Problema su un problema di elettrostatica
Ciao, ho da poco iniziato a studiare in maniera più approfondita elettrostatica e diversi esercizi proposti non riesco a farli tornare.
Uno di questi è il semplice:
Una sfera conduttrice di raggio r1 e circondata da due gusci sferici conduttori concentrici
di raggio r2 e r3 e spessore trascurabile. Il guscio sferico di raggio r2 viene caricato con
una carica q2. La sfera di raggio r1 e il guscio sferico di raggio r3 vengono poi posti
a contatto con un filo conduttore passante per un piccolo forellino praticato sul guscio
sferico di raggio r2, che non tocca questultimo guscio sferico. Calcolare la carica elettrica
q1 indotta sulla sfera di raggio r1.
Il mio ragionamento è stato trovare la ddp che sussiste tra guscio 2 e guscio 3, cioé
$V=(q_2(r_3-r_2))/(4pi\epsilon_0r_2r_3)$
e ho pensato di equagliarlo a un potenziale dovuto alla sfera 1, cioé
$V_1=q_1/(4pi\epsilon_0r_2r_3)$ con q1 lamia incognita
da cui avrei
$q_1=q_2/r_1(r_3-r_2)/(r_2r_3)$
mi aiutereste a scovare l'errore?
Grazie a tutti
Uno di questi è il semplice:
Una sfera conduttrice di raggio r1 e circondata da due gusci sferici conduttori concentrici
di raggio r2 e r3 e spessore trascurabile. Il guscio sferico di raggio r2 viene caricato con
una carica q2. La sfera di raggio r1 e il guscio sferico di raggio r3 vengono poi posti
a contatto con un filo conduttore passante per un piccolo forellino praticato sul guscio
sferico di raggio r2, che non tocca questultimo guscio sferico. Calcolare la carica elettrica
q1 indotta sulla sfera di raggio r1.
Il mio ragionamento è stato trovare la ddp che sussiste tra guscio 2 e guscio 3, cioé
$V=(q_2(r_3-r_2))/(4pi\epsilon_0r_2r_3)$
e ho pensato di equagliarlo a un potenziale dovuto alla sfera 1, cioé
$V_1=q_1/(4pi\epsilon_0r_2r_3)$ con q1 lamia incognita
da cui avrei
$q_1=q_2/r_1(r_3-r_2)/(r_2r_3)$
mi aiutereste a scovare l'errore?
Grazie a tutti
Risposte
Fino a $R3$:
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (Q_2)/(R_3)$
Da $R_3$ a $R_2$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) ((Q_2)/(R_3)+(Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3) )$
Da $R_2$ a $R_1$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) ((Q_2)/(R_3)+(Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3) +Q_1(1/R_1-1/R_2) )$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (-Q_1/R_3 + Q_2/R_2 + Q_1/R_1 )$
Uguagliato al potenziale a $R_3$
$ (Q_2)/(R_3)=-Q_1/R_3 + Q_2/R_2 + Q_1/R_1 $
$Q_1 = Q_2 (R_2-R_3)/(R_2R_3) (R_1R_3)/(R_1-R_3) $
$Q_1 =Q_2 R_1/R_2(R_2-R_3)/(R_3-R_1)$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (Q_2)/(R_3)$
Da $R_3$ a $R_2$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) ((Q_2)/(R_3)+(Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3) )$
Da $R_2$ a $R_1$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) ((Q_2)/(R_3)+(Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3) +Q_1(1/R_1-1/R_2) )$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (-Q_1/R_3 + Q_2/R_2 + Q_1/R_1 )$
Uguagliato al potenziale a $R_3$
$ (Q_2)/(R_3)=-Q_1/R_3 + Q_2/R_2 + Q_1/R_1 $
$Q_1 = Q_2 (R_2-R_3)/(R_2R_3) (R_1R_3)/(R_1-R_3) $
$Q_1 =Q_2 R_1/R_2(R_2-R_3)/(R_3-R_1)$
Ciao di nuovo 
Devo dire che ho molti dubbi anche qui, vorrei afferrarne la logica perché della soluzione corretta in sé mi interessa poco. Provo ad analizzare i punti dubi se avrai voglia di discuterli con me.
Ok vogliamo analizzare da R2 a R3, tuttavia non capisco perché a
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3 )$ vai a sommare $ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (Q_2)/(R_3)$
La prima che ho scritto non dovrebbe già indicare la differenza di potenziale generata dalla carica 2 sul guscio 3, cosa serve la seconda formula? Non capisco cosa identifichi.
Analizziamo tra lo spazio 1 e 2, in effetti non l'avevo studiato perché mi sono confuso: avevo pensato all'effetto schermo. Ma l'errore è che l'effetto schermo agisce sui campi e non sui potenziali!
Non capisco perché ipotizziamo una carica Q1 e non una Q3, infatti anche questa carica al pari della 1 indotta dovrebbe dare contributi, no?
Ti ringrazio.
Devo dire che ho molti dubbi anche qui, vorrei afferrarne la logica perché della soluzione corretta in sé mi interessa poco. Provo ad analizzare i punti dubi se avrai voglia di discuterli con me.
Da $R_3$ a $R_2$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) ((Q_2)/(R_3)+(Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3) )$
Ok vogliamo analizzare da R2 a R3, tuttavia non capisco perché a
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3 )$ vai a sommare $ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (Q_2)/(R_3)$
La prima che ho scritto non dovrebbe già indicare la differenza di potenziale generata dalla carica 2 sul guscio 3, cosa serve la seconda formula? Non capisco cosa identifichi.
Da $R_2$ a $R_1$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) ((Q_2)/(R_3)+(Q_1+Q_2)(1/R_2-1/R_3) +Q_1(1/R_1-1/R_2) )$
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) (-Q_1/R_3 + Q_2/R_2 + Q_1/R_1 )$
Analizziamo tra lo spazio 1 e 2, in effetti non l'avevo studiato perché mi sono confuso: avevo pensato all'effetto schermo. Ma l'errore è che l'effetto schermo agisce sui campi e non sui potenziali!
Non capisco perché ipotizziamo una carica Q1 e non una Q3, infatti anche questa carica al pari della 1 indotta dovrebbe dare contributi, no?
Ti ringrazio.
Non ho capito bene i tuoi dubbi.
Se fossi in te, userei un approccio sistematico e pedante.
Abbiamo la legge di Gauss che ci da il potenziale nello spazio circondato da una carica puntiforme.
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) Q/r $
da cui si deduce che la differenza di potenziale tra due "gusci" e' :
$ V_1 - V_2=1/(4 \pi \epsilon_0 ) Q(1/R_1-1/R_2) $
Quindi
$ V_2 =1/(4 \pi \epsilon_0 ) Q(1/R_1-1/R_2) + V_1$
Quel $V_1$ e' il potenziale che ho sommato e che ha causato i tuoi dubbi.
Volendo puoi anche ometterlo, ma devi sapere cosa stai facendo per evitare errori.
queste sono le uniche formule che servono.
Al di fuori del raggio $R_3$ la carica racchiusa e' $Q_2$, siccome i gusci metallici $1$ e $3$ sono complessivamente neutri.
Pero', una volta "entrati" dentro il guscio $3$, la carica racchiusa diventa $Q_1+Q_2$.
La carica $Q_1$ e' incognita.
Una volta entrati dentro al guscio $2$, la carica racchiusa e' solo $Q_1$.
Bene o male e' tutto qui, il resto sono calcoli.
Il raggruppamento di cariche e' molto "lineare".
Da $+oo$ a $R_3$: $Q = Q_1+Q_2+Q_3 = Q_2$
Da $R_3$ a $R_2$: $Q = Q_1+Q_2$
Da $R_2$ a $R_1$: $Q = Q_1$
Da $R_1$ a $0$: $Q = 0$
Attenzione: lo schemo ha effetto schermante dentro lo schermo, ma non fuori.
Il teorema di Gauss ti assicura che gli effetti di una carica vengono sentiti al di fuori di una superficie chiusa che racchiude la carica, ma nulla dice sull'effetto di una carica esterna alla superficie vista da dentro.
Se fossi in te, userei un approccio sistematico e pedante.
Abbiamo la legge di Gauss che ci da il potenziale nello spazio circondato da una carica puntiforme.
$ V=1/(4 \pi \epsilon_0 ) Q/r $
da cui si deduce che la differenza di potenziale tra due "gusci" e' :
$ V_1 - V_2=1/(4 \pi \epsilon_0 ) Q(1/R_1-1/R_2) $
Quindi
$ V_2 =1/(4 \pi \epsilon_0 ) Q(1/R_1-1/R_2) + V_1$
Quel $V_1$ e' il potenziale che ho sommato e che ha causato i tuoi dubbi.
Volendo puoi anche ometterlo, ma devi sapere cosa stai facendo per evitare errori.
queste sono le uniche formule che servono.
Al di fuori del raggio $R_3$ la carica racchiusa e' $Q_2$, siccome i gusci metallici $1$ e $3$ sono complessivamente neutri.
Pero', una volta "entrati" dentro il guscio $3$, la carica racchiusa diventa $Q_1+Q_2$.
La carica $Q_1$ e' incognita.
Una volta entrati dentro al guscio $2$, la carica racchiusa e' solo $Q_1$.
Bene o male e' tutto qui, il resto sono calcoli.
Il raggruppamento di cariche e' molto "lineare".
Da $+oo$ a $R_3$: $Q = Q_1+Q_2+Q_3 = Q_2$
Da $R_3$ a $R_2$: $Q = Q_1+Q_2$
Da $R_2$ a $R_1$: $Q = Q_1$
Da $R_1$ a $0$: $Q = 0$
Ma l'errore è che l'effetto schermo agisce sui campi e non sui potenziali!
Attenzione: lo schemo ha effetto schermante dentro lo schermo, ma non fuori.
Il teorema di Gauss ti assicura che gli effetti di una carica vengono sentiti al di fuori di una superficie chiusa che racchiude la carica, ma nulla dice sull'effetto di una carica esterna alla superficie vista da dentro.
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