Problema SNS 2015/2016 quarto anno fisica?
Salve ragazzi questo è il problema :
I primi due punti sono banali in quanto basta conoscere la definizione di orbita stazionaria, mentre il terzo punto faccio difficoltà. Ovviamente bisogna tenere conto della forza centrifuga e della forza peso ricordando che $ g $ diminuirà man mano che la corda sale. Qualche consiglio?
I primi due punti sono banali in quanto basta conoscere la definizione di orbita stazionaria, mentre il terzo punto faccio difficoltà. Ovviamente bisogna tenere conto della forza centrifuga e della forza peso ricordando che $ g $ diminuirà man mano che la corda sale. Qualche consiglio?
Risposte
Se ti stai riferendo al calcolo di $[T/(Mg)]$, essendo $T$ la tensione necessaria per mantenere, mediante una fune, il satellite su un'orbita geostazionaria a una distanza maggiore di quella "naturale", intanto:
$[g=(GM_T)/R_T^2] ^^ [(GM_T)/R_(gs)^2=\omega_(gs)^(2)R_(gs)] rarr [\omega_(gs)^(2)=(gR_T^2)/R_(gs)^3]$
Quindi:
$[(GM_TM)/(121/100R_(gs)^2)+T=M\omega_(gs)^(2)11/10R_(gs)] rarr [100/121R_T^2/R_(gs)^2Mg+T=11/10R_T^2/R_(gs)^2Mg] rarr$
$rarr [T/(Mg)=331/1210R_T^2/R_(gs)^2] ^^ [R_(gs)=root(3)((gR_T^2)/\omega_(gs)^(2))]$
$[g=(GM_T)/R_T^2] ^^ [(GM_T)/R_(gs)^2=\omega_(gs)^(2)R_(gs)] rarr [\omega_(gs)^(2)=(gR_T^2)/R_(gs)^3]$
Quindi:
$[(GM_TM)/(121/100R_(gs)^2)+T=M\omega_(gs)^(2)11/10R_(gs)] rarr [100/121R_T^2/R_(gs)^2Mg+T=11/10R_T^2/R_(gs)^2Mg] rarr$
$rarr [T/(Mg)=331/1210R_T^2/R_(gs)^2] ^^ [R_(gs)=root(3)((gR_T^2)/\omega_(gs)^(2))]$
Ciao grazie mille, ho sbagliato a scrivere ciò che mi da problemi sarebbe la quarta parte,quella del filo
Prima domanda
L'attrazione gravitazionale che agisce sulla fune è data dal seguente integrale:
$[F=GM_T\rhoA\int_{R_T}^{R_T+L}1/r^2dr] rarr [F=(GM_T\rhoAL)/(R_T(R_T+L))]$
Applicando il primo teorema del centro di massa:
$[F+T(R_T)=\rhoALa_(CM)] rarr [T(R_T)=\rhoAL\omega_(gs)^2(R_T+L/2)-(GM_T\rhoAL)/(R_T(R_T+L))]$
essendo $T(R_T)$ la tensione della fune nel capo a terra mentre, nel capo libero, $T(R_T+L)=0$. Affinché la fune sia tesa:
$[T(R_T)gt=0] rarr [\rhoAL\omega_(gs)^2(R_T+L/2)-(GM_T\rhoAL)/(R_T(R_T+L))gt=0]$
Dopo alcune manipolazioni:
$[L^2+3R_TL+2(R_T^2-R_(gs)^3/R_T)gt=0]$
la cui equazione associata ammette una soluzione positiva maggiore di $R_(gs)-R_T$. In definitiva:
$[Lgt=-3/2R_T+sqrt(R_T^2/4+(2R_(gs)^3)/R_T)] ^^ [R_(gs)=root(3)((gR_T^2)/\omega_(gs)^(2))]$
Seconda domanda
Intuitivamente, se la tensione della fune nel capo a terra è minore del valore $T(R_T)$ calcolato in precedenza, la fune tende a sfuggire, se maggiore, la fune tende ad afflosciarsi. Insomma, come si evince dall'ultima domanda, l'equilibrio dovrebbe essere instabile. Scrivo "dovrebbe" perché andrebbe argomentato più rigorosamente.
Terza domanda
La funzione $T(r)$, che esprime la dipendenza della tensione della fune dalla distanza $r$ di un suo elemento infinitesimo dal centro della terra, è soluzione della seguente equazione differenziale:
$[(dT)/(dr)=\rhoA((GM_T)/r^2-\omega_(gs)^2r)] rarr [(dT)/(dr)=\rhoA\omega_(gs)^2r(R_(gs)^3/r^3-1)] ^^ [R_Tlt=rlt=R_T+L]$
Insomma, la tensione della fune prima aumenta e poi diminuisce fino ad annullarsi nel capo libero. Inoltre, come da intuito, essa assume valore massimo proprio per $r=R_(gs)$.
Quarta domanda
Credo che si debba semplicemente calcolare il peso della fune sulla terra. Tuttavia, per non lasciare spazio ad altre interpretazioni, avrebbe dovuto scrivere "dovrebbe" al posto di "potrebbe" ed evitare di utilizzare "con".
L'attrazione gravitazionale che agisce sulla fune è data dal seguente integrale:
$[F=GM_T\rhoA\int_{R_T}^{R_T+L}1/r^2dr] rarr [F=(GM_T\rhoAL)/(R_T(R_T+L))]$
Applicando il primo teorema del centro di massa:
$[F+T(R_T)=\rhoALa_(CM)] rarr [T(R_T)=\rhoAL\omega_(gs)^2(R_T+L/2)-(GM_T\rhoAL)/(R_T(R_T+L))]$
essendo $T(R_T)$ la tensione della fune nel capo a terra mentre, nel capo libero, $T(R_T+L)=0$. Affinché la fune sia tesa:
$[T(R_T)gt=0] rarr [\rhoAL\omega_(gs)^2(R_T+L/2)-(GM_T\rhoAL)/(R_T(R_T+L))gt=0]$
Dopo alcune manipolazioni:
$[L^2+3R_TL+2(R_T^2-R_(gs)^3/R_T)gt=0]$
la cui equazione associata ammette una soluzione positiva maggiore di $R_(gs)-R_T$. In definitiva:
$[Lgt=-3/2R_T+sqrt(R_T^2/4+(2R_(gs)^3)/R_T)] ^^ [R_(gs)=root(3)((gR_T^2)/\omega_(gs)^(2))]$
Seconda domanda
Intuitivamente, se la tensione della fune nel capo a terra è minore del valore $T(R_T)$ calcolato in precedenza, la fune tende a sfuggire, se maggiore, la fune tende ad afflosciarsi. Insomma, come si evince dall'ultima domanda, l'equilibrio dovrebbe essere instabile. Scrivo "dovrebbe" perché andrebbe argomentato più rigorosamente.
Terza domanda
La funzione $T(r)$, che esprime la dipendenza della tensione della fune dalla distanza $r$ di un suo elemento infinitesimo dal centro della terra, è soluzione della seguente equazione differenziale:
$[(dT)/(dr)=\rhoA((GM_T)/r^2-\omega_(gs)^2r)] rarr [(dT)/(dr)=\rhoA\omega_(gs)^2r(R_(gs)^3/r^3-1)] ^^ [R_Tlt=rlt=R_T+L]$
Insomma, la tensione della fune prima aumenta e poi diminuisce fino ad annullarsi nel capo libero. Inoltre, come da intuito, essa assume valore massimo proprio per $r=R_(gs)$.
Quarta domanda
Credo che si debba semplicemente calcolare il peso della fune sulla terra. Tuttavia, per non lasciare spazio ad altre interpretazioni, avrebbe dovuto scrivere "dovrebbe" al posto di "potrebbe" ed evitare di utilizzare "con".
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