1/2*k*(A')^2$, da cui l'ampiezza finale dell'oscillazione, che corrisponde alla massima elongazione, è $A'=sqrt(A^2 + (M+m)/k*V^2)$.
Poiché la pulsazione finale dell'oscillazione è $omega=sqrt(k/(M+m))$, la stessa espressione si può anche scrivere come $A'=sqrt(A^2 + (V/omega)^2)$.
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