Problema su conduttori sferici concentrici

[Leo9309]

Ciao a tutti
ho un problema di Fisica 2, il 4.11 del mazzoldi (elettromagnetismo e onde), di cui non capisco alcuni punti.
Il testo è il seguente:

Tre conduttori, C1, C2, C3, sferici, cavi ,concentrici, molto sottili, hanno rispettivamente raggi R1. R2, R3.
Una carica positiva q1 viene trasferita a C1, una carica negativa (diversa da q1) a C2 e una positiva (diversa da q1 e q2) a C3.

Calcolare il potenziale V3 - V1 tra i conduttori C3 e C1.

Io ho ipotizzato di calcolare il potenziale su C3 come
\( V= q/(4Pi\varepsilon R) \)
e ovviamente nello stesso modo quello su C1.
Il libro però fornisce il seguente risultato:
\( V_3-V_1= (V_3-V_2)+(V_2-V_1)=
[(q_1+q_2)[(1/R_3)-(1/R_2)]]/(4\Pi \varepsilon_0) + [q_1[(1/R_2-1/R_1)]]/(4\Pi\varepsilon_0) \)

Al che la mia domanda è
Qual'è il ragionamento logico da seguire ? che senso ha darmi la carica q3 se poi nel calcolo del potenziale non appare?

Grazie in anticipo dell'aiuto!

[RenzoDF]

"Leo9309":... Io ho ipotizzato di calcolare il potenziale su C3 come
\( V= q/(4Pi\varepsilon R) \)

Ok, se usi la corretta carica q, quale?

"Leo9309":... e ovviamente nello stesso modo quello su C1.

No, qui sbagli, quella relazione ti permette di calcolare il potenziale di un punto P sulla superficie sferica, assunto nullo quello all'infinito, solo se il campo lungo il percorso da P all'infinito fosse esclusivamente quello prodotto dalla carica sul conduttore C1; in questo caso invece, partendo dalla sfera interna, questo sarà vero solo nella prima intercapedine, mentre cambierà nella seconda (fra C2 e C3) e ancora nella terza parte, esterna a C3.

"Leo9309":... Il libro però fornisce il seguente risultato: ...Al che la mia domanda è
Qual'è il ragionamento logico da seguire ? che senso ha darmi la carica q3 se poi nel calcolo del potenziale non appare?

Vista la richiesta del testo,

Calcolare il potenziale V3 - V1 tra i conduttori C3 e C1.

Lo stesore, che avrebbe dovuto scrivere "Calcolare la differenza di potenziale" e non "il potenziale V3-V1" [nota]E forse l'ha pure scritto.[/nota], probabilmente sottintendeva una soluzione che andava proprio a fare la differenza fra i due potenziali V3 e V1 e quindi la carica q3 ti sarebbe servita, anche se poi non sarebbe comparsa nella relazione finale.

Ad ogni modo, varie possono essere le soluzioni, se per esempio ti "accontenti" della differenza di potenziale e conosci la capacità di un condensatore sferico e noti che in questo caso ce ne sono due in serie, note le cariche sugli stessi, potrai ricavarti la differenza di potenziale su ognuno e poi sommarle algebricamente.

[Leo9309]

Ok penso proverò a ricavarmi tramite la capacità dei condensatori sferici, la differenza di potenziale.
Il fatto che non ci sia un modo univoco per risolverlo mi consola in quanto non riesco proprio a capire quale ragionamento fa il libro. Quello di ricavarsi le capacità dei condensatori in serie mi sembra più logico, grazie mille!

[RenzoDF]

"Leo9309":... non riesco proprio a capire quale ragionamento fa il libro.

Direi che potrebbe integrare il campo elettrico a partire da infinito per arrivare a C1, spezzando detto integrale in tre parti, una per l'intervallo $(\infty, R_3)$, una per $(R_3,R_2)$ e una per $(R_2,R_1)$.