Problema su moti circolari, forse anche banale.
Salve gente, sto cercando di affrontare il terrificante esame di Fisica I (con l'auspicio di riuscire con buon profitto per mantenere la mia media, che è tutto sommato abbastanza alto) e ho da poco concluso l'affronto della parte teorica, ritrovandomi pertanto a dover affrontare la parte pratica. La prima e' in realtà tutto sommato semplice e non mi ha dato particolari difficoltà, ma altrettanto non riesco con la parte pratica. Finché si rimane sui moti rettilinei mi trovo bene, riuscendo a risolvere gli esercizi proposti sul sito dell'università dal nostro professore al primissimo tentativo. Passato a quelli che invece sono i moti circolari la storia si inverte completamente, riuscendo in pochissimi di quelli che ho tentato. La parte di teoria mi è chiara, ma la applicazione della stessa mi manda in casino. Propongo un esempio di esercizio con relativo tentativo di risoluzione:
Esercizio: Un punto si muove lungo una circonferenza di raggio R partendo dalla posizione A con velocità angolare iniziale $\omega_0$ e fino ad una seconda posizione B si muove di moto circolare uniformemente accelerato con accelerazione angolare $\alpha.$ Dopo B frena uniformemente sulla circonferenza fino a fermarsi in A.
Determinare:
$\cdot$ Il tempo per passare da A a B;
$\cdot$ L'accelerazione centripeta in B;
$\cdot$ L'accelerazione tangenziale nel primo tratto;
[ R = $\frac{1}{2}m$, A = 0, B = $\frac{3\pi}{2}$, $\omega_0$ = 0 $rad s^{-1}$, $\alpha$=2$rad s^{-2}$ ]
Tentativo di risoluzione:
Qui visto che mi verrebbe in mente come poter realizzare qualcosa del genere penso di poter utilizzare le relazioni che consentono di trattare il moto come unidimensionale, cioè quelle formalmente identiche ai moti rettilinei.
Per quanto riguarda il tempo, devo prima ricavare informazioni sulla velocità angolare che il punto ha quando si trova in B, sfruttando poi il fatto che l'accelerazione angolare coincide con quella media. Per quanto riguarda la velocità angolare si può approfittare del fatto di sapere che il moto è di tipo uniformemente accelerato per ricavarla senza dipendenza dal tempo:
Punto 1:
$\omega_{B} ^2- \omega_A^2 = 2\alpha(B-A) \implies \omega_{B} = \sqrt{\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)} $
A questo punto sappiamo dalla considerazione sulla accelerazione angolare media che
$\alpha = \frac{\omega_b - \omega_a}{t_b - t_a} $
Ponendo $t_a = 0$ e $t = t_b$
$\alpha = \frac{\omega_b - \omega_a}{t} \implies t = \frac{\omega_b - \omega_a}{\alpha} = \frac{\sqrt{\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)} - \omega_a}{\alpha}$
Con i dati assegnati e la formula di prima $t=\sqrt{\frac{3\pi}{2}} \approx 2.17s$
Punto 2:
Ricordiamo che
$\omega_{B} = \sqrt{\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)}$
$\vec{a_N}(B) = -R\omega_B^2\hat{u}_r = -R[\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)]\hat{u}_r $
Con i dati del problema e la formula trovata
$\vec{a_N}(B) = -\frac{3\pi}{4}\hat{u}_r \implies a_N(B) = \frac{3\pi}{4}ms^{-2} \approx 2.36ms^{-2}$
Punto 3:
$\vec{a_T} = R\alpha\hat{u}_{\theta} \implies a_T = 1ms^{-2} $
Naturalmente è sbagliato...
Qualche consiglio utile per affrontare questo ed altri tipi di moto?
Grazie mille!
Esercizio: Un punto si muove lungo una circonferenza di raggio R partendo dalla posizione A con velocità angolare iniziale $\omega_0$ e fino ad una seconda posizione B si muove di moto circolare uniformemente accelerato con accelerazione angolare $\alpha.$ Dopo B frena uniformemente sulla circonferenza fino a fermarsi in A.
Determinare:
$\cdot$ Il tempo per passare da A a B;
$\cdot$ L'accelerazione centripeta in B;
$\cdot$ L'accelerazione tangenziale nel primo tratto;
[ R = $\frac{1}{2}m$, A = 0, B = $\frac{3\pi}{2}$, $\omega_0$ = 0 $rad s^{-1}$, $\alpha$=2$rad s^{-2}$ ]
Tentativo di risoluzione:
Qui visto che mi verrebbe in mente come poter realizzare qualcosa del genere penso di poter utilizzare le relazioni che consentono di trattare il moto come unidimensionale, cioè quelle formalmente identiche ai moti rettilinei.
Per quanto riguarda il tempo, devo prima ricavare informazioni sulla velocità angolare che il punto ha quando si trova in B, sfruttando poi il fatto che l'accelerazione angolare coincide con quella media. Per quanto riguarda la velocità angolare si può approfittare del fatto di sapere che il moto è di tipo uniformemente accelerato per ricavarla senza dipendenza dal tempo:
Punto 1:
$\omega_{B} ^2- \omega_A^2 = 2\alpha(B-A) \implies \omega_{B} = \sqrt{\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)} $
A questo punto sappiamo dalla considerazione sulla accelerazione angolare media che
$\alpha = \frac{\omega_b - \omega_a}{t_b - t_a} $
Ponendo $t_a = 0$ e $t = t_b$
$\alpha = \frac{\omega_b - \omega_a}{t} \implies t = \frac{\omega_b - \omega_a}{\alpha} = \frac{\sqrt{\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)} - \omega_a}{\alpha}$
Con i dati assegnati e la formula di prima $t=\sqrt{\frac{3\pi}{2}} \approx 2.17s$
Punto 2:
Ricordiamo che
$\omega_{B} = \sqrt{\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)}$
$\vec{a_N}(B) = -R\omega_B^2\hat{u}_r = -R[\omega_A^2 + 2\alpha(B-A)]\hat{u}_r $
Con i dati del problema e la formula trovata
$\vec{a_N}(B) = -\frac{3\pi}{4}\hat{u}_r \implies a_N(B) = \frac{3\pi}{4}ms^{-2} \approx 2.36ms^{-2}$
Punto 3:
$\vec{a_T} = R\alpha\hat{u}_{\theta} \implies a_T = 1ms^{-2} $
Naturalmente è sbagliato...
Qualche consiglio utile per affrontare questo ed altri tipi di moto?
Grazie mille!
Risposte
No, perchè dovrebbe essere sbagliato? Sembra tutto giusto... A parte quella che a me sembra una certa pedanteria di utilizzare formule "generali" invece di queele più semplici che si applicano in questo caso, come l'insistenza su $omega_a$, che, insomma, è zero, no?
"mgrau":
Sembra tutto giusto...
Eppure, a parte il primo punto il mio libro riporta valori diversi... non so più che pensare.
"iTz_Ovah":
Eppure, a parte il primo punto il mio libro riporta valori diversi...
Quali?
"mgrau":
Quali?
1: 2.17s
2: 9.42 $ms^{-2}$
3: -3m$s^{-2}$
"iTz_Ovah":
Punto 2:
Con i dati del problema e la formula trovata
$\vec{a_N}(B) = -\frac{3\pi}{4}\hat{u}_r \implies a_N(B) = \frac{3\pi}{4}ms^{-2} \approx 2.36ms^{-2}$
Qui c'è un errore di calcolo, risulta $3pi$ e non $(3pi)/4$
Per il punto 3, non ho proprio idea da dove venga quel risultato $-3m/s^2$... Negativo, poi...
P.S. anzi, un'idea ce l'ho, forse si voleva chiedere l'accelerazione nel secondo tratto...
Eh sì hai proprio ragione sull'errore di calcolo. Per quanto riguarda l'ultimo punto da quanto evinco dal testo il punto passa una volta sola per B: parte con accelerazione angolare costante da A fino a B e poi frena (ancora costante) fino a fermarsi nuovamente in A... ero perplesso anche io alla vista del valore negativo.
Quindi, accelera per 3/4 di giro, con accelerazione 1, e decelera per 1/4 con accelerazione -3
"mgrau":
Quindi, accelera per 3/4 di giro, con accelerazione 1, e decelera per 1/4 con accelerazione -3
-3 in realtà è la accelerazione tangenziale nel tratto uniformemente accelerato da A fino a B se non ho misinterpretato.
"iTz_Ovah":
-3 in realtà è la accelerazione tangenziale nel tratto uniformemente accelerato da A fino a B se non ho misinterpretato.
Se il testo è quello che hai riportato in origine, è così, ma è chiaramente sbagliato. La sola spiegazione che vedo è che il testo volesse in realtà chiedere l'accelerazione nel tratto da B ad A . E del resto, se non fosse così, a che servirebbe dire che il corpo arriva poi fino ad A e lì si ferma?
Avevo già notato l'incoerenza mentre risolvevo l'esercizio, nel fatto di avere quell'eccesso di informazioni. Ti ringrazio per l'aiuto!
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