Problema su legge di Snell
Ciao a tutti
ho un problema con un esercizio di ottica
vi riporto il testo:
Uno strato d'acqua di altezza $h_2 = 2 cm$ e $n_2 = 1,33$ si trova in un recipiente cilindrico di raggio $R = 3 cm$ sopra un'altro strato di CCl4 con altezza $h_1 = 4 cm$ e $n_1 = 1,464$
a) Qual'è l'angolo massimo rispetto alla normale per il quale si possa ancora vedere il centro del fondo?
b) Quanto dev'essere grande il raggio R perchè quest'angolo sia di 90 gradi?
partendo dal punto a)
il mio primo dubbio è relativo all'interpretazione della domanda. Io ho immagino che si intenda che una persona guardi dentro il recipiente, e che la linea del suo sguardo tocchi il recipiente sul bordo, come la linea rossa in figura.
E che quindi la domanda chieda di determinare l'angolo rispetto alla verticale, oltre il quale la linea rossa cada oltre il centro (nell'immagine intendo che vada alla destra del punto $C$)
la prima cosa che ho pensato è stata di imporre che $d_1 + d_2 \leq R$ dove poi ho preso solo il segno $=$ per determinale l'angolo massimo.
A questo punto credo che entri in gioco la legge di Snell, che in questo caso mi direbbe che
$n_(aria) sin alpha_1 = n_2 sin alpha_2$
$n_2 sin alpha_2 = n_1 sin beta_2$
da cui
$ sin alpha_2 = 1/ n_2 sin alpha_1 $
$ sin beta_2 = n_2 / n_1 sin alpha_2 = 1/ n_1 sin alpha_1$
dove ovviamente prendo $n_(aria) = 1$
vedendo
$d_1 = h_2 tg(alpha_2)$
$d_2 = h_1 tg (beta_2)$
e quindi
$R =h_2 tg(alpha_2) + h_1 tg (beta_2) $
che riscrivo come
$R =h_2 sin(alpha_2)/cos(alpha_2) + h_1 sin (beta_2) /cos (beta_2) $
scrivo [tex]cos(\alpha_2) = \sqrt{1-\sin^{2}(\alpha_{2})}[/tex] e [tex]cos(\alpha_1) = \sqrt{1-\sin^{2}(\alpha_{1})}[/tex]
e sostituisco $sin(alpha_2)$ e $sin(beta_2)$ con i valori trovati prima ottengo finalmente
$R = h_2/n_2 sin(alpha_1)/sqrt(1-(sin(alpha_1)/n_2)^2) +h_1 n_2/n_1 sin(alpha_1)/ sqrt(1-(n_1/n_2 sin(alpha_1))^2) $
che è un'equazione dove l'unica incognita è $sin(alpha_1)$
il problema però è che non riesco a risolverla.
Qualcuno mi saprebbe dire se sono sulla strada giusta?
ho un problema con un esercizio di ottica
vi riporto il testo:
Uno strato d'acqua di altezza $h_2 = 2 cm$ e $n_2 = 1,33$ si trova in un recipiente cilindrico di raggio $R = 3 cm$ sopra un'altro strato di CCl4 con altezza $h_1 = 4 cm$ e $n_1 = 1,464$
a) Qual'è l'angolo massimo rispetto alla normale per il quale si possa ancora vedere il centro del fondo?
b) Quanto dev'essere grande il raggio R perchè quest'angolo sia di 90 gradi?
partendo dal punto a)
il mio primo dubbio è relativo all'interpretazione della domanda. Io ho immagino che si intenda che una persona guardi dentro il recipiente, e che la linea del suo sguardo tocchi il recipiente sul bordo, come la linea rossa in figura.
E che quindi la domanda chieda di determinare l'angolo rispetto alla verticale, oltre il quale la linea rossa cada oltre il centro (nell'immagine intendo che vada alla destra del punto $C$)
la prima cosa che ho pensato è stata di imporre che $d_1 + d_2 \leq R$ dove poi ho preso solo il segno $=$ per determinale l'angolo massimo.
A questo punto credo che entri in gioco la legge di Snell, che in questo caso mi direbbe che
$n_(aria) sin alpha_1 = n_2 sin alpha_2$
$n_2 sin alpha_2 = n_1 sin beta_2$
da cui
$ sin alpha_2 = 1/ n_2 sin alpha_1 $
$ sin beta_2 = n_2 / n_1 sin alpha_2 = 1/ n_1 sin alpha_1$
dove ovviamente prendo $n_(aria) = 1$
vedendo
$d_1 = h_2 tg(alpha_2)$
$d_2 = h_1 tg (beta_2)$
e quindi
$R =h_2 tg(alpha_2) + h_1 tg (beta_2) $
che riscrivo come
$R =h_2 sin(alpha_2)/cos(alpha_2) + h_1 sin (beta_2) /cos (beta_2) $
scrivo [tex]cos(\alpha_2) = \sqrt{1-\sin^{2}(\alpha_{2})}[/tex] e [tex]cos(\alpha_1) = \sqrt{1-\sin^{2}(\alpha_{1})}[/tex]
e sostituisco $sin(alpha_2)$ e $sin(beta_2)$ con i valori trovati prima ottengo finalmente
$R = h_2/n_2 sin(alpha_1)/sqrt(1-(sin(alpha_1)/n_2)^2) +h_1 n_2/n_1 sin(alpha_1)/ sqrt(1-(n_1/n_2 sin(alpha_1))^2) $
che è un'equazione dove l'unica incognita è $sin(alpha_1)$
il problema però è che non riesco a risolverla.
Qualcuno mi saprebbe dire se sono sulla strada giusta?
Risposte
In ottica sono un po' arrugginito ma a me sembra giusto.
Ho provato a risolvere l'equazione con un programma al computer e i miei risultati sono:
a) 39,3°
b) 6,02 cm
Ho provato a risolvere l'equazione con un programma al computer e i miei risultati sono:
a) 39,3°
b) 6,02 cm
grazie mille,
devo dire che il fatto che tu mi abbia detto che il ragionamento di base è corretto mi ha davvero rassicurato.
Avrei solo bisogno di capire adesso come risolvere quell'equazione senza usare un programma al computer, dato che suppongo il testo dell'esercizio non lo preveda
Ho fatto vari tentativi, ma mi escono equazioni davvero assurde
è per questo motivo che credevo di aver interpretato male l'intero esercizio
devo dire che il fatto che tu mi abbia detto che il ragionamento di base è corretto mi ha davvero rassicurato.
Avrei solo bisogno di capire adesso come risolvere quell'equazione senza usare un programma al computer, dato che suppongo il testo dell'esercizio non lo preveda
Ho fatto vari tentativi, ma mi escono equazioni davvero assurde
è per questo motivo che credevo di aver interpretato male l'intero esercizio
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