Problema sistemi di riferimento
Buongiorno a tutti. Mi sono imbattuto in un esercizio relativo ai sistemi di riferimento.
" un punto P si muove lungo una parabola $ y=bx^2 $ con velocità $ x(t)=at $.
un corpo di massa m (puntiforme) è vincolato a muoversi lungo un traiettoria circolare avente come centro il punto P , raggio R e come equazione del moto $ theta(t)$$= e^(kt) $ dove $theta$ è l'angolo che il raggio vettore forma con l'asse x del s.r.relativo.
Determinare velocità, accelerazioni assolute, relative e di trascinamento considerando il sistema di riferimento solidale al punto P e con assi paralleli agli assi cartesiani come sistema di riferimento relativo e il sistema di assi cartesiani della parabola sistema assoluto. determinare inoltre l'equazione della dinamica del corpo m relativamente al sistema di riferimento relativo.
Vi spiego cosa ho fatto io... vi prego di aiutarmi e correggermi.
siccome la parabola ha equazione $ y=bx^2 $ ho sostituito la velocità della componente x del punto P all'interno dell'equazione della parabola e mi sono trovata la componente verticale della velocità del punto P. e questa l'ho considerata velocità di trascinamento. poi ho preso l'equazione del moto della massa m. ho derivato una volta per trovare la v angolare, due volte per l'accelerazione e poi con la velocità angolare scalarmente moltiplicata per il raggio mi sono trovata la v tangenziale alla circonferenza. una volta fatto questo ho proiettato la v del corpo m sugli assi del sistema di riferimento relativo ( sin(teta) e cos(teta) e quella l'ho considerata la v relativa. sommato vrelativa e vtrascinamento ho ottenuto la v assoluta.
Stesso procedimento ho usato per la determinazione della accelerazione. ho derivato la velocità relativa e mi sono trovata la acc del polo del sistema di riferimento relativo. poi per il punto m ho determinato la accelerazione tangenziale e normale e le ho proiettate sugli assi del s.r. relativo sempre in funzione del sin(teta) e cos(teta) e quella l'ho considerata acc relativa. Siccome non c'era w trascinamento perchè il moto era traslatorio ho sommato le due acc trovate prima e mi sono ritrovata la accelerazione assoluta.
per quel che riguarda la eq differenziale...
ho preso le accelerazioni
$m*a_("trasc")+m*a_("relativa")+ m*a_("coriolis")= f + r$
siccome il piano era orizzontale e i vincoli tutti lisci f l'ho messa nulla e ho scritto $M*a_("relativa")= r - M*a_("trasc")$
ho proiettato l'accelerazione di trascinamento nelle componenti tangenziali e normali dell'accelerazione del corpo m e ho scritto che siccome la r bilancaiva le accelerazioni normali consideravo solo le componenti tangenziali dell'accelerazione ed eliminavo la r del vincolo della circonferenza....
Che ne pensate?
Grazie a tutti.
" un punto P si muove lungo una parabola $ y=bx^2 $ con velocità $ x(t)=at $.
un corpo di massa m (puntiforme) è vincolato a muoversi lungo un traiettoria circolare avente come centro il punto P , raggio R e come equazione del moto $ theta(t)$$= e^(kt) $ dove $theta$ è l'angolo che il raggio vettore forma con l'asse x del s.r.relativo.
Determinare velocità, accelerazioni assolute, relative e di trascinamento considerando il sistema di riferimento solidale al punto P e con assi paralleli agli assi cartesiani come sistema di riferimento relativo e il sistema di assi cartesiani della parabola sistema assoluto. determinare inoltre l'equazione della dinamica del corpo m relativamente al sistema di riferimento relativo.
Vi spiego cosa ho fatto io... vi prego di aiutarmi e correggermi.
siccome la parabola ha equazione $ y=bx^2 $ ho sostituito la velocità della componente x del punto P all'interno dell'equazione della parabola e mi sono trovata la componente verticale della velocità del punto P. e questa l'ho considerata velocità di trascinamento. poi ho preso l'equazione del moto della massa m. ho derivato una volta per trovare la v angolare, due volte per l'accelerazione e poi con la velocità angolare scalarmente moltiplicata per il raggio mi sono trovata la v tangenziale alla circonferenza. una volta fatto questo ho proiettato la v del corpo m sugli assi del sistema di riferimento relativo ( sin(teta) e cos(teta) e quella l'ho considerata la v relativa. sommato vrelativa e vtrascinamento ho ottenuto la v assoluta.
Stesso procedimento ho usato per la determinazione della accelerazione. ho derivato la velocità relativa e mi sono trovata la acc del polo del sistema di riferimento relativo. poi per il punto m ho determinato la accelerazione tangenziale e normale e le ho proiettate sugli assi del s.r. relativo sempre in funzione del sin(teta) e cos(teta) e quella l'ho considerata acc relativa. Siccome non c'era w trascinamento perchè il moto era traslatorio ho sommato le due acc trovate prima e mi sono ritrovata la accelerazione assoluta.
per quel che riguarda la eq differenziale...
ho preso le accelerazioni
$m*a_("trasc")+m*a_("relativa")+ m*a_("coriolis")= f + r$
siccome il piano era orizzontale e i vincoli tutti lisci f l'ho messa nulla e ho scritto $M*a_("relativa")= r - M*a_("trasc")$
ho proiettato l'accelerazione di trascinamento nelle componenti tangenziali e normali dell'accelerazione del corpo m e ho scritto che siccome la r bilancaiva le accelerazioni normali consideravo solo le componenti tangenziali dell'accelerazione ed eliminavo la r del vincolo della circonferenza....
Che ne pensate?
Grazie a tutti.
Risposte
Ciao benvenuto (o benvenuta, non ho capito una volta dici "imbattuto" e l'altra "mi sono trovata").
Il problema è simpatico perché permette di capire un po' di cose sui sistemi di riferimento e sulle forze apparenti, che è un tema sempre ricorrente qui.
Adesso non ho tempo , ma spero di fare qualche considerazione su di esso appena riesco.
Puoi intanto togliere il bold su tutto il messaggio? Non credo rispetti la netiquette un messaggio scritto tutto in grassetto. Inoltre nelle formule per scrivere teta in greco devi scrivere così: \$theta\$
e apparirà scritto $theta$..
Poi per scrivere a pedice puoi fare
\$m*a_("Coriolis")\$
che apparirà più comprensibile:
$m*a_("Coriolis")$
Basta che clicchi su Modifica accanto al tuo messaggio e puoi apportar le modifiche.
Ciao,
Il problema è simpatico perché permette di capire un po' di cose sui sistemi di riferimento e sulle forze apparenti, che è un tema sempre ricorrente qui.
Adesso non ho tempo , ma spero di fare qualche considerazione su di esso appena riesco.
Puoi intanto togliere il bold su tutto il messaggio? Non credo rispetti la netiquette un messaggio scritto tutto in grassetto. Inoltre nelle formule per scrivere teta in greco devi scrivere così: \$theta\$
e apparirà scritto $theta$..
Poi per scrivere a pedice puoi fare
\$m*a_("Coriolis")\$
che apparirà più comprensibile:
$m*a_("Coriolis")$
Basta che clicchi su Modifica accanto al tuo messaggio e puoi apportar le modifiche.
Ciao,
Adesso almeno i caratteri sono corretti 
Quando andavo a calcolarmi l'equazione differenziale mi viene con un termine in coseno... non so dirlo con esattezza ma ho come l'impressione che sia sbagliato anche se mi sembra di aver applicato la teoria correttamente.
Quando andavo a calcolarmi l'equazione differenziale mi viene con un termine in coseno... non so dirlo con esattezza ma ho come l'impressione che sia sbagliato anche se mi sembra di aver applicato la teoria correttamente.
Con tutto il rispetto dovuto, mi sembra comunque un esercizio non difficile...
Non capisco quando parli di equazione differenziale... da dove viene fuori questa eq. differenziale ???
Se scrivi le traiettorie in notazione vettoriale il tutto appare molto schematico.
Velocita' e accelerazioni si sommano e sottraggono tranquillamente come vettori, per cui passare da un sistema di rif. all'altro e' questione di due sottrazioni.
Per passare da spazio, a velocita' e quindi ad accelerazione, si deriva semplicemente.
Es. la parabola
spazio
[tex]\overrightarrow{s_{par}} = at\overrightarrow{i} + ba^2t^2\overrightarrow{j}[/tex]
velocita'
[tex]\overrightarrow{v_{par}} = a\overrightarrow{i} + 2ba^2t\overrightarrow{j}[/tex]
accelerazione
[tex]\overrightarrow{a_{par}} = 2ba^2\overrightarrow{j}[/tex]
Il corpo m nel sistema inerziale di P ha equazioni
spazio
[tex]\overrightarrow{s_{m}} = cos(e^{kt})\overrightarrow{i} + sin(e^{kt})\overrightarrow{j}[/tex]
velocita'
[tex]\overrightarrow{v_{m}} = e^{kt}(-sin(e^{kt})\overrightarrow{i} + cos(e^{kt})\overrightarrow{j}[/tex])
accelerazione
[tex]\overrightarrow{a_{m}} = e^{kt}(-(sin(e^{kt})+(e^{kt})cos(e^{kt}))\overrightarrow{i} + (cos(e^{kt})-(e^{kt})sin(e^{kt}))\overrightarrow{j}[/tex])
Non capisco quando parli di equazione differenziale... da dove viene fuori questa eq. differenziale ???
Se scrivi le traiettorie in notazione vettoriale il tutto appare molto schematico.
Velocita' e accelerazioni si sommano e sottraggono tranquillamente come vettori, per cui passare da un sistema di rif. all'altro e' questione di due sottrazioni.
Per passare da spazio, a velocita' e quindi ad accelerazione, si deriva semplicemente.
Es. la parabola
spazio
[tex]\overrightarrow{s_{par}} = at\overrightarrow{i} + ba^2t^2\overrightarrow{j}[/tex]
velocita'
[tex]\overrightarrow{v_{par}} = a\overrightarrow{i} + 2ba^2t\overrightarrow{j}[/tex]
accelerazione
[tex]\overrightarrow{a_{par}} = 2ba^2\overrightarrow{j}[/tex]
Il corpo m nel sistema inerziale di P ha equazioni
spazio
[tex]\overrightarrow{s_{m}} = cos(e^{kt})\overrightarrow{i} + sin(e^{kt})\overrightarrow{j}[/tex]
velocita'
[tex]\overrightarrow{v_{m}} = e^{kt}(-sin(e^{kt})\overrightarrow{i} + cos(e^{kt})\overrightarrow{j}[/tex])
accelerazione
[tex]\overrightarrow{a_{m}} = e^{kt}(-(sin(e^{kt})+(e^{kt})cos(e^{kt}))\overrightarrow{i} + (cos(e^{kt})-(e^{kt})sin(e^{kt}))\overrightarrow{j}[/tex])
Scusa ma per le accelerazioni nel sistema di riferimento non inerziale non devo trovarmi la a tangenziale e la a normale visto che è un moto rotatorio e la $dot("theta")$ è un vettore perpendicolare al piano xy ? sinceramente non ho ben capito...le equazioni della parabola mi tornano ma quelle sono veramente banali...
ma quelle sotto sarebbero nel sistema di rif non inerziale, giusto? poi bisognerebbe sommare alla v di trascinamento, etc..etc...
per le eq differenziali...lui mi chiede la dinamica nel sistema di rif relativo....non devo fare la solita formuletta con forze attive e vincoli e le accelerazioni di coriolis, trascinamento, relative? l'ho scritto nell'ultima parte...credevo avesse una logica
ma quelle sotto sarebbero nel sistema di rif non inerziale, giusto? poi bisognerebbe sommare alla v di trascinamento, etc..etc...
per le eq differenziali...lui mi chiede la dinamica nel sistema di rif relativo....non devo fare la solita formuletta con forze attive e vincoli e le accelerazioni di coriolis, trascinamento, relative? l'ho scritto nell'ultima parte...credevo avesse una logica
Le ultime 3 che ho scritto sono le equazioni di un punto che ruota attorno all'origine con un raggio = 1 e velocita' istantanea pari a $ e^{kt}.
Le proiezioni sugli assi x e y non sono altro che i due vettori i e j.
Per me il tuo ragionamento e' corretto, ma siccome non vedo formule complete, e' difficile avere una visione chiara di quello che hai pensato. Tutto qui.
Le proiezioni sugli assi x e y non sono altro che i due vettori i e j.
Per me il tuo ragionamento e' corretto, ma siccome non vedo formule complete, e' difficile avere una visione chiara di quello che hai pensato. Tutto qui.
Secondo me il problema è semplice, ma non banale e anzi serve a capire alcuni concetti su cui spesso si sorvola....
La domanda che fai in risposta a Quinzio è un dubbio tipico.
Piccolissima premessa sul legame generale tra accelerazioni assolute e relative.
$vec omega$ è la velocità angolare del sistema relativo, $vec(r)$ è la posizione del punto nel sistema relativo, $alpha$ è l'accelerazione angolare ($dot (vec(omega)$) (c'è un punto sopra la omega qui a sinistra che non si nota molto e che intende la derivata rispetto al tempo).
Si ha:
$vec a=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema rotante, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto l'accelerazione di Coriolis.
Qui trovi come si arriva all'equazione.
Per venire al problema specifico la velocità di trascinamento e relativa si ricava facilmente (Quinzio ha scritto i passaggi e il risultato).
Ora dato che il sistema relativo e assoluto hanno sempre gli assi paralleli, la velocità angolare del sistema relativo rispetto all'assoluto è nulla, quindi non abbiamo il secondo termine e gli ultimi due dell'equazione dell'accelerazione che ti ho scritto sopra.
Dunque per calcolare l'accelerazione assoluta della massa basta considerare l'accelerazione nel sistema relativo $vec(a_r)$ e sommarci l'accelerazione $vec(a_o)$, in pratica le accelerazioni $vec(a_m)$ e $vec(a_"par")$ rispettivamente di Quinzio.
Sottolineo che non ci sono i contributi di accelerazione centripeta e di Coriolis del sistema di riferimento relativo. Diverso sarebbe se considerassimo un sistema di riferimento che ruota con velocità angolare $dot(theta)$ (anche qui c'è un punto sopra per la derivata rispetto al tempo) in cui la massa quindi sta ferma, a quel punto avremmo dovuto sommare i contributi di Coriolis e dell'accelerazione centripeta, ma l'accelerazione relativa sarebbe stata nulla dato che in quel sistema di riferimento la massa sarebbe stata ferma.
Ovviamente si ottiene lo stesso risultato in termini di accelerazione assoluta, come puoi provare a vedere (anche se i calcoli sono un po' più complessi).
Per quanto riguarda l'ultimo punto per scrivere l'equazione della dinamica rispetto al sistema relativo, devi immaginare di essere nel sistema relativo considerato, quindi l'equazione di Netwon si scriverebbe $m vec a_r= sum vec(F)_i$ cioè la massa per l'accelerazione della massa nel sistema relativo è pari alla somma di tutte le forze applicate alla massa in quel sistema, comprese le eventuali forze apparenti.
Come detto il sistema relativo è non rotante per cui l'unica forza apparente che appare è dovuta al temine di trascinamento dovuto all'accelerazione del punto $P$ e non ci sono altre forze applicate alla massa quindi $sum vec(F)_i=-m vec(a)_"par"$. Sostituisci e hai l'equazione di Newton di $m$ nel sistema relativo.
EDIT IMPORTANTE: Le accelerazioni di trascinamento e relative calcolate da Quinzio puoi sommarle facilmente perché i versori sono gli stessi, infatti l'orientamento della terna fissa e mobile non cambia dato che $vec (omega)$ è nullo. Se invece volessi provare anche a fare il calcolo considerando la terna mobile rotante solidale a $m$ come ti dicevo, devi considerare che i versori della terna fissa e mobile non sono gli stessi (ovviamente conosci la relazione che li lega).
La domanda che fai in risposta a Quinzio è un dubbio tipico.
Piccolissima premessa sul legame generale tra accelerazioni assolute e relative.
$vec omega$ è la velocità angolare del sistema relativo, $vec(r)$ è la posizione del punto nel sistema relativo, $alpha$ è l'accelerazione angolare ($dot (vec(omega)$) (c'è un punto sopra la omega qui a sinistra che non si nota molto e che intende la derivata rispetto al tempo).
Si ha:
$vec a=vec(a_r)+vec(\alpha) \times vec(r)+vec(a_o) + vec(omega) \times (vec(omega) \times vec(r)) +2 vec(omega) \times vec(v_r)$
dove il primo addendo è la classica accelerazione relativa nel sistema rotante, il secondo e il terzo sono il contributo dell'accelerazione di trascinamento del sistema mobile (uno dovuto all'accelerazione angolare l'altro a quella dell'origine del sistema mobile), il terzo è l'accelerazione centripeta e il quarto l'accelerazione di Coriolis.
Qui trovi come si arriva all'equazione.
Per venire al problema specifico la velocità di trascinamento e relativa si ricava facilmente (Quinzio ha scritto i passaggi e il risultato).
Ora dato che il sistema relativo e assoluto hanno sempre gli assi paralleli, la velocità angolare del sistema relativo rispetto all'assoluto è nulla, quindi non abbiamo il secondo termine e gli ultimi due dell'equazione dell'accelerazione che ti ho scritto sopra.
Dunque per calcolare l'accelerazione assoluta della massa basta considerare l'accelerazione nel sistema relativo $vec(a_r)$ e sommarci l'accelerazione $vec(a_o)$, in pratica le accelerazioni $vec(a_m)$ e $vec(a_"par")$ rispettivamente di Quinzio.
Sottolineo che non ci sono i contributi di accelerazione centripeta e di Coriolis del sistema di riferimento relativo. Diverso sarebbe se considerassimo un sistema di riferimento che ruota con velocità angolare $dot(theta)$ (anche qui c'è un punto sopra per la derivata rispetto al tempo) in cui la massa quindi sta ferma, a quel punto avremmo dovuto sommare i contributi di Coriolis e dell'accelerazione centripeta, ma l'accelerazione relativa sarebbe stata nulla dato che in quel sistema di riferimento la massa sarebbe stata ferma.
Ovviamente si ottiene lo stesso risultato in termini di accelerazione assoluta, come puoi provare a vedere (anche se i calcoli sono un po' più complessi).
Per quanto riguarda l'ultimo punto per scrivere l'equazione della dinamica rispetto al sistema relativo, devi immaginare di essere nel sistema relativo considerato, quindi l'equazione di Netwon si scriverebbe $m vec a_r= sum vec(F)_i$ cioè la massa per l'accelerazione della massa nel sistema relativo è pari alla somma di tutte le forze applicate alla massa in quel sistema, comprese le eventuali forze apparenti.
Come detto il sistema relativo è non rotante per cui l'unica forza apparente che appare è dovuta al temine di trascinamento dovuto all'accelerazione del punto $P$ e non ci sono altre forze applicate alla massa quindi $sum vec(F)_i=-m vec(a)_"par"$. Sostituisci e hai l'equazione di Newton di $m$ nel sistema relativo.
EDIT IMPORTANTE: Le accelerazioni di trascinamento e relative calcolate da Quinzio puoi sommarle facilmente perché i versori sono gli stessi, infatti l'orientamento della terna fissa e mobile non cambia dato che $vec (omega)$ è nullo. Se invece volessi provare anche a fare il calcolo considerando la terna mobile rotante solidale a $m$ come ti dicevo, devi considerare che i versori della terna fissa e mobile non sono gli stessi (ovviamente conosci la relazione che li lega).
Ok...credo di aver le cose più chiare ora... in effetti non capivo perchè non ci fosse il Raggio all'interno delle formule di Quinzio sulle velocità e acc del s.r.relativo... ( devo per forza vedere tutto scritto io -.-" )
Grazie a tutti e due per aver fugato i miei dubbi!
Siete stati davvero gentili!
Grazie a tutti e due per aver fugato i miei dubbi!
Siete stati davvero gentili!
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