Problema su oscillatore armonico quantistico
Buonasera ragazzi, avrei un dubbio sul seguente esercizio:
In particolare, ho problemi a calcolare i coefficienti di Fourier di questo stato rispetto alla base di autostati dell'Hamiltoniana. In particolare ho notato che:
1. : se decidessi di fare un cambio di variabili, cioè imporre $ y -= x - sqrt((2h)/(mw) $ , non riuscirei a scrivere lo stato generico $ | psi> $ in maniera da potere ottenere i coefficienti di Fourier, poichè sul secondo esponente otterei un termine $ prop y $ , quindi sarei di nuovo al punto di partenza, per non parlare del fatto che dovrei effettuare una traslazione sulla Hamiltoniana che mi cambierebbe gli autostati, perchè poi dovrei ri-traslarla per rendere nuovamente diagonale $ hat(H) $
2: se decidessi di calcolare direttamente $ cn = $ , non saprei come proseguire perchè non ho una forma "tipo" per i $ | psi_n> $ , dovrei usare o la formulazione coi polinomi di Hermite o quella con l'operatore $ (hat(a_+))^n $ , ma in entrambi i casi non saprei come continuare
3. : avevo pensato che potrei scrivere la x all'esponente come $ x = sqrt(h/(2mw))(hat(a_+)+hat(a_-)) $
Voi come lo risolvereste? Grazie in anticipo
In particolare, ho problemi a calcolare i coefficienti di Fourier di questo stato rispetto alla base di autostati dell'Hamiltoniana. In particolare ho notato che:
1. : se decidessi di fare un cambio di variabili, cioè imporre $ y -= x - sqrt((2h)/(mw) $ , non riuscirei a scrivere lo stato generico $ | psi> $ in maniera da potere ottenere i coefficienti di Fourier, poichè sul secondo esponente otterei un termine $ prop y $ , quindi sarei di nuovo al punto di partenza, per non parlare del fatto che dovrei effettuare una traslazione sulla Hamiltoniana che mi cambierebbe gli autostati, perchè poi dovrei ri-traslarla per rendere nuovamente diagonale $ hat(H) $
2: se decidessi di calcolare direttamente $ cn =
3. : avevo pensato che potrei scrivere la x all'esponente come $ x = sqrt(h/(2mw))(hat(a_+)+hat(a_-)) $
Voi come lo risolvereste? Grazie in anticipo
Risposte
Ciao, sono assai arrugginito e spero di non dire castronerie ma ci provo. anzitutto non so cosa voglia dire "preparare lo stato", ma penso tu intenda decomporre lo stato su una base di autostati dell'oscillatore armonico. in pratica
\[
\Psi_{s} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n \Psi_n
\]
quindi dobbiamo calcolare il seguente (premetto che lle h tagliato le ho fatte tutte diventare h per non diventare matto a scrivere, spero mi perdonerai):
\[
c_n = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} (\frac{m \omega}{\pi h})^{\text{1/4}} \int dx H_n(\sqrt{\frac{m \omega}{ h} x) } e^{-\frac{m \omega x^2}{2 h}} N[e^{-\frac{m \omega}{2h} (x - \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}})^2} + e^{-\frac{m \omega}{2h} (x + \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}})^2}]
\]
Risolvo solo l'integrale con il meno, l'altro è comunque analogo. spesso magari le costanti non le metto precise ma le faccio finire tutte sotto un'unica variabile che chiamo sempre $C$. in buona sostanza dobbiamo risolvere:
\[
\int dx H_n(\sqrt{\frac{m \omega}{2 h} x) } e^{-\frac{m \omega x^2}{2 h}} e^{-\frac{m \omega}{2h} (x - \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}})^2}
\]
Facendo il cambio di variabili $u := \sqrt{\frac{m \omega}{h}) x$ ci riconduciamo a
\[
C \int du H_n(u) e^{-u^2/2} e^{-\frac{1}{2} (u - \sqrt{2})^2}
\]
Ricordando che $e^{2ut - t^2} = \sum_{n = 0}^{\infty}H_n(u) \frac{t^n}{n!}$, rimaneggiando la parte di integrando con gli esponenziali e prendendo $t = \sqrt{2} /2$, arriviamo a:
\[
C e^{- 1/2} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\sqrt{2}^k}{2^k k!} \int du H_n(u) H_k(u)e^{-u^2}
\]
Tenendo ora presente che per l'ortogonalità dei polinomi di hermite abbiamo $ \int du H_n(u) H_k(u)e^{-u^2} = \sqrt{\pi}2^n n! \delta_{nk}$, se non ho fatto male i conti, dovrebbe dare un risultato di
\[
\frac{N}{\sqrt{n!}}e^{-1/2} (\frac{h}{m \omega \pi})^4 e^{-1/2}
\]
come anticipavo l'altro si fa analogo. controlla però i conti perché so che sicuramente avrò perso delle costanti per la strada!
\[
\Psi_{s} = \sum_{n = 0}^{\infty} c_n \Psi_n
\]
quindi dobbiamo calcolare il seguente (premetto che lle h tagliato le ho fatte tutte diventare h per non diventare matto a scrivere, spero mi perdonerai):
\[
c_n = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} (\frac{m \omega}{\pi h})^{\text{1/4}} \int dx H_n(\sqrt{\frac{m \omega}{ h} x) } e^{-\frac{m \omega x^2}{2 h}} N[e^{-\frac{m \omega}{2h} (x - \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}})^2} + e^{-\frac{m \omega}{2h} (x + \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}})^2}]
\]
Risolvo solo l'integrale con il meno, l'altro è comunque analogo. spesso magari le costanti non le metto precise ma le faccio finire tutte sotto un'unica variabile che chiamo sempre $C$. in buona sostanza dobbiamo risolvere:
\[
\int dx H_n(\sqrt{\frac{m \omega}{2 h} x) } e^{-\frac{m \omega x^2}{2 h}} e^{-\frac{m \omega}{2h} (x - \sqrt{2} \sqrt{\frac{m \omega}{2 h}})^2}
\]
Facendo il cambio di variabili $u := \sqrt{\frac{m \omega}{h}) x$ ci riconduciamo a
\[
C \int du H_n(u) e^{-u^2/2} e^{-\frac{1}{2} (u - \sqrt{2})^2}
\]
Ricordando che $e^{2ut - t^2} = \sum_{n = 0}^{\infty}H_n(u) \frac{t^n}{n!}$, rimaneggiando la parte di integrando con gli esponenziali e prendendo $t = \sqrt{2} /2$, arriviamo a:
\[
C e^{- 1/2} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{\sqrt{2}^k}{2^k k!} \int du H_n(u) H_k(u)e^{-u^2}
\]
Tenendo ora presente che per l'ortogonalità dei polinomi di hermite abbiamo $ \int du H_n(u) H_k(u)e^{-u^2} = \sqrt{\pi}2^n n! \delta_{nk}$, se non ho fatto male i conti, dovrebbe dare un risultato di
\[
\frac{N}{\sqrt{n!}}e^{-1/2} (\frac{h}{m \omega \pi})^4 e^{-1/2}
\]
come anticipavo l'altro si fa analogo. controlla però i conti perché so che sicuramente avrò perso delle costanti per la strada!
Per "preparare lo stato" intendono dire che lo stato all'istante t= 0 è $ | psi> $ ; mi è stato spiegato che è una "convenzione" che si usa. Comunque grazie mille per la risposta! Poi,se posso, avrei un'altra domanda: il problema che vedi in foto ha una seconda parte in cui estende lo stesso problema in tre dimensioni, chiedendomi poi di calcolare $ _psi $ con $ vecr = (x,y,z) $ . L'affermazione:
$_psi = (, ,) $ è giusta? Cioè il valore atteso di un vettore è il vettore che ha per componenti i valori attesi delle componenti del vettore?
$
"m2d":
L'affermazione ...
è corretto (attento che non sono tutte x, ma x,y,z le quantità dei valori assoluti).
Una cosa che non abbiamo detto, probabilmente perché ti è chiara, è che devi normalizzare lo stato calcolando quindi N.
Ciao, sì perdonami ho fatto copia e incolla del codice e mi sono dimenticato di sostituire la y e z al posto della x. La normalizzazione(anche se poi nell'esercizio va fatta, naturalmente) non l'ho considerata perchè mi interessava sapere come uscirne dal calcolo dei coefficienti di Fourier, anche perchè si riduce a fare (costanti a parte, considero solo il primo addendo dello stato $ | psi> $ ) un integrale del tipo:
$ I prop int_(-oo)^(+oo) e^-(ax^2 + bx ) dx $ , che si fa con un cambio di variabili $ y -= sqrt(a)(x-b/(2a)) $
Grazie mille ancora e, qualora ne avessi tempo e voglia, ho aperto un altro thread su un esercizio di interazione elettrone-protone che non mi è chiarissimo come risolvere.
$ I prop int_(-oo)^(+oo) e^-(ax^2 + bx ) dx $ , che si fa con un cambio di variabili $ y -= sqrt(a)(x-b/(2a)) $
Grazie mille ancora e, qualora ne avessi tempo e voglia, ho aperto un altro thread su un esercizio di interazione elettrone-protone che non mi è chiarissimo come risolvere.
Ciao, direi che si può risolvere con metodi puramente algebrici notando che la funzione d'onda data è la sovrapposizione di due stati fondamentali di oscillatore armonico traslati.
\[
|\psi, t= 0\rangle = N \left(T_{a}|0\rangle + T_{-a}|0\rangle\right)
\]
dove l'operatore T è l'operatore di traslazione finita definito dall'azione sulla base delle coordinate: \(T_{a}|x\rangle = |x+a\rangle\)
a questo punto si tratta di osservare che:
1) Lo stato \(T_{\delta}|0\rangle\) è uno stato coerente per l'oscillatore armonico (\(\delta\) è un qualsiasi reale):
proof:
\[
aT_{\delta}|0\rangle = T_{\delta}\left(T_{\delta}^{\dagger}aT_{\delta}\right)|0\rangle = T_{\delta}\left(a + \delta\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\right)|0\rangle = \delta\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}T_{\delta}|0\rangle
\]
2) see https://homepage.univie.ac.at/reinhold. ... t_Ch_5.pdf o altre referenze, si ha che (indicato con \( |\alpha\rangle = T_{\delta}|0\rangle\) lo stato coerente ottenuto tramite displacement dello stato fondamentale e \( \alpha = \delta\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\) - ossia il label corrisponde all'autovalore dell'operatore di distruzione)
\[
\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}
\]
per cui, in questo caso, si ha che:
\[
c_n(0) =N\left(\langle n| T_{\delta}|0\rangle + \langle n| T_{-\delta}|0\rangle\right)= N \frac{e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}}{\sqrt{n!}}\alpha^n\left( 1 + \left(-1\right)^n\right)
\]
ed infine, essendo il dispacement pari a \(\delta = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\) si ha che \(\alpha = 1\) da cui:
\[
c_n(0) = N \frac{e^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{n!}}\left(1 + \left(-1\right)^n\right)
\]
che mi sembra in linea con quanto ti hanno suggerito (nb da qui puoi dedurre N imponendo la somma delle ampiezze cn modulo quadro pari a 1 e dovrebbe risultare \(N = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{e}{\cosh(1)}}\)).
tutto l'ambaradan dovrebbe dare:
\[
c_n(0) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{n!}\sqrt{\cosh(1)}}(1+(-1)^n)
\]
3) infine \(c_n(t)\) è banale in quanto il bra è un autostato dell'energia e quindi evolve con una fase:
\[
c_n(t) = \langle n|\psi,t\rangle =\langle n|U(t,0)|\psi,t=0\rangle = e^{-i \omega_k t}\langle n|\psi,t=0\rangle = e^{-i \omega_k t} c_{n}(0)
\]
\[
|\psi, t= 0\rangle = N \left(T_{a}|0\rangle + T_{-a}|0\rangle\right)
\]
dove l'operatore T è l'operatore di traslazione finita definito dall'azione sulla base delle coordinate: \(T_{a}|x\rangle = |x+a\rangle\)
a questo punto si tratta di osservare che:
1) Lo stato \(T_{\delta}|0\rangle\) è uno stato coerente per l'oscillatore armonico (\(\delta\) è un qualsiasi reale):
proof:
\[
aT_{\delta}|0\rangle = T_{\delta}\left(T_{\delta}^{\dagger}aT_{\delta}\right)|0\rangle = T_{\delta}\left(a + \delta\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\right)|0\rangle = \delta\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}T_{\delta}|0\rangle
\]
2) see https://homepage.univie.ac.at/reinhold. ... t_Ch_5.pdf o altre referenze, si ha che (indicato con \( |\alpha\rangle = T_{\delta}|0\rangle\) lo stato coerente ottenuto tramite displacement dello stato fondamentale e \( \alpha = \delta\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\) - ossia il label corrisponde all'autovalore dell'operatore di distruzione)
\[
\langle n|\alpha\rangle = \frac{\alpha^n}{\sqrt{n!}} e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}
\]
per cui, in questo caso, si ha che:
\[
c_n(0) =N\left(\langle n| T_{\delta}|0\rangle + \langle n| T_{-\delta}|0\rangle\right)= N \frac{e^{-\frac{1}{2}|\alpha|^2}}{\sqrt{n!}}\alpha^n\left( 1 + \left(-1\right)^n\right)
\]
ed infine, essendo il dispacement pari a \(\delta = \sqrt{\frac{2\hbar}{m\omega}}\) si ha che \(\alpha = 1\) da cui:
\[
c_n(0) = N \frac{e^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{n!}}\left(1 + \left(-1\right)^n\right)
\]
che mi sembra in linea con quanto ti hanno suggerito (nb da qui puoi dedurre N imponendo la somma delle ampiezze cn modulo quadro pari a 1 e dovrebbe risultare \(N = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{e}{\cosh(1)}}\)).
tutto l'ambaradan dovrebbe dare:
\[
c_n(0) = \frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{n!}\sqrt{\cosh(1)}}(1+(-1)^n)
\]
3) infine \(c_n(t)\) è banale in quanto il bra è un autostato dell'energia e quindi evolve con una fase:
\[
c_n(t) = \langle n|\psi,t\rangle =\langle n|U(t,0)|\psi,t=0\rangle = e^{-i \omega_k t}\langle n|\psi,t=0\rangle = e^{-i \omega_k t} c_{n}(0)
\]
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