Problema sugli urti
Buongiorno a tutti! Chiedo cortesemente il vostro aiuto con questo problema, spero mi possiate dare qualche indicazione.
Bene, alcune considerazioni sul testo.
1) viene detto esplicitamente che si tratta di un urto elastico, quindi ipotizzo un sistema con la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell'energia cinetica. A questo proposito, il testo non cita espressamente il dato della massa della piastra rigida, ma per poter scrivere le equazioni di conservazione la introduco e la chiamo $M$. (In altre parole sto assumendo che la massa $m$ delle particelle non sia trascurabile rispetto alla massa $M$ della piastra, tale da mantenere invariata la velocità $W$ della piastra, altrimenti non le leggi di conservazione non mi sarebbero d'aiuto).
2) la richiesta è "determinare se le particelle che acquistano più energia sono quelle inizialmente più lente o quelle inizialmente più veloci". Se ho capito bene, dovrei ricavare la differenza di energia cinetica delle particelle in seguito all'urto in funzione di $v_{i}$ e vedere come essa varia per $v_{i}$ maggiore o minore?
La componente di $W$ nell'asse y è pari a zero, quindi per la conservazione della quantità di moto lungo y ottengo $v_{yi}=v_{yf}$. L'urto modifica solo la componente z delle velocità in gioco, perciò:
1) metterò a sistema solo la conservazione della quantità di moto lungo z;
2) l'inclinazione dello sciame rispetto al piano xy varia dopo l'urto, in quanto a parità di componente y aumenta la componente z. Diciamo che assumerà un angolo $theta$ non noto rispetto all'asse y.
Lungo z, $v_{zi}=sqrt(2)/2v_{i}$ e $v_{zf}=v_{f}sen(theta)$
Posso dunque impostare il sistema, con la prima riga da intendersi relativa alla quantità di moto lungo z.
$\{(sqrt(2)/2mv_{i}+MW_{i}=mv_{f}sen(theta)+MW_{f}),(1/2mv_{i}^2+1/2MW_{i}^2=1/2mv_{f}^2+1/2MW_{f}^2):}$
Ora vi chiedo: sono giuste l'impostazione e l'interpretazione del problema? Ho qualche perplessità visto che per procedere devo gestire ben 3 variabili ($v_{f}$, $W_{f}$ e $theta$) con sole due equazioni e non sono nemmeno sicura di aver compreso completamente la richiesta.
Grazie infinite per l'attenzione!
Una piastra rigida disposta parallelamente al piano x,y si muove con velocità $W$ lungo l’asse z positivo. Uno sciame di particelle di massa $m$ e velocità $v_{i}$ si muove lungo la bisettrice yz, nel verso delle z negative, e colpisce la piastra venendo riflesso elasticamente. Poichė il bersaglio è mobile, le particelle acquistano energia nell’urto. Si determini se le particelle che acquistano più energia sono quelle inizialmente più lente o quelle inizialmente più veloci.
Bene, alcune considerazioni sul testo.
1) viene detto esplicitamente che si tratta di un urto elastico, quindi ipotizzo un sistema con la conservazione della quantità di moto e la conservazione dell'energia cinetica. A questo proposito, il testo non cita espressamente il dato della massa della piastra rigida, ma per poter scrivere le equazioni di conservazione la introduco e la chiamo $M$. (In altre parole sto assumendo che la massa $m$ delle particelle non sia trascurabile rispetto alla massa $M$ della piastra, tale da mantenere invariata la velocità $W$ della piastra, altrimenti non le leggi di conservazione non mi sarebbero d'aiuto).
2) la richiesta è "determinare se le particelle che acquistano più energia sono quelle inizialmente più lente o quelle inizialmente più veloci". Se ho capito bene, dovrei ricavare la differenza di energia cinetica delle particelle in seguito all'urto in funzione di $v_{i}$ e vedere come essa varia per $v_{i}$ maggiore o minore?
La componente di $W$ nell'asse y è pari a zero, quindi per la conservazione della quantità di moto lungo y ottengo $v_{yi}=v_{yf}$. L'urto modifica solo la componente z delle velocità in gioco, perciò:
1) metterò a sistema solo la conservazione della quantità di moto lungo z;
2) l'inclinazione dello sciame rispetto al piano xy varia dopo l'urto, in quanto a parità di componente y aumenta la componente z. Diciamo che assumerà un angolo $theta$ non noto rispetto all'asse y.
Lungo z, $v_{zi}=sqrt(2)/2v_{i}$ e $v_{zf}=v_{f}sen(theta)$
Posso dunque impostare il sistema, con la prima riga da intendersi relativa alla quantità di moto lungo z.
$\{(sqrt(2)/2mv_{i}+MW_{i}=mv_{f}sen(theta)+MW_{f}),(1/2mv_{i}^2+1/2MW_{i}^2=1/2mv_{f}^2+1/2MW_{f}^2):}$
Ora vi chiedo: sono giuste l'impostazione e l'interpretazione del problema? Ho qualche perplessità visto che per procedere devo gestire ben 3 variabili ($v_{f}$, $W_{f}$ e $theta$) con sole due equazioni e non sono nemmeno sicura di aver compreso completamente la richiesta.
Grazie infinite per l'attenzione!
Risposte
"latuslnt":
La componente di $W$ nell'asse y è pari a zero, quindi per la conservazione della quantità di moto lungo y ottengo $v_{yi}=v_{yf}$.
Per quale motivo dai per scontato che la lastra, dopo l'urto, non possa acquistare una componente della velocità lungo l'asse y? Te lo chiedo perché non mi sembra che tu l'abbia argomentato adeguatamente.
Ti ringrazio innanzitutto per avermi risposto!
Hai ragione, ho ragionato superficialmente su questo punto: non posso escludere a priori che la piastra non acquisti una componente lungo y.
Anche in questo caso, però, mi trovo in difficoltà: se la velocità finale della lastra acquista una componente anche in y, il vettore $W_{f}$ cambia inclinazione formando un angolo $delta$ con l'asse y. Ho aggiunto sì un'equazione di conservazione al sistema, però ora mi ritrovo con una nuova variabile incognita. Non credo infatti che tra i due angoli siano legati da una relazione; eppure c'è sicuramente qualche altra relazione che mi sta sfuggendo.
In ogni caso, a tuo parere è giusto il modo in cui ho inteso la richiesta dell'esercizio? Come interpreteresti la frase "si determini se le particelle che acquistano più energia sono quelle inizialmente più lente o quelle inizialmente più veloci"? Credo che questa mia perplessità sia banale, ma mi ha lasciato un po' titubante dal momento che poche righe sopra sembra che si affermi che tutto lo sciame di particelle si muove con la stessa velocità $v_{i}$.
Hai ragione, ho ragionato superficialmente su questo punto: non posso escludere a priori che la piastra non acquisti una componente lungo y.
Anche in questo caso, però, mi trovo in difficoltà: se la velocità finale della lastra acquista una componente anche in y, il vettore $W_{f}$ cambia inclinazione formando un angolo $delta$ con l'asse y. Ho aggiunto sì un'equazione di conservazione al sistema, però ora mi ritrovo con una nuova variabile incognita. Non credo infatti che tra i due angoli siano legati da una relazione; eppure c'è sicuramente qualche altra relazione che mi sta sfuggendo.
In ogni caso, a tuo parere è giusto il modo in cui ho inteso la richiesta dell'esercizio? Come interpreteresti la frase "si determini se le particelle che acquistano più energia sono quelle inizialmente più lente o quelle inizialmente più veloci"? Credo che questa mia perplessità sia banale, ma mi ha lasciato un po' titubante dal momento che poche righe sopra sembra che si affermi che tutto lo sciame di particelle si muove con la stessa velocità $v_{i}$.
In realtà, essendo l'urto elastico, la forza con la quale la particella interagisce con la lastra è perpendicolare alla lastra medesima. Ergo, è corretto sostenere che la lastra, dopo l'urto, non possa acquistare una componente della velocità lungo l'asse y. Del resto, ti avevo chiesto solo di argomentarlo adeguatamente. Per quanto riguarda la consegna, si tratta di scrivere le tre equazioni che corrispondono alla conservazione dell'energia cinetica e della quantità di moto lungo gli assi y e z. Insomma, dovresti ottenere un sistema di tre equazioni nelle tre incognite $[v_(fy)]$, $[v_(fz)]$ e $[V_(fz)]$, con ovvio significato dei simboli. Non ho controllato il tuo procedimento. Tuttavia, mi sembra che tu abbia preferito utilizzare un angolo, cosa più che lecita per carità, ma non so quanto possa semplificarti i calcoli. Di sicuro non introduce una nuova variabile indipendente, come mi è sembrato tu sostenessi nel tuo primo messaggio. Se ritieni necessario che io ci metta le mani, fammelo sapere.
Si tratta di calcolare la variazione assoluta, non relativa se si vuole essere aderenti alla consegna, di energia cinetica della particella in funzione di $|vecv_i|$ e studiarne la crescenza/decrescenza al variare dello stesso $|vecv_i|$.
"latuslnt":
Come interpreteresti la frase "si determini se le particelle che acquistano più energia sono quelle inizialmente più lente o quelle inizialmente più veloci"? Credo che questa mia perplessità sia banale, ma mi ha lasciato un po' titubante dal momento che poche righe sopra sembra che si affermi che tutto lo sciame di particelle si muove con la stessa velocità $v_{i}$.
Si tratta di calcolare la variazione assoluta, non relativa se si vuole essere aderenti alla consegna, di energia cinetica della particella in funzione di $|vecv_i|$ e studiarne la crescenza/decrescenza al variare dello stesso $|vecv_i|$.
Ti ringrazio, la tua analisi mi ha aiutato a comprendere come smontare adeguatamente il problema: a guardarlo ora mi è chiaro, in fondo si trattava di un semplice urto elastico studiato in terza superiore, da trattare poi matematicamente con lo studio di funzione. Con un approccio più calmo e meno superficiale avrei saputo gestirlo meglio da subito. Ne terrò sicuramente conto per il futuro!
Grazie davvero per la disponibilità e la chiarezza!
Grazie davvero per la disponibilità e la chiarezza!
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