Problema su forza gravitazionale!!!aiuto!!!
Un asta omogenea, di massa M, ha lunghezza l e dimensioni trasversali trascurabili rispetto alla lunghezze. Si calcoli
l intensità della forza gravitazionale esercitata su un punto materiale di massa m posto sull asse dell asta, a distanza z da questa
non so più che fare, non mi esce...sapete aiutarmi?
l intensità della forza gravitazionale esercitata su un punto materiale di massa m posto sull asse dell asta, a distanza z da questa
non so più che fare, non mi esce...sapete aiutarmi?
Risposte
Beh prova a scriverci come l hai impostato...
Hai provato a considerare la sbarra come un insieme infinito di punti materiali, ognuno esercitante una forza gravitazionale, e sommarli tutti con un integrale?
Hai provato a considerare la sbarra come un insieme infinito di punti materiali, ognuno esercitante una forza gravitazionale, e sommarli tutti con un integrale?
il fatto è che il questito non è neanche molto chiaro!!!devo considerare solo la lunghezza trascurando il raggio o no?ho fatto con l integrale, ma non ne vuole sapere...
allora, se consideri un generico punto dell'asta, esso avra massa $dM = \lambda dy$ dove $\lambda$ è la densità lineare pari a M/L e dy è l' "altezza" del punto. Ogni punto dell'asta eserciterà una forza sul punto m che puoi rappresentare come un vettore diretto verso il punto dell'asta e che puoi scomporre in due componenti, una parallela all'asta e una parallela al suo asse. Ti puoi facilmente convincere che, quando vai a sommare tutte le componenti parallele all'asta di tutti i punti la somma si annulla, perchè ogni punto ha un suo simmetrico rispetto all'asse. Quindi alla fine rimane solamente la componente parallela all'asse. Già questo ti permette di dire che la forza totale agente sul punto sarà diretta parallelamente all'asse.
Per quanto riguarda il modulo, ogni punto dell'asta giace a una distanza dal punto m pari a $z/cos(\theta)$ dove $\theta$ e l angolo che si forma tra l'asse e la congiungente il punto dell asta al punto m. Perciò ogni punto dM dell'asta esercita una forza pari a
$F = G (m dM)/(r^2) $
sostituisci a dM e r i valori trovati, poi esprimi dy in funzione di $d\theta$ e infine integri rispetto all'angolo, considerando come estremi di integrazione l'angolo minimo e l angolo massimo, che puoi ottenere con un po di trigonometria!
Prova e fammi sapere!
Per quanto riguarda il modulo, ogni punto dell'asta giace a una distanza dal punto m pari a $z/cos(\theta)$ dove $\theta$ e l angolo che si forma tra l'asse e la congiungente il punto dell asta al punto m. Perciò ogni punto dM dell'asta esercita una forza pari a
$F = G (m dM)/(r^2) $
sostituisci a dM e r i valori trovati, poi esprimi dy in funzione di $d\theta$ e infine integri rispetto all'angolo, considerando come estremi di integrazione l'angolo minimo e l angolo massimo, che puoi ottenere con un po di trigonometria!
Prova e fammi sapere!
non so se ho capito il problema, ma z rappresenta la distanza tra il punto materiale ed il punto "più vicino" dell'asta, per cui se l'asse è quello lungo la "lunghezza" la distanza tra i due centri di massa è $l/2+z$, altrimenti, se si tratta di un asse trasversale, la distanza tra i due centri di massa è $z$.
in ciascuno dei due casi basta applicare la formula: $F=G*(m*M)/(d^2)$, con $d=l/2+z$ oppure con $d=z$.
troppo facile?
in ciascuno dei due casi basta applicare la formula: $F=G*(m*M)/(d^2)$, con $d=l/2+z$ oppure con $d=z$.
troppo facile?
anche io ho difficoltà ad inquadrare il problema, non credo comunque sia come dici tu adaBTTLS...anche perchè il risultato non torna...ora stavo provando a fare come diceva michele...
IO però avevo impostato il problema diversamente...il problema io le vedevo così, faccio un esempio materiale per capirci: l asta è una matita e l asse è la mina...mentre cercando di interpretare quello che dice michele, per lui l asse è la perpendicolare alla mina nel punto di mezzo...giusto?
IO però avevo impostato il problema diversamente...il problema io le vedevo così, faccio un esempio materiale per capirci: l asta è una matita e l asse è la mina...mentre cercando di interpretare quello che dice michele, per lui l asse è la perpendicolare alla mina nel punto di mezzo...giusto?
Si giusto, io come asse avevo capito quello, in genere è quello che si intende per asse... poi nn so... cmq se fosse quello che dici tu puoi applicare lo stesso ragionamento, devi solo modificare un po la geometria...
Nel caso invece sia come dico io, ho provato a fare i conti e alla fine mi viene:
$ F = G (Mm)/(zL) * arctg(L/(2z))$
ma ovviamente potrei aver fatto qualche errore di calcolo eh!
Nel caso invece sia come dico io, ho provato a fare i conti e alla fine mi viene:
$ F = G (Mm)/(zL) * arctg(L/(2z))$
ma ovviamente potrei aver fatto qualche errore di calcolo eh!
no, il risultato non è corretto!!!puoi provare ad impostarlo come avevo pensato io?stavo comunque seguendo il tuo procedimento, ti farò sapere...
Per curiosità, che risultato ti da il libro?
Non ho capito una cosa, impostandolo come dici tu, e sempre continuando l'esempiuo della matita, m dovrebbe stare dentro la matita o fuori, lungo la retta che prolunga la mina?
Non ho capito una cosa, impostandolo come dici tu, e sempre continuando l'esempiuo della matita, m dovrebbe stare dentro la matita o fuori, lungo la retta che prolunga la mina?
penso lungo la retta che prolunga l asse...
il risultato è questo $F = (G * M * m )/((z)(z^2 + (l/2)^2)^(1/2) $
il risultato è questo $F = (G * M * m )/((z)(z^2 + (l/2)^2)^(1/2) $
mmm ho provato a impostarlo come dici tu, ma il risultato mi viene cmq diverso...
credo che l impostazione sia come dicevi tu...
come calcolo l integrale di $ (z^2 + x^2)^(-3/2) $ in dx?
come calcolo l integrale di $ (z^2 + x^2)^(-3/2) $ in dx?
il risultato del libro darebbe $r$ o $d$ come media geometrica, nel caso di asse trasversale, tra la distanza minima (distanza dal centro di massa dell'asta, $z$) e la distanza massima (distanza da un estremo come ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti $l/2$ e $z$).
se è ragionevole, vuol dire che l'asse va considerato trasversale.
ma si parla di asta omogenea e di punto materiale, dunque si vuole invocare una certa simmetria del problema (almeno nel caso di asse trasversale!).
come viene il risultato di Michele88 ? come imposteresti tu, benno8911, il problema?
se è ragionevole, vuol dire che l'asse va considerato trasversale.
ma si parla di asta omogenea e di punto materiale, dunque si vuole invocare una certa simmetria del problema (almeno nel caso di asse trasversale!).
come viene il risultato di Michele88 ? come imposteresti tu, benno8911, il problema?
l impostazione è come dice michele...con asse perpendicolare alla lunghezza della matita diciamo...solo che mi sono bloccato su quell integrale...risolto quello dovrebbe uscire...
Mmm l'integrale non è proprio immediato... come ci sei arrivato?
il solo pensiero di aver sprecato un intero pomeriggio con un problema sbagliato ad impostare mi fa venire la rabbia..era più semplice del previsto, ma da quando l asse di un asta è quella, era meglio se il problema la specificasse...
comunque la risoluzione è così...si imposta come dice michele solo che invece di considerare la variazione dell angolo si considera la variazione di distanza del punto dall asse...
posta z la distanza del punto dall asta, x la distanza del punto materiale dell asta dall asse e d l ipotenusa del triangolo formato da x e z abbiamo che la massa del punto materiale è
$dm=m/l$
$z=dcos(alfa)$ e perciò $cos(alfa)=z/d$
$F=(Gmdm)*z/(d^2*d)$
$d^2=z^2+x^2$
$d=(z^2+x^2)^(1/2)$
e integrando da 0 a l/2 e raddoppiando si ottiene il risultato...
spero di non aver commesso errori di battitura
comunque la risoluzione è così...si imposta come dice michele solo che invece di considerare la variazione dell angolo si considera la variazione di distanza del punto dall asse...
posta z la distanza del punto dall asta, x la distanza del punto materiale dell asta dall asse e d l ipotenusa del triangolo formato da x e z abbiamo che la massa del punto materiale è
$dm=m/l$
$z=dcos(alfa)$ e perciò $cos(alfa)=z/d$
$F=(Gmdm)*z/(d^2*d)$
$d^2=z^2+x^2$
$d=(z^2+x^2)^(1/2)$
e integrando da 0 a l/2 e raddoppiando si ottiene il risultato...
spero di non aver commesso errori di battitura
per curiosità, io l integrale l ho trovato già risolto...sapete dirmi come si procede per calcolarlo?
ah giusto! mi ero dimenticato di moltiplicare per il cos del angolo per avere la componente parallela all'asta
Per quanto riguarda l'integrale, credo di averlo risolto, ho fatto due sostituzioni, prima $ t=x^2$ e poi $y=sqrt(z^2 + t)$
Per quanto riguarda l'integrale, credo di averlo risolto, ho fatto due sostituzioni, prima $ t=x^2$ e poi $y=sqrt(z^2 + t)$
grazie a tutti comunque...colgo l occasione per proporre anche questo problema:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 45329.html
il 16 ho l esame di fisica...grrrr
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... 45329.html
il 16 ho l esame di fisica...grrrr
Mmm no come nn detto, l'integrale è più difficile del previsto..
sono un attimo in pausa xd
tra poco lo riprovo...la tua idea mi sembrava buona...credo si faccia con sostituzione comunque
tra poco lo riprovo...la tua idea mi sembrava buona...credo si faccia con sostituzione comunque
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