Problema sugli urti
Il problema è stato già affrontato sul forum:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=149418
È il numero 1. Io ho ottenuto lo stesso risultato dell'utente che ha risposto, ovvero:
Per il primo punto t = 2.58 s, distante 0 10 s dal risultato atteso
Per il secondo punto t = 1.58 s. Risultato ok
Ora mi chiedo, abbiamo sbagliato io e l'utente o il libro?
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 9&t=149418
È il numero 1. Io ho ottenuto lo stesso risultato dell'utente che ha risposto, ovvero:
Per il primo punto t = 2.58 s, distante 0 10 s dal risultato atteso
Per il secondo punto t = 1.58 s. Risultato ok
Ora mi chiedo, abbiamo sbagliato io e l'utente o il libro?
Risposte
Ha sbagliato il libro.
Grazie!
Ho avuto difficoltà su un altro problema, lo posto qui per non intasare il forum di post:
Un sistema meccanico, che si trova inizialmente fermo a un'altezza $h=1,2 m$ dal pavimento è costituito da una pallina di massa $m=10g$ collocata in equilibrio instabile sopra una pallina di massa $m_2=5m$. A un certo istante, il sistema viene lasciato libero di cadere. Assumendo che ogni urto sia perfettamente elastico e trascurando le dimensioni delle palline, determinare 1) l altezza a cui rimbalza la pallina piu leggera; 2) la velocita con cui arriva a terra la seconda pallina dopo l'urto
Suggerimento: si tratti il problema come unidimensionale e si immagini che la pallina superiore inizi a cadere un istante infinitesimo successivo alla caduta della pallina inferiore.
Io ho provato cosi:
Applicando la conservazione dell'energia sulla massa più pesante:
$\frac{1}{2}5mv^2 = 5mgh$
$ v = \sqrt{2gh} $
vettorialmente questa velocità sarà: $ \vec{v} = -\sqrt{2gh}\hat{j}$
che è la velocità con cui la massa più pesante arriva a urtare il suolo. Quello con il suolo è un urto elastico tra un oggetto di massa infinitamente maggiore di quella della pallina. Per cui avremo che la velocità della pallina dopo quest'urto sarà: $ \vec{v} = \sqrt{2gh}\hat{j}$
A questo punto è nota la velocità iniziale con cui la pallina più pesante urterà quella più leggera, che però non ha urtato il suolo, quindi avrà ancora una velocità $ \vec{v} = -\sqrt{2gh}\hat{j}$. Ora applicando la conservazione della quantità di moto e cinetica si trova che:
$v_{m_{f}} = \frac{m - 5m}{m + 5m}(-\sqrt{2gh}) + \frac{2*5m}{5m + m}*\sqrt{2gh} = frac{7}{3}\sqrt{2gh}$
e poi riapplicando la conservazione dell'energia sulla pallina più legger si trova il risultato atteso che è:
$h' = frac{49}{9}h$
A questo punto c'è il punto 2, solamente che non idea di come farlo, il risultato è: $ v = \sqrt{2gh'}$, qualche idea?
Soprattutto non capisco come possa essere quello il risultato, la pallina 2 non ci arriva nemmeno ad h'
Ho avuto difficoltà su un altro problema, lo posto qui per non intasare il forum di post:
Un sistema meccanico, che si trova inizialmente fermo a un'altezza $h=1,2 m$ dal pavimento è costituito da una pallina di massa $m=10g$ collocata in equilibrio instabile sopra una pallina di massa $m_2=5m$. A un certo istante, il sistema viene lasciato libero di cadere. Assumendo che ogni urto sia perfettamente elastico e trascurando le dimensioni delle palline, determinare 1) l altezza a cui rimbalza la pallina piu leggera; 2) la velocita con cui arriva a terra la seconda pallina dopo l'urto
Suggerimento: si tratti il problema come unidimensionale e si immagini che la pallina superiore inizi a cadere un istante infinitesimo successivo alla caduta della pallina inferiore.
Io ho provato cosi:
Applicando la conservazione dell'energia sulla massa più pesante:
$\frac{1}{2}5mv^2 = 5mgh$
$ v = \sqrt{2gh} $
vettorialmente questa velocità sarà: $ \vec{v} = -\sqrt{2gh}\hat{j}$
che è la velocità con cui la massa più pesante arriva a urtare il suolo. Quello con il suolo è un urto elastico tra un oggetto di massa infinitamente maggiore di quella della pallina. Per cui avremo che la velocità della pallina dopo quest'urto sarà: $ \vec{v} = \sqrt{2gh}\hat{j}$
A questo punto è nota la velocità iniziale con cui la pallina più pesante urterà quella più leggera, che però non ha urtato il suolo, quindi avrà ancora una velocità $ \vec{v} = -\sqrt{2gh}\hat{j}$. Ora applicando la conservazione della quantità di moto e cinetica si trova che:
$v_{m_{f}} = \frac{m - 5m}{m + 5m}(-\sqrt{2gh}) + \frac{2*5m}{5m + m}*\sqrt{2gh} = frac{7}{3}\sqrt{2gh}$
e poi riapplicando la conservazione dell'energia sulla pallina più legger si trova il risultato atteso che è:
$h' = frac{49}{9}h$
A questo punto c'è il punto 2, solamente che non idea di come farlo, il risultato è: $ v = \sqrt{2gh'}$, qualche idea?
Soprattutto non capisco come possa essere quello il risultato, la pallina 2 non ci arriva nemmeno ad h'
Prova a dare un'occhiata alla discussione sottostante:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... a#p8249889
Probabilmente si tratta dello stesso problema.
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... a#p8249889
Probabilmente si tratta dello stesso problema.
Si l'avevo già letta, ma non è stato discusso il punto 2.
Prova a utilizzare l'approssimazione
$ v_2=root2(2gh)+2v_1 $
Poi $ v_2^2/(2g)+h $
$ v_2=root2(2gh)+2v_1 $
Poi $ v_2^2/(2g)+h $
Dove $v_2$ e $v_1$ sarebbero le velocità dopo l'urto?
Perchè questa approssimazione?
Comunque il risultato del libro torna se si considera quella che lui chiama pallina 2 la pallina 1, che sia un errore?
Perchè questa approssimazione?
Comunque il risultato del libro torna se si considera quella che lui chiama pallina 2 la pallina 1, che sia un errore?
"Nexus99":
... che sia un errore?
Non me ne preoccuperei più di tanto. Ad ogni modo, la seconda domanda dovrebbe riferirsi alla pallina inferiore (pallina 2). Anche perché la pallina superiore (pallina 1), ammesso e non concesso che tocchi terra, dovrebbe, a rigore, subire ulteriori urti.
Senz'altro dovrebbe subire ulteriori urti, però mi sembra strano che si ottenga proprio quel risultato. Comunque, se il problema si riferisse veramente alla pallina inferiore, come si potrebbe ricavare questa velocità?
Nella discussione che ti ho suggerito:
sono le velocità con cui risalgono le palline dopo il primo urto. Quindi, per la conservazione dell'energia meccanica, la pallina inferiore urta una seconda volta il pavimento con la stessa velocità $v_2$.
$[v_1=7/3v_0] ^^ [v_2=1/3v_0]$
sono le velocità con cui risalgono le palline dopo il primo urto. Quindi, per la conservazione dell'energia meccanica, la pallina inferiore urta una seconda volta il pavimento con la stessa velocità $v_2$.
Io ho provato cosi, ottenendo credo lo stesso tuo risultato:
$v_{p_{2}} = \frac{1}{3\}sqrt{2gh}$
Per la conservazione dell'energia l'altezza massima che raggiunge la pallina 2 è:
$frac{1}{2}mv_{p_{2}} = mgh° $
Da cui:
$h° = frac{h}{9}$
Ri-applicando la conservazione dell'energia la velocità con cui arriva a terra sarà:
$mgh° = \frac{1}{2}mv^2$
Da cui:
$v = \frac{1}{3}sqrt{2gh}$, questa volta diretta verso il basso
Il fatto è che il risultato dovrebbe essere $\sqrt{2gh'}$ dove $h'$ è l'altezza massima raggiunta dalla pallina 1 dopo l'urto con la pallina 2
$v_{p_{2}} = \frac{1}{3\}sqrt{2gh}$
Per la conservazione dell'energia l'altezza massima che raggiunge la pallina 2 è:
$frac{1}{2}mv_{p_{2}} = mgh° $
Da cui:
$h° = frac{h}{9}$
Ri-applicando la conservazione dell'energia la velocità con cui arriva a terra sarà:
$mgh° = \frac{1}{2}mv^2$
Da cui:
$v = \frac{1}{3}sqrt{2gh}$, questa volta diretta verso il basso
Il fatto è che il risultato dovrebbe essere $\sqrt{2gh'}$ dove $h'$ è l'altezza massima raggiunta dalla pallina 1 dopo l'urto con la pallina 2
9h è l'altezza a cui rimbalza la pallina sopra (la 2), e $ 3v_0=v $ la sua velocità
lo vedi da $ v_0-(-v_0)=2v_0 $ è $ v-v_0=2v_0 $
Ma fallo questo esperimento, te ne accorgi subito, prendi una palla pesante, Mettici sopra una pallina, vedi conme schizza in alto e la pallina è con che velocità, quando li fai cadere
lo vedi da $ v_0-(-v_0)=2v_0 $ è $ v-v_0=2v_0 $
Ma fallo questo esperimento, te ne accorgi subito, prendi una palla pesante, Mettici sopra una pallina, vedi conme schizza in alto e la pallina è con che velocità, quando li fai cadere
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo