Problema su quadrato che urta e ruota.
Buongiorno a tutti,
non riesco a risolvere il seguente problema:
"Un quadrato omogeneo di massa = 1 kg e lato l=0,1m scorre con velocità costante v=5m/s su una superficie orizzontale liscia sino a che incontra un gradino di altezza piccola rispetto alla lunghezza del lato l. In seguito all'urto il quadrato si arresta ed inizia a ruotare attorno allo spigolo a contatto con il gradino. Calcolare 1) il momento di inerzia del quadrato rispetto ad un asse passante per tale spigolo, sapendo che la velocità angolare del quadrato immediatamente dopo l'urto è 37,5 rad/s; 2) la minima velocità iniziale affinché il quadrato si ribalti ricadendo oltre il gradino."
Per risolvere il primo punto ho qualche dubbio riguardo al fatto che il momento angolare si conservi; mi pare che la forza peso che è esterna non abbia momento sempre nullo nella rotazione.
Grazie anticipatamente.
non riesco a risolvere il seguente problema:
"Un quadrato omogeneo di massa = 1 kg e lato l=0,1m scorre con velocità costante v=5m/s su una superficie orizzontale liscia sino a che incontra un gradino di altezza piccola rispetto alla lunghezza del lato l. In seguito all'urto il quadrato si arresta ed inizia a ruotare attorno allo spigolo a contatto con il gradino. Calcolare 1) il momento di inerzia del quadrato rispetto ad un asse passante per tale spigolo, sapendo che la velocità angolare del quadrato immediatamente dopo l'urto è 37,5 rad/s; 2) la minima velocità iniziale affinché il quadrato si ribalti ricadendo oltre il gradino."
Per risolvere il primo punto ho qualche dubbio riguardo al fatto che il momento angolare si conservi; mi pare che la forza peso che è esterna non abbia momento sempre nullo nella rotazione.
Grazie anticipatamente.
Risposte
Infatti il momento angolare rispetto all'ascissa del gradino non si conserva perché il momento della forza peso non è nullo, ma all'inizio dell'urto vale $(mgl)/2$
Complimenti per la prontezza con cui hai risposto. Il momento delle forze esterne si annulla solo nell'istante in cui centro di massa e origine del polo si trovano sulla stessa retta perpendicolare al piano orizzontale (in disegno si vedrebbe il quadrato a forma di rombo sullo spigolo in questione). In quel caso infatti forza peso e raggio sono paralleli e il momento si annulla. E' allora possibile considerare solo in quell'istante che il momento angolare iniziale è uguale al momento angolare in quell'istante?
Grazie anticipatamente.
Grazie anticipatamente.
E' vero, ma per il calcolo della velocità angolare un istante dopo l'urto puoi assumere che il momento angolare si conserva. Il momento della forza si farà sentire infatti subito dopo l'urto: prima dell'urto la forza peso non dà momento perché è bilanciata dalla reazione vincolare, un istante dopo vale lo stesso, solo subito dopo l'urto l'effetto del momento del peso gioca il suo ruolo.
Già. Però il punto 1 di questo esercizio è assai strano. Chiede di calcolare il momento d'inerzia rispetto allo spigolo del quadrato conoscendo la velocità angolare dopo l'urto...
Ma il momento d'inerzia di un quadrato a densità di massa uniforme è una proprietà geometrica che per il centro si calcola facilmente anche se non si possiedono tabelle, e poi si trasla sullo spigolo col teorema di Steiner! Io invece avrei chiesto di calcolare proprio la velocità angolare...
Mah
Ma il momento d'inerzia di un quadrato a densità di massa uniforme è una proprietà geometrica che per il centro si calcola facilmente anche se non si possiedono tabelle, e poi si trasla sullo spigolo col teorema di Steiner! Io invece avrei chiesto di calcolare proprio la velocità angolare...
Mah
"Falco5x":
Già. Però il punto 1 di questo esercizio è assai strano. Chiede di calcolare il momento d'inerzia rispetto allo spigolo del quadrato conoscendo la velocità angolare dopo l'urto...
Ma il momento d'inerzia di un quadrato a densità di massa uniforme è una proprietà geometrica che per il centro si calcola facilmente anche se non si possiedono tabelle, e poi si trasla sullo spigolo col teorema di Steiner! Io invece avrei chiesto di calcolare proprio la velocità angolare...
Mah
In effetti è vero, non avevo fatto caso che dà sia massa che lato del quadrato e poi anche la velocità angolare dopo l'urto....
Ci sono dati ridondanti hai ragione.
Grazie mille a tutti.
In effetti facendo due calcoli si vede subito che la velocità angolare subito dopo l'urto era un dato che si poteva evitare.
Ora per il secondo punto devo ipotizzare che l'energia meccanica si conservi? Posso farlo perché non intervengono forze dissipative? In realtà però non conosco che tipo di urto sia. Non è né elastico né completamente anelastico, altrimenti la quantità di moto doveva conservarsi. E se si tratta di urto anelastico non vi è conservazione di energia cinetica.
In effetti facendo due calcoli si vede subito che la velocità angolare subito dopo l'urto era un dato che si poteva evitare.
Ora per il secondo punto devo ipotizzare che l'energia meccanica si conservi? Posso farlo perché non intervengono forze dissipative? In realtà però non conosco che tipo di urto sia. Non è né elastico né completamente anelastico, altrimenti la quantità di moto doveva conservarsi. E se si tratta di urto anelastico non vi è conservazione di energia cinetica.
"spacetime":
Grazie mille a tutti.
In effetti facendo due calcoli si vede subito che la velocità angolare subito dopo l'urto era un dato che si poteva evitare.
Ora per il secondo punto devo ipotizzare che l'energia meccanica si conservi? Posso farlo perché non intervengono forze dissipative? In realtà però non conosco che tipo di urto sia. Non è né elastico né completamente anelastico, altrimenti la quantità di moto doveva conservarsi. E se si tratta di urto anelastico non vi è conservazione di energia cinetica.
Non ti serve sapere la natura dell'urto: una volta che conosci la velocità angolare subito dopo l'urto tutto va come se hai un quadrato che ruota attorno ad un perno per uno spigolo sottoposto alla forza di gravità. Quindi l'energia meccanica si conserva.
Attento che il momento di quantità di moto rispetto al perno prima e dopo l'urto si conserva qualunque sia la natura dell'urto, mentre a causa dell'impulso incognito dato dal perno al momento dell'urto la quantità di moto non si conserva.
Esattamente. Grazie mille
Ultima domanda. Nella rotazione del quadrato intorno allo spigolo la reazione vincolare del piano di appoggio agisce sempre nel centro di massa così come la forza peso?
Non direi.
Quando il quadrato si stacca dal piano d'appoggio per effetto del gradino, la sua rotazione avviene attorno allo spigolo con il quale tocca il piano e quindi la reazione parte proprio da quello spigolo e può essere diretta in una direzione qualsiasi. La considerazione energetica ti permette di disinteressartene (o anche, come metodo alternativo, potresti fare considerazioni sul momento angolare e sul momento delle forze utilizzando come polo proprio quello spigolo, in modo da mettere elegantemente fuori gioco la reazione incognita che agisce sullo spigolo stesso).
Quando il quadrato si stacca dal piano d'appoggio per effetto del gradino, la sua rotazione avviene attorno allo spigolo con il quale tocca il piano e quindi la reazione parte proprio da quello spigolo e può essere diretta in una direzione qualsiasi. La considerazione energetica ti permette di disinteressartene (o anche, come metodo alternativo, potresti fare considerazioni sul momento angolare e sul momento delle forze utilizzando come polo proprio quello spigolo, in modo da mettere elegantemente fuori gioco la reazione incognita che agisce sullo spigolo stesso).
Mi viene il dubbio perché se pensiamo al quadrato in quiete su uno dei due lati, il momento delle forze esterne deve essere nullo e tale deve restare rispetto a qualsiasi polo in quanto la risultante delle forze esterne è nulla. Se io quindi prendo come polo uno dei due spigoli della base per calcolarmi il momento esterno, avrò il contributo della forza peso nel centro di massa e il contributo della reazione normale. Affinché il momento sia nullo allora devo ipotizzare che la forza normale sia applicata nel centro di massa (in realtà tutti i punti che costituiscono il quadrato risentiranno della forza normale, così come per la forza peso; però si sa che il momento risultante per punti materiali soggetti a forze parallele si riconduce al prodotto vettoriale tra raggio del centro di massa e forza). Mi chiedevo allora se valesse questo anche quando il quadrato ruota. Questo spiegherebbe il fatto che il momento angolare si conservi.
Ci sono parecchie falle nel tuo ragionamento. Conviene esaminare il fenomeno dal principio per fare un po' di chiarezza.
1) Il quadrato scorre sul piano senza attrito con velocità costante.
In questo caso la forza peso è esattamente equilibrata dalla reazione normale del piano. Le forze agenti sono dunque a risultante nulla e a momento risultante nullo rispetto a qualsiasi polo, in particolare rispetto a un polo situato sul punto dove c'è il piccolo gradino. Rispetto a questo polo il momento angolare è: [tex]{L_0} = mv\frac{l}{2}[/tex], e si conserva inalterato mentre il quadrato scorre di moto traslatorio uniforme.
2) Il quadrato incontra il gradino.
Qui dobbiamo fare una supposizione: che l'urto sia anelastico, cioè che il quadrato non rimbalzi all'indietro, ma ruoti attorno allo spigolo che ha urtato. Questo dice più o meno implicitamente il testo del problema, e ha una conseguenza importante: l'energia non si conserva. Quindi sarebbe sbagliato considerare l'energia cinetica iniziale per fare considerazioni successive.
Quando il quadrato cozza contro il gradino si sviluppa una reazione impulsiva che da un lato arresta immediatamente la quantità di moto in direzione x del quadrato, dall'altro fornisce una spinta verticale ulteriore in grado di innalzare il baricentro. Questa reazione è incognita, non è di immediata individuazione, si sa solo che è applicata esattamente allo spigolo del quadrato. Allora in questi casi ponendo il polo di calcolo dei momenti proprio sul punto dove c'è la reazione incognita si risolve facilamente il problema, poiché rispetto a questo polo la reazione dà momento nullo. Rispetto a questo polo, dunque la sola forza che dà momento è la forza peso applicata al baricentro. Il momento di questa forza è inizialmente [tex]{\tau _0} = mg\frac{l}{2}[/tex], e poi mentre il quadrato ruota assumerà un valore decrescente in funzione dell'angolo di rotazione: [tex]\tau \left( \theta \right) = mg\frac{l}{2}\cos \theta[/tex]. Se consideriamo un istante infinitesimo successivo all'urto, quando cioè il quadrato ha ruotato del minuscolo angolo [tex]\delta \theta[/tex], notiamo che il momento angolare è rimasto pressoché inalterato. Infatti il momento della forza peso agisce solo in senso integrale nel variare il momento angolare, e quindi un tempo infinitesimo dopo l'urto il momento angolare può considerarsi inalterato e quindi pari ancora a [tex]{L_0} = mv\frac{l}{2}[/tex]. Sapendo la relazione [tex]{L_0} = I{\omega _0}[/tex] e conoscendo [tex]{\omega _0}[/tex] si ricava I (oppure, come si notava, conoscendo già I il dato della velocità angolare è ridondante).
3) Il quadrato ruota attorno allo spigolo.
Conoscendo adesso la velocità angolare iniziale di questa rotazione, cioè sia il momento angolare che l'energia cinetica iniziale, è possibile calcolare l'angolo massimo al quale si arresterà la rotazione, ovvero l'altezza massima raggiunta dal baricentro del quadrato. L'altezza in parola si calcola eguagliando l'energia cinetica iniziale all'energia potenziale assunta dal quadrato, poiché al momento dell'arresto la sua energia cinetica sarà nulla; oppure in alternativa integrando il momento della forza peso e ponendo questo l'integrale uguale in modulo al momento angolare iniziale si determina l'angolo al quale questo momento angolare si annulla. Il metodo energetico mi pare però assai più semplice.
1) Il quadrato scorre sul piano senza attrito con velocità costante.
In questo caso la forza peso è esattamente equilibrata dalla reazione normale del piano. Le forze agenti sono dunque a risultante nulla e a momento risultante nullo rispetto a qualsiasi polo, in particolare rispetto a un polo situato sul punto dove c'è il piccolo gradino. Rispetto a questo polo il momento angolare è: [tex]{L_0} = mv\frac{l}{2}[/tex], e si conserva inalterato mentre il quadrato scorre di moto traslatorio uniforme.
2) Il quadrato incontra il gradino.
Qui dobbiamo fare una supposizione: che l'urto sia anelastico, cioè che il quadrato non rimbalzi all'indietro, ma ruoti attorno allo spigolo che ha urtato. Questo dice più o meno implicitamente il testo del problema, e ha una conseguenza importante: l'energia non si conserva. Quindi sarebbe sbagliato considerare l'energia cinetica iniziale per fare considerazioni successive.
Quando il quadrato cozza contro il gradino si sviluppa una reazione impulsiva che da un lato arresta immediatamente la quantità di moto in direzione x del quadrato, dall'altro fornisce una spinta verticale ulteriore in grado di innalzare il baricentro. Questa reazione è incognita, non è di immediata individuazione, si sa solo che è applicata esattamente allo spigolo del quadrato. Allora in questi casi ponendo il polo di calcolo dei momenti proprio sul punto dove c'è la reazione incognita si risolve facilamente il problema, poiché rispetto a questo polo la reazione dà momento nullo. Rispetto a questo polo, dunque la sola forza che dà momento è la forza peso applicata al baricentro. Il momento di questa forza è inizialmente [tex]{\tau _0} = mg\frac{l}{2}[/tex], e poi mentre il quadrato ruota assumerà un valore decrescente in funzione dell'angolo di rotazione: [tex]\tau \left( \theta \right) = mg\frac{l}{2}\cos \theta[/tex]. Se consideriamo un istante infinitesimo successivo all'urto, quando cioè il quadrato ha ruotato del minuscolo angolo [tex]\delta \theta[/tex], notiamo che il momento angolare è rimasto pressoché inalterato. Infatti il momento della forza peso agisce solo in senso integrale nel variare il momento angolare, e quindi un tempo infinitesimo dopo l'urto il momento angolare può considerarsi inalterato e quindi pari ancora a [tex]{L_0} = mv\frac{l}{2}[/tex]. Sapendo la relazione [tex]{L_0} = I{\omega _0}[/tex] e conoscendo [tex]{\omega _0}[/tex] si ricava I (oppure, come si notava, conoscendo già I il dato della velocità angolare è ridondante).
3) Il quadrato ruota attorno allo spigolo.
Conoscendo adesso la velocità angolare iniziale di questa rotazione, cioè sia il momento angolare che l'energia cinetica iniziale, è possibile calcolare l'angolo massimo al quale si arresterà la rotazione, ovvero l'altezza massima raggiunta dal baricentro del quadrato. L'altezza in parola si calcola eguagliando l'energia cinetica iniziale all'energia potenziale assunta dal quadrato, poiché al momento dell'arresto la sua energia cinetica sarà nulla; oppure in alternativa integrando il momento della forza peso e ponendo questo l'integrale uguale in modulo al momento angolare iniziale si determina l'angolo al quale questo momento angolare si annulla. Il metodo energetico mi pare però assai più semplice.
wow....grazie ancora!
wow...grazie ancora!
C'ho ragionato un po' e metto al vaglio le mie considerazioni:
Il momento della q.m. resta costante rispetto al punto dell'urto fra un istante prima e immediatamente dopo l'urto. cioe':
$int_( t_1)^(t_1+dt ) \vec M^edt=0= int_( )^( )d\vec P $ ,l'intervallo di tempo e' molto piccolo e le forze intyeressate sono la reazione vincolare molto piu' intensa
in questo istante della forza peso.la reazione vincolare ha momento nullo rispetto al punto di contatto $O$.Da cui $P=cost$.
Il momento dell q.m. rispetto al punto dicontatto e':$\vec P_0=\vec(OC)Xm\vec v_c+I_q\vec \omega=d*m*v_0sin\theta+I_q\omega_0$ .L'urto e' anelastico.
(ove d=diagonale del quadrato e $\theta$ l'angolo fra $v_0$ e $\bar {CO}$ cioe'($l/2=dsin\theta$) e $\omega_0=0$.
$P_f=(\omega_f)*I=(I_q+md^2)$.Uguagliandoli dovrei trovare $I_q$ ma a che serve se a priori gia' lo so per un quadrato?
Al limite questa uguaglianza serve a trovare la velocita' iniziale minima di risalita? $v_0=(I_q+md^2)\omega/(dmsin\theta)$
per la $\omega_(min)$ e' :$-mgh=K_f-K_0=-1/2I\omega^2_(min)=-1/2(I_q+md^2)\omega^2_(min)$.
Da cui $v_0=(Iq+md^2)/(dmsin\theta)*sqrt((2mg/(I_q+md^2))$
Il momento della q.m. resta costante rispetto al punto dell'urto fra un istante prima e immediatamente dopo l'urto. cioe':
$int_( t_1)^(t_1+dt ) \vec M^edt=0= int_( )^( )d\vec P $ ,l'intervallo di tempo e' molto piccolo e le forze intyeressate sono la reazione vincolare molto piu' intensa
in questo istante della forza peso.la reazione vincolare ha momento nullo rispetto al punto di contatto $O$.Da cui $P=cost$.
Il momento dell q.m. rispetto al punto dicontatto e':$\vec P_0=\vec(OC)Xm\vec v_c+I_q\vec \omega=d*m*v_0sin\theta+I_q\omega_0$ .L'urto e' anelastico.
(ove d=diagonale del quadrato e $\theta$ l'angolo fra $v_0$ e $\bar {CO}$ cioe'($l/2=dsin\theta$) e $\omega_0=0$.
$P_f=(\omega_f)*I=(I_q+md^2)$.Uguagliandoli dovrei trovare $I_q$ ma a che serve se a priori gia' lo so per un quadrato?
Al limite questa uguaglianza serve a trovare la velocita' iniziale minima di risalita? $v_0=(I_q+md^2)\omega/(dmsin\theta)$
per la $\omega_(min)$ e' :$-mgh=K_f-K_0=-1/2I\omega^2_(min)=-1/2(I_q+md^2)\omega^2_(min)$.
Da cui $v_0=(Iq+md^2)/(dmsin\theta)*sqrt((2mg/(I_q+md^2))$
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