Problema sfera appesa a sbarra,con cilindro[1.Set09]

[pza1]

"Una sfera omogenea di raggio $R=5 cm$ e massa $M=1 Kg$ appoggiata alla superficie laterale liscia di un sottile cilindro di raggio $r=27 cm$,è appesa all'estremo di un filo lungo $l=35 cm$ il cui secondo estremo è fissato ad un'asta sottile coassiale al cilindro (Vedi Fig.1).La sfera,inizialmente in quiete,viene posta in rotazione con velocità angolare costante $w_0=1 rad/s$.Calcolare,in modulo,(a) la tensione T del filo;(b) la reazione N esercitata dal cilindro sulla sfera;(c) la velocità angolare limite per cui si annulla la forza esercitata dalla sfera sulla parete del cilindro."


http://img535.imageshack.us/img535/2172/18909029.jpg

non riesco proprio a interpretare il problema...qualche consiglio?

ho fatto il diagramma delle forze agenti sulla sfera...e arrivo ad un risultato ma sicuramente è sbagliato perchè si parla di corpi rigidi...

comunque ho fatto

$T*cos(alpha)-P=0$
$T*sen(alpha)-N=m*w^2*(R+r)$

ottendendo $T=24,2 N$ e $21,8 N$

aspetto suggerimenti perchè sono in crisi...

grazie in anticipo per la disponibilità

[Falco5x]

In effetti così l'hai risolto come se la sfera fosse un punto materiale.
Provo a immaginare una traccia di soluzione che non ho tempo adesso per calcolare, per cui mancandomi il conforto dei calcoli potrei anche dire qualche sciocchezza. Pazienza, correrò il rischio. La descrizione si presenta un po' lunga...

Vediamo prima la cosa più semplice, ovvero la tensione T.
Poniamoci sull'asse del cilindro al centro del cilindro stesso. La sfera è un corpo rigido che ruota con velocità angolare attorno all'asse passante per questo punto, dunque il suo momento angolare è uguale al momento di inerzia (traslato con Steiner) moltiplicato per la velocità angolare. Visto che questo momento angolare è perfettamente assiale e che la velocità angolare è costante, il momento angolare è costante, dunque non ci devono essere momenti di forze. La reazione del cilindro non dà momento rispetto a questo punto dunque basta sommare i momenti dovuti alla forza peso e alla tensione e dire che la somma è nulla. In tal modo la tensione viene fuori uguale a quella che si avrebbe nel caso statico e quindi è indipendente dalla velocità angolare (anche se appare strano mi sembra che la logica porti da questa parte... sarà vero?).

Mettiamoci adesso nel punto dove il filo è attaccato all'assse del cilindro. Se calcoliamo il momento angolare rispetto a questo punto vediamo che è ortogonale al filo (lo calcoliamo sempre traslando il momento di inerzia della sfera con Steiner per tutta la lunghezza del filo più il raggio della sfera e coinsiderando la componente della velocità angolare ortogonale al filo). Quando la sfera gira, questo momento angolare deve cambiare direzione nel riferimento assoluto restando però costante in modulo, perché deve restare sempre ortogonale al filo. Dunque il momento angolare cambia nel tempo e la sua derivata è il momento delle forze agenti. Quali forze? ebbene: la tensione T non dà momento perché passa per il polo, dunque danno momento solo la forza peso e la reazione d'appoggio della sfera sul cilindro. Sapendo come varia il momento angolare nel tempo e quindi la sua derivata temporale (perchè è un vettore di lunghezza costante che girando attorno all'asse verticale con velocità angolare omega traccia un cono, e quindi la derivata si trova con considerazioni geometriche) si trova il momento complessivo delle forze agenti e si ricava così la reazione d'appoggio.

Un po' complicatino, devo ammetterlo. Chissà se chi ha proposto questo esercizio voleva che si arrivasse a tutto ciò... probabilmente sì

[Falco5x]

Dopo averci ripensato, calcolato, sbagliato, riveduto ecc.... mi rimane la sensazione che il semplicissimo metodo che hai usato tu dia comunque un risultato corretto.
La cosa andrebbe ovviamente dimostrata con le formule dei corpi rigidi, ma neanche adesso ho tempo di farlo per cui rinvio.
Saluti.

[pza1]

grazie mille,nessun altro?

[Falco5x]

Penso che il tuo metodo di soluzione, apparentemente semplicistico, sia invece corretto, e che non serva fare tutte le considerazioni sui corpi rigidi, e vado a spiegare perché.
La forza centripeta di una sfera che ruota come quella nel disegno è esattamente quella che si avrebbe se tutta la massa della sfera fosse concentrata a distanza r+R dal centro del cilindro.
Dimostrare questo è abbastanza facile. Detto infatti [tex]\vec l[/tex] un vettore posizione generico originato sul centro del cilindro e avente estremo su un qualsiasi elemento di massa del corpo della sfera, la forza centripeta complessiva che agisce sulla sfera è la seguente (nel sistema relativo la forza centrifuga è uguale e opposta a questa):

[tex]{\vec F_c} = - \int_M {{\omega ^2}} \vec ldm = - {\omega ^2}\int_M {\vec ldm} = - {\omega ^2}M{\vec l_{CM}} = - {\omega ^2}M\left( {r + R} \right){\vec u_r}[/tex]

Allora tracciato il diagramma delle forze nel sistema relativo, è facile determinare la reazione del cilindro che equilibra il sistema, e il risultato è quello che hai detto tu.

[pza1]

perfetto,grazie 1000!