Problema sugli urti completamente anelastici
Buon giorno,
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere il seguente problema:
TESTO:
Due aste eguali, ciascuna di massa $m = 2 kg$ e lunghezza $d = 0.6 m$, sono fissate tra loro come mostrato in figura( la figura mostra due aste fissate tra loro a uno dei loro estremi formanti un angolo di 90 gradi); esse sono poste in un piano orizzontale e possono ruotare attorno al punto $O$, che è fisso. Un proiettile avente una quantità di moto $p = 5.2 N s$ colpisce l'estremo $A$ e vi resta conficcato. Si suppone che la massa del proiettile sia trascurabile rispetto alla massa delle aste. Calcolare: a) la velocità angolare del sistema dopo l'urto, b) il modulo della quantità di moto del sistema dopo l'urto.
Per quanto riguarda il primo punto sono riuscito a risolverlo imponendo la conservazione del momento angolare (asse $z$ parallelo ad asse di rotazione, centro in $O$).
Ho però un dubbio sul secondo punto in quanto a me verrebbe da dire che, siccome l'urto coinvolge una forza interna al sistema, anche la quantità di moto dello stesso si conserva; siccome l'unico oggetto dotato di quantità di moto era il proiettile, io risponderei che la quantità del moto del sistema dopo l'urto ha lo stesso modulo di quella del proiettile prima di esso, però il libro afferma il contrario (soluzione: $5,51Ns$).
Dove sbaglio?
Grazie mille!
vorrei chiedere il vostro aiuto per risolvere il seguente problema:
TESTO:
Due aste eguali, ciascuna di massa $m = 2 kg$ e lunghezza $d = 0.6 m$, sono fissate tra loro come mostrato in figura( la figura mostra due aste fissate tra loro a uno dei loro estremi formanti un angolo di 90 gradi); esse sono poste in un piano orizzontale e possono ruotare attorno al punto $O$, che è fisso. Un proiettile avente una quantità di moto $p = 5.2 N s$ colpisce l'estremo $A$ e vi resta conficcato. Si suppone che la massa del proiettile sia trascurabile rispetto alla massa delle aste. Calcolare: a) la velocità angolare del sistema dopo l'urto, b) il modulo della quantità di moto del sistema dopo l'urto.
Per quanto riguarda il primo punto sono riuscito a risolverlo imponendo la conservazione del momento angolare (asse $z$ parallelo ad asse di rotazione, centro in $O$).
Ho però un dubbio sul secondo punto in quanto a me verrebbe da dire che, siccome l'urto coinvolge una forza interna al sistema, anche la quantità di moto dello stesso si conserva; siccome l'unico oggetto dotato di quantità di moto era il proiettile, io risponderei che la quantità del moto del sistema dopo l'urto ha lo stesso modulo di quella del proiettile prima di esso, però il libro afferma il contrario (soluzione: $5,51Ns$).
Dove sbaglio?
Grazie mille!
Risposte
Non ci hai detto:
Cos' è O
Cos' è A
Che direzione ha il proiettile
E comunque no, la QM non si conserva perché il vincolo dà una forza esterna al sistema.
Basta che pensi che, seguendo il tuo ragionamento, anche se un proiettile colpisce il muro la QM dovrebbe conservarsi
Cos' è O
Cos' è A
Che direzione ha il proiettile
E comunque no, la QM non si conserva perché il vincolo dà una forza esterna al sistema.
Basta che pensi che, seguendo il tuo ragionamento, anche se un proiettile colpisce il muro la QM dovrebbe conservarsi
Hai ragione, mi sono dimenticato di fornirvi le informazioni (avendo il disegno davanti non ci ho pensato).
$O$ è il punto in cui le aste sono fissate tra di loro a uno dei loro estremi, mentre $A$ è l'altro estremo di una delle due aste.
Il proiettile ha una velocità diretta parallelamente a una delle due aste e perpendicolarmente all'altra (che poi urta nel punto $A$).
Hai ragione, di fatto la quantità di moto si conserva solo se l'urto avviene tra due corpi liberi di muoversi (come ad esempio due punti materiali).
Potresti aiutarmi a capire come risolvere questo secondo punto?
Nel frattempo io ho pensato che si potrebbe individuare il centro di massa del sistema (che sarebbe compreso tra le due aste, ma non ci sarebbe della massa in corrispondenza delle sue coordinate in quanto forma un angolo di 45 gradi con le due aste e si trova in corrispondenza di quello che sarebbe il punto medio del lato di base di un ipotetico triangolo isocele), e calcolare la quantità di moto di esso, con massa totale pari a $2m$ sostituendo $v_(CM)=omegar_(CM)$.
Così viene, c'è però un modo più rapido che non mi è venuto in mente?
Grazie ancora!
$O$ è il punto in cui le aste sono fissate tra di loro a uno dei loro estremi, mentre $A$ è l'altro estremo di una delle due aste.
Il proiettile ha una velocità diretta parallelamente a una delle due aste e perpendicolarmente all'altra (che poi urta nel punto $A$).
Hai ragione, di fatto la quantità di moto si conserva solo se l'urto avviene tra due corpi liberi di muoversi (come ad esempio due punti materiali).
Potresti aiutarmi a capire come risolvere questo secondo punto?
Nel frattempo io ho pensato che si potrebbe individuare il centro di massa del sistema (che sarebbe compreso tra le due aste, ma non ci sarebbe della massa in corrispondenza delle sue coordinate in quanto forma un angolo di 45 gradi con le due aste e si trova in corrispondenza di quello che sarebbe il punto medio del lato di base di un ipotetico triangolo isocele), e calcolare la quantità di moto di esso, con massa totale pari a $2m$ sostituendo $v_(CM)=omegar_(CM)$.
Così viene, c'è però un modo più rapido che non mi è venuto in mente?
Grazie ancora!
"mau21":
Nel frattempo io ho pensato che si potrebbe individuare il centro di massa del sistema (che sarebbe compreso tra le due aste, ma non ci sarebbe della massa in corrispondenza delle sue coordinate in quanto forma un angolo di 45 gradi con le due aste e si trova in corrispondenza di quello che sarebbe il punto medio del lato di base di un ipotetico triangolo isocele), e calcolare la quantità di moto di esso, con massa totale pari a $2m$ sostituendo $v_(CM)=omegar_(CM)$.
Così viene, c'è però un modo più rapido che non mi è venuto in mente?
E' esattamente quello che avevo pensato io.
Dici che viene? Così a spanne mi sembrava strano che venisse fuori una QM maggiore di quella iniziale
Ciao, Mgrau,
ho provato a riguardare il risultato del libro e confermo $P=5,51Ns$.
Il fatto che la quantità di moto finale sia maggiore di quella iniziale non potrebbe essere giustificato dal fatto che, essendo che le aste sono libere di ruotare senza attrito, possiamo assumere che il valore dell'impulso esercitato da $B$ in $A$ mette in moto il primo centro di massa con una QM effettivamente inferiore a quella iniziale, ma pari a quella del secondo centro di massa che viene messo in moto anch'esso come se avesse ricevuto lo stesso impulso alla sua estremità; visto che il moto è lungo lo stesso asse di rotazione e lungo lo stesso verso i due contributi si sommano e quindi, insieme, superano quello iniziale.
Può avere senso questo ragionamento o ho sbagliato qualcosa?
Grazie ancora e buona serata!
ho provato a riguardare il risultato del libro e confermo $P=5,51Ns$.
Il fatto che la quantità di moto finale sia maggiore di quella iniziale non potrebbe essere giustificato dal fatto che, essendo che le aste sono libere di ruotare senza attrito, possiamo assumere che il valore dell'impulso esercitato da $B$ in $A$ mette in moto il primo centro di massa con una QM effettivamente inferiore a quella iniziale, ma pari a quella del secondo centro di massa che viene messo in moto anch'esso come se avesse ricevuto lo stesso impulso alla sua estremità; visto che il moto è lungo lo stesso asse di rotazione e lungo lo stesso verso i due contributi si sommano e quindi, insieme, superano quello iniziale.
Può avere senso questo ragionamento o ho sbagliato qualcosa?
Grazie ancora e buona serata!
Detto così mi convince poco. Forse si dovrebbe trovare quale impulso dà il vincolo quando il sistema viene urtato, se non sbaglio la somma dei due impulsi dovrebbe essere uguale a quello finale
Be' anche per una semplice barretta incernierata ad un suo estremo, verrebbe fuori che la quantità di moto finale è maggiore dell'impulso (quantità di moto) iniziale: la quantità di moto finale viene una volta e mezza la quantità di moto iniziale, assumendo l'impulso applicato all'estremo libero.
Questo comunque non deve sorprendere, la quantità di moto non si conserva proprio perché interviene l'impulso del vincolo. Ciò ovviamente non ha nulla a che fare con la conservazione dell'energia.
Questo comunque non deve sorprendere, la quantità di moto non si conserva proprio perché interviene l'impulso del vincolo. Ciò ovviamente non ha nulla a che fare con la conservazione dell'energia.
Va bene, grazie mille a entrambi!
"Faussone":
anche per una semplice barretta incernierata ad un suo estremo, verrebbe fuori che la quantità di moto finale viene una volta e mezza la quantità di moto iniziale, assumendo l'impulso applicato all'estremo libero.
Mi fai vedere come arrivi a questo?
"mau21":
Può avere senso questo ragionamento ...
Intuitivamente, se il sistema non fosse vincolato in un estremo, l'urto tenderebbe a muovere quest'ultimo nel verso opposto alla velocità del proiettile. Ergo, il vincolo esercita una forza diretta nello stesso verso.
"mgrau":
Mi fai vedere come arrivi a questo?
$mvL=(1/3ML^2+mL^2)\omega rarr$
$rarr \omega=(3mv)/(L(M+3m)) rarr$
$rarr \DeltaQ=1/2M\omegaL+m\omegaL-mv rarr$
$rarr \DeltaQ=(mv)/(2(1+3m/M)) rarr$
$rarr \DeltaQ~=(mv)/2(1-3m/M)rarr$
$rarr \DeltaQ~=(mv)/2$
"mgrau":
[quote="Faussone"] anche per una semplice barretta incernierata ad un suo estremo, verrebbe fuori che la quantità di moto finale viene una volta e mezza la quantità di moto iniziale, assumendo l'impulso applicato all'estremo libero.
Mi fai vedere come arrivi a questo?[/quote]
$QL=I omega$ (conservazione momento angolare rispetto all'estremo incernierato).
$omega=QL/I$
Quindi la quantità di moto finale sarà:
$m omega L/2=3/2Q$
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