Problema su Archimede
Due sfere di legno di uguale diametro sono fissate l'una all'altra e galleggiano sull'acqua.La densita' del legno costituente la sfera inferiore ,$(s_1)$che è totalmente immersa e' di 0.90g/cm^3 :la densita' del legno costituente la sfera superiore$(s_2)$,che e' solo parzialmente immersa e' di 0.40 g/cm^3.Calcola ,per la sfera superiore il rapporto fra volume immerso e quello totale.
ditemi se va bene
Fg= Fb
$ (m_1 +m_2)*g=\rho*V_(acqua)*g
$(\rho_s_1 + \rho_s_2 )*V_s= \rho_(acqua) *\V_(acqua)$
$(\rho_s_1 + \rho_s_2 )/(\rho_(acqua))=\rho_(acqua)/V_s$
$(Vs-V_(acqua))/V_s= 1-(\rho_s_1 + \rho_s_2 )/(\rho_(acqua))$
cosi' DOVREI aver calcolata la parte non immersa del corpo costituito dalle due sfete unite.Ora devo fare per la sfera sup il rapporto
volume immerso/ volume non immerso
il volume immerso lo calcolo sottraendo a 4/3*r^3 ,il valore che mi viene da sopra
ditemi se va bene
Fg= Fb
$ (m_1 +m_2)*g=\rho*V_(acqua)*g
$(\rho_s_1 + \rho_s_2 )*V_s= \rho_(acqua) *\V_(acqua)$
$(\rho_s_1 + \rho_s_2 )/(\rho_(acqua))=\rho_(acqua)/V_s$
$(Vs-V_(acqua))/V_s= 1-(\rho_s_1 + \rho_s_2 )/(\rho_(acqua))$
cosi' DOVREI aver calcolata la parte non immersa del corpo costituito dalle due sfete unite.Ora devo fare per la sfera sup il rapporto
volume immerso/ volume non immerso
il volume immerso lo calcolo sottraendo a 4/3*r^3 ,il valore che mi viene da sopra
Risposte
Indica con $ V = V_1 = V_2 $ il volume di una sola sfera ( le due sfere hanno stesso volume, giusto? ) .
LA sfera 1 , totalmente immersa , ha massa : $ m_1 = \rho_1*V$ . La sfera 2 , parzialmene immersa , ha massa : $ m_2 = \rho_2*V $.
Prese insieme , le sfere hanno massa totale somma delle due , quindi peso totale : $ P = p_1 + p_2 = g*(m_1 + m_2 ) = g*V*(\rho_1 + rho_2 ) $ .
La sfera 1 è totalmente immersa , quindi sposta un volume d'acqua uguale al suo volume . La sfera 2 è parzialmente immersa , quindi il volume d'acqua che sposta sarà : $ V _i < V $ . Tutto il volume d'acqua spostato è dunque la somma : $ V + V_i $ . Chiaro fin qui ?
La spinta è data dal volume totale spostato per il peso specifico dell'acqua , cioè : $ S = ( V+V_i) *\rho_w *g $ . ( w = water)
Uguaglia ora peso e spinta : $g*V*(\rho_1 + rho_2 ) = ( V+V_i) *\rho_w *g $ , semplifica g , e fai i passaggi algebrici necessari . Dovresti arrivare a :
$ V_i/V = ((\rho_1 + rho_2 )/ rho_w ) -1 $
Questa è la soluzione analitica . Poi metti i numeri . La densità dell'acqua dolce è $ 1 g / (cm^3) $ , mi sembra che il problema non te la dia . ( L'acqua di mare ha densità maggiore, ma lasciamo stare ) . Dovresti trovare 0,3 .
Lascia stare la formuletta del volume della sfera , non conosci il raggio .
Faccio più fatica a scrivere le formule qui che a fare l'esercizio ...
LA sfera 1 , totalmente immersa , ha massa : $ m_1 = \rho_1*V$ . La sfera 2 , parzialmene immersa , ha massa : $ m_2 = \rho_2*V $.
Prese insieme , le sfere hanno massa totale somma delle due , quindi peso totale : $ P = p_1 + p_2 = g*(m_1 + m_2 ) = g*V*(\rho_1 + rho_2 ) $ .
La sfera 1 è totalmente immersa , quindi sposta un volume d'acqua uguale al suo volume . La sfera 2 è parzialmente immersa , quindi il volume d'acqua che sposta sarà : $ V _i < V $ . Tutto il volume d'acqua spostato è dunque la somma : $ V + V_i $ . Chiaro fin qui ?
La spinta è data dal volume totale spostato per il peso specifico dell'acqua , cioè : $ S = ( V+V_i) *\rho_w *g $ . ( w = water)
Uguaglia ora peso e spinta : $g*V*(\rho_1 + rho_2 ) = ( V+V_i) *\rho_w *g $ , semplifica g , e fai i passaggi algebrici necessari . Dovresti arrivare a :
$ V_i/V = ((\rho_1 + rho_2 )/ rho_w ) -1 $
Questa è la soluzione analitica . Poi metti i numeri . La densità dell'acqua dolce è $ 1 g / (cm^3) $ , mi sembra che il problema non te la dia . ( L'acqua di mare ha densità maggiore, ma lasciamo stare ) . Dovresti trovare 0,3 .
Lascia stare la formuletta del volume della sfera , non conosci il raggio .
Faccio più fatica a scrivere le formule qui che a fare l'esercizio ...
Scusa , ho visto male i numeretti delle densità . Dovresti trovare 0,3 , non 0,2
"peppensionato45":
Indica con $ V = V_1 = V_2 $ il volume di una sola sfera ( le due sfere hanno stesso volume, giusto? ) .
LA sfera 1 , totalmente immersa , ha massa : $ m_1 = \rho_1*V$ . La sfera 2 , parzialmene immersa , ha massa : $ m_2 = \rho_2*V $.
Prese insieme , le sfere hanno massa totale somma delle due , quindi peso totale : $ P = p_1 + p_2 = g*(m_1 + m_2 ) = g*V*(\rho_1 + rho_2 ) $ .
La sfera 1 è totalmente immersa , quindi sposta un volume d'acqua uguale al suo volume . La sfera 2 è parzialmente immersa , quindi il volume d'acqua che sposta sarà : $ V _i < V $ . Tutto il volume d'acqua spostato è dunque la somma : $ V + V_i $ . Chiaro fin qui ?
La spinta è data dal volume totale spostato per il peso specifico dell'acqua , cioè : $ S = ( V+V_i) *\rho_w *g $ . ( w = water)
Uguaglia ora peso e spinta : $g*V*(\rho_1 + rho_2 ) = ( V+V_i) *\rho_w *g $ , semplifica g , e fai i passaggi algebrici necessari . Dovresti arrivare a :
$ V_i/V = ((\rho_1 + rho_2 )/ rho_w ) -1 $
Questa è la soluzione analitica . Poi metti i numeri . La densità dell'acqua dolce è $ 1 g / (cm^3) $ , mi sembra che il problema non te la dia . ( L'acqua di mare ha densità maggiore, ma lasciamo stare ) . Dovresti trovare 0,2 .
Lascia stare la formuletta del volume della sfera , non conosci il raggio .
Faccio più fatica a scrivere le formule qui che a fare l'esercizio ...
l'hai svolto un po' in modo diverso ma mi sembra che la formula finale sia uguale alla mia...mi sbaglio?
Nella tua c'è qualche errore , guarda la terza riga .... Rifatti il procedimento , comunque , e scusami ancora per la svista finale ...
"peppensionato45":
Nella tua c'è qualche errore , guarda la seconda riga .... Rifatti il procedimento , comunque , e scusami ancora per la svista finale ...
non riesco a capire dov'e' l'errore
ciao fedeee,
scusami per prima , ma mi è saltato internet e ho dovuto staccare .
Rivedendo l'esercizio , ho notato qualcosa che non va nei numeri che hai dato . Hai scritto prima che le due sfere galleggiano , e poi che la prima è completamente immersa. Già qui c'è qualcosa di inesatto , perchè se una sfera è immersa , non può galleggiare! comunque sorvoliamo. Preciso subito che l'esercizio analiticamente è corretto , ma ecco che cosa non va :
Per la prima sfera ( che è immersa) hai dato una densità di 0,9 g/cm^3 . Sei sicuro/a di questo valore ? Un corpo che è immerso completamente non può avere una densità inferiore a quella dell'acqua ( posto che questa sia uguale a 1 g/cm^3) .
Se la densità di un corpo completamente immerso è inferiore a quella del liquido , il corpo viene a galla , ed emerge di quel tanto che basta , affinchè il volume immerso residuo ( inferiore quindi al volume totale del corpo) sposti il quantitativo di liquido che dà la spinta idrostatica uguale al peso del corpo . Se invece la densità del corpo immerso è superiore a quella del liquido il corpo va a fondo . Se le densità sono uguali , il corpo rimane in equilibrio sott'acqua.
Ti senti confuso ? Ti faccio degli esempi . Pensa al ghiaccio , che ha una densità media di circa 0,9 g/cm^3 , cioè inferiore a quella dell'acqua liquida . Gli iceberg galleggiano , no? E galleggiano proprio perchè la densità (supposta costante in tutta la massa) è inferiore a quella dell'acqua ! Mediamente , un iceberg ha circa il 90% del suo volume sott'acqua , e il 10% fuori. Non voglio darti altre formule , ma è facile calcolare il volume emerso in rapporto al volume totale , conoscendo le densità medie del corpo e dell'acqua. Potresti impostare tu stesso una piccola equazione..
Pensa ora a un sommergibile , o a un pesce : esso rimane sott'acqua ( non considerare che si muove , pensa all'equilibrio verticale) , perchè ? Perchè la sua densità media (massa/volume) è uguale a quella dell'acqua . Se il sommergibile deve emergere , deve scaricare peso che ha a bordo ( è la cosidetta " acqua di zavorra" che ha in apposite casse) , e così diventa "meno denso" del mare . Il lsommergibile dunque emerge e va in galleggiamento, finchè il volume immerso è diminuito a sufficienza , e il volume immerso residuo è quello che , moltiplicato per il peso specifico dell'acqua , dà la spinta archimedea che equilibria il peso totale.
Parlane col tuo professore , se te la senti . Magari fai anche un figurone!
scusami per prima , ma mi è saltato internet e ho dovuto staccare .
Rivedendo l'esercizio , ho notato qualcosa che non va nei numeri che hai dato . Hai scritto prima che le due sfere galleggiano , e poi che la prima è completamente immersa. Già qui c'è qualcosa di inesatto , perchè se una sfera è immersa , non può galleggiare! comunque sorvoliamo. Preciso subito che l'esercizio analiticamente è corretto , ma ecco che cosa non va :
Per la prima sfera ( che è immersa) hai dato una densità di 0,9 g/cm^3 . Sei sicuro/a di questo valore ? Un corpo che è immerso completamente non può avere una densità inferiore a quella dell'acqua ( posto che questa sia uguale a 1 g/cm^3) .
Se la densità di un corpo completamente immerso è inferiore a quella del liquido , il corpo viene a galla , ed emerge di quel tanto che basta , affinchè il volume immerso residuo ( inferiore quindi al volume totale del corpo) sposti il quantitativo di liquido che dà la spinta idrostatica uguale al peso del corpo . Se invece la densità del corpo immerso è superiore a quella del liquido il corpo va a fondo . Se le densità sono uguali , il corpo rimane in equilibrio sott'acqua.
Ti senti confuso ? Ti faccio degli esempi . Pensa al ghiaccio , che ha una densità media di circa 0,9 g/cm^3 , cioè inferiore a quella dell'acqua liquida . Gli iceberg galleggiano , no? E galleggiano proprio perchè la densità (supposta costante in tutta la massa) è inferiore a quella dell'acqua ! Mediamente , un iceberg ha circa il 90% del suo volume sott'acqua , e il 10% fuori. Non voglio darti altre formule , ma è facile calcolare il volume emerso in rapporto al volume totale , conoscendo le densità medie del corpo e dell'acqua. Potresti impostare tu stesso una piccola equazione..
Pensa ora a un sommergibile , o a un pesce : esso rimane sott'acqua ( non considerare che si muove , pensa all'equilibrio verticale) , perchè ? Perchè la sua densità media (massa/volume) è uguale a quella dell'acqua . Se il sommergibile deve emergere , deve scaricare peso che ha a bordo ( è la cosidetta " acqua di zavorra" che ha in apposite casse) , e così diventa "meno denso" del mare . Il lsommergibile dunque emerge e va in galleggiamento, finchè il volume immerso è diminuito a sufficienza , e il volume immerso residuo è quello che , moltiplicato per il peso specifico dell'acqua , dà la spinta archimedea che equilibria il peso totale.
Parlane col tuo professore , se te la senti . Magari fai anche un figurone!
"peppensionato45":
ciao fedeee,
scusami per prima , ma mi è saltato internet e ho dovuto staccare .
Rivedendo l'esercizio , ho notato qualcosa che non va nei numeri che hai dato . Hai scritto prima che le due sfere galleggiano , e poi che la prima è completamente immersa. Già qui c'è qualcosa di inesatto , perchè se una sfera è immersa , non può galleggiare! comunque sorvoliamo. Preciso subito che l'esercizio analiticamente è corretto , ma ecco che cosa non va :
Per la prima sfera ( che è immersa) hai dato una densità di 0,9 g/cm^3 . Sei sicuro/a di questo valore ? Un corpo che è immerso completamente non può avere una densità inferiore a quella dell'acqua ( posto che questa sia uguale a 1 g/cm^3) .
Se la densità di un corpo completamente immerso è inferiore a quella del liquido , il corpo viene a galla , ed emerge di quel tanto che basta , affinchè il volume immerso residuo ( inferiore quindi al volume totale del corpo) sposti il quantitativo di liquido che dà la spinta idrostatica uguale al peso del corpo . Se invece la densità del corpo immerso è superiore a quella del liquido il corpo va a fondo . Se le densità sono uguali , il corpo rimane in equilibrio sott'acqua.
Ti senti confuso ? Ti faccio degli esempi . Pensa al ghiaccio , che ha una densità media di circa 0,9 g/cm^3 , cioè inferiore a quella dell'acqua liquida . Gli iceberg galleggiano , no? E galleggiano proprio perchè la densità (supposta costante in tutta la massa) è inferiore a quella dell'acqua ! Mediamente , un iceberg ha circa il 90% del suo volume sott'acqua , e il 10% fuori. Non voglio darti altre formule , ma è facile calcolare il volume emerso in rapporto al volume totale , conoscendo le densità medie del corpo e dell'acqua. Potresti impostare tu stesso una piccola equazione..
Pensa ora a un sommergibile , o a un pesce : esso rimane sott'acqua ( non considerare che si muove , pensa all'equilibrio verticale) , perchè ? Perchè la sua densità media (massa/volume) è uguale a quella dell'acqua . Se il sommergibile deve emergere , deve scaricare peso che ha a bordo ( è la cosidetta " acqua di zavorra" che ha in apposite casse) , e così diventa "meno denso" del mare . Il lsommergibile dunque emerge e va in galleggiamento, finchè il volume immerso è diminuito a sufficienza , e il volume immerso residuo è quello che , moltiplicato per il peso specifico dell'acqua , dà la spinta archimedea che equilibria il peso totale.
Parlane col tuo professore , se te la senti . Magari fai anche un figurone!
non ho letto tutto quello che hai scritto xk stavo per andare pero' forse non ho spiegato bene il disegno:
ci sn due sfere una sopra l'altra e unite in un punto.PERCIO ' parla di sfera superiore e sfera inferiore.Quella inferiore e'completamente immersa e quella superiore fuoriesce un po' dall'acqua capito???.se no posto il disegno
fedee
sono di nuovo io , scusami . Ti sto confondendo le idee , però non avevo fatto caso che hai detto che le sfere sono rigidamente connesse tra loro ( è così , vero? ) .
In questo caso , l 'esercizio va bene anche come dati delle due densità . Infatti l'insieme si comporta come un corpo unico e la sua densità media è il valore medio delle due densità , pari a 0,65 g/cm^3 . Quindi va bene, anche come valori numerici .
Non tener conto della osservazione sul valore della densità della sfera immersa.
Comunque , tutto ciò che ti ho raccontato sui corpi galleggianti o immersi rimane valido . Cioè, è vero che un corpo avente densità maggiore dell'acqua va fondo , ecc ecc
Scusami ancora,sono imperdonabile .
sono di nuovo io , scusami . Ti sto confondendo le idee , però non avevo fatto caso che hai detto che le sfere sono rigidamente connesse tra loro ( è così , vero? ) .
In questo caso , l 'esercizio va bene anche come dati delle due densità . Infatti l'insieme si comporta come un corpo unico e la sua densità media è il valore medio delle due densità , pari a 0,65 g/cm^3 . Quindi va bene, anche come valori numerici .
Non tener conto della osservazione sul valore della densità della sfera immersa.
Comunque , tutto ciò che ti ho raccontato sui corpi galleggianti o immersi rimane valido . Cioè, è vero che un corpo avente densità maggiore dell'acqua va fondo , ecc ecc
Scusami ancora,sono imperdonabile .
"peppensionato45":
fedee
sono di nuovo io , scusami . Ti sto confondendo le idee , però non avevo fatto caso che hai detto che le sfere sono rigidamente connesse tra loro ( è così , vero? ) .
In questo caso , l 'esercizio va bene anche come dati delle due densità . Infatti l'insieme si comporta come un corpo unico e la sua densità media è il valore medio delle due densità , pari a 0,65 g/cm^3 . Quindi va bene, anche come valori numerici .
Non tener conto della osservazione sul valore della densità della sfera immersa.
Comunque , tutto ciò che ti ho raccontato sui corpi galleggianti o immersi rimane valido . Cioè, è vero che un corpo avente densità maggiore dell'acqua va fondo , ecc ecc
Scusami ancora,sono imperdonabile .
no non ti preoccupare..vorrei solo capire se almeno fino a un certo punto il mio procedimento va bene perchè ci viene la stessa formula..alla fine come hai detto non ho il raggio della sfera e quiindi si dovrebbe fare in modo diverso
Fedeee ( quante e .. ) ,
ho rivisto con più calma i tuoi passaggi . Io non so ancora "riportare" bene , quindi ti scrivo qui le osservazioni sui passaggi e tu vai a controllare. Nella 1° riga, la densità al secondo membro è ovviamente quella dell'acqua , ma ci manca il suffisso . Nella terza riga , al numeratore del 2° membro hai scritto $\rho_(acqua) $ , volevi scrivere $ V_(acqua) $ , vero? .
Ora , l'ultimo passaggio : poichè questo $ V_(acqua) $ è tutto il volume immerso , cioè è il volume dell'acqua spostata dal solido, esso è somma del volume $ V_s$ della sfera inferiore , e del volume parziale immerso che io ho chiamato $ V_i$ della sfera superiore .
Allora al numeratore sostituisci a $ V_(acqua) $ tale somma $ V_s + V_i$ , e così avrai :
$ (\rho_1 + \rho_2)/\rho_(acqua) = 1 + V_i/V_s $ . Porta 1 al primo membro , e hai proprio la mia formula , cioè hai proprio il rapporto cercato . Non devi fare altri calcoli , ti sembra ?
Ora però voglio farti fare un altro ragionamento , molto più elegante .
Supponi di staccare le due sfere , e di metterle in acqua dolce $ ( \rho_(acqua) = 1)$ separatamente . Esse galleggiano entrambe , la più leggera con un volume immerso pari a $ 0.4 * V_s $ , la più pesante con un volume immerso pari a $0.9*V_s$ . Quindi la più pesante ha ancora un 10% del volume fuori acqua. Questi valori dei volumi immersi è facilissimo trovarli , guarda le densità ...
Ora prendi le due sfere , e uniscile rigidamente come dice il problema , poi metti il solido unione in acqua . E' cambiato il peso totale ? Evidentemente no . Quindi neanche la massa totale , e neanche il volume totale immerso , perchè la spinta totale , somma delle due spinte separate di prima , è sempre la stessa .
Però che cosa cambia ? Cambia che la sfera inferiore ora è tutta immersa , quindi ha anche quel 10% di prima sott'acqua . Ma se il volume immerso totale non deve cambiare , vuol dire che questo 10% in più della sfera inferiore deve essere compensato da un 10% in meno della sfera superiore. PErciò il volume immerso della sfera superiore diminuisce dal 40% al 30% del totale , che è proprio quello che abbiamo calcolato prima !
E come fa a diminuire il volume immerso della sfera superiore ? E' semplice : la sfera inferiore, che da sola galleggiava , ora è tutta immersa .Vuol dire che la sfera inferiore, quando l'attacchi a quella di sopra , non la tira in basso , come sembrerebbe , ma la spinge in alto quel tanto che basta per farla uscire del 10% del volume !!
Ti piace ?
ho rivisto con più calma i tuoi passaggi . Io non so ancora "riportare" bene , quindi ti scrivo qui le osservazioni sui passaggi e tu vai a controllare. Nella 1° riga, la densità al secondo membro è ovviamente quella dell'acqua , ma ci manca il suffisso . Nella terza riga , al numeratore del 2° membro hai scritto $\rho_(acqua) $ , volevi scrivere $ V_(acqua) $ , vero? .
Ora , l'ultimo passaggio : poichè questo $ V_(acqua) $ è tutto il volume immerso , cioè è il volume dell'acqua spostata dal solido, esso è somma del volume $ V_s$ della sfera inferiore , e del volume parziale immerso che io ho chiamato $ V_i$ della sfera superiore .
Allora al numeratore sostituisci a $ V_(acqua) $ tale somma $ V_s + V_i$ , e così avrai :
$ (\rho_1 + \rho_2)/\rho_(acqua) = 1 + V_i/V_s $ . Porta 1 al primo membro , e hai proprio la mia formula , cioè hai proprio il rapporto cercato . Non devi fare altri calcoli , ti sembra ?
Ora però voglio farti fare un altro ragionamento , molto più elegante .
Supponi di staccare le due sfere , e di metterle in acqua dolce $ ( \rho_(acqua) = 1)$ separatamente . Esse galleggiano entrambe , la più leggera con un volume immerso pari a $ 0.4 * V_s $ , la più pesante con un volume immerso pari a $0.9*V_s$ . Quindi la più pesante ha ancora un 10% del volume fuori acqua. Questi valori dei volumi immersi è facilissimo trovarli , guarda le densità ...
Ora prendi le due sfere , e uniscile rigidamente come dice il problema , poi metti il solido unione in acqua . E' cambiato il peso totale ? Evidentemente no . Quindi neanche la massa totale , e neanche il volume totale immerso , perchè la spinta totale , somma delle due spinte separate di prima , è sempre la stessa .
Però che cosa cambia ? Cambia che la sfera inferiore ora è tutta immersa , quindi ha anche quel 10% di prima sott'acqua . Ma se il volume immerso totale non deve cambiare , vuol dire che questo 10% in più della sfera inferiore deve essere compensato da un 10% in meno della sfera superiore. PErciò il volume immerso della sfera superiore diminuisce dal 40% al 30% del totale , che è proprio quello che abbiamo calcolato prima !
E come fa a diminuire il volume immerso della sfera superiore ? E' semplice : la sfera inferiore, che da sola galleggiava , ora è tutta immersa .Vuol dire che la sfera inferiore, quando l'attacchi a quella di sopra , non la tira in basso , come sembrerebbe , ma la spinge in alto quel tanto che basta per farla uscire del 10% del volume !!
Ti piace ?
Tu però , Fedeee , usa solamente le formule ! Questo ragionamento ti potrebbe incasinare le idee .... MA se te la senti , puoi esporlo al prof o non so a chi ...
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