Problema rotolamento
Allora ragazzi mi serve un'aiouto principalmente su un particolare di questo problema.
Un cilindro pieno di raggio 10cm e massa 12kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6m, giu' per il tetto di una casa inclinato di 30°. Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto a un asse passante per il suo centro di massa? La parete esterna della casa è alta 5m. A che distabnza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?
La prima cosa da fare, o almeno quella che ho pensato è calcolarsi l'altezza del tetto ossia: h=6m*sin30°=3m
Inoltre poi si va a sfruttare la conservazione dell'energia meccanica totale. Siccome il cilindro parte da fermo allora Ui=mgh mentre Ki=0, al bordo invece la situazione si inverte, quindi:
$ mgh=1/2 Icdmw^2 + 1/2 MV^2cdm
dove w è la velocità angolare e Vcdm è la velocità del centro di massa, dato che non abbiamo la Vdcm la esprimiamo in funzione della velocità angolare ossia Vcdm=wr.
Ora il problema sta nel momento d'inerzia del cilindro pieno che è $Icdm=1/4 MR^2+1/12 ML^2$. Il problema come si fa ad eliminare quell'L che sta per lunghezza del cilindro, dal momento che appare nell'equazione quando dovrò ricavare la velocità angolare?
Per il secondo punto non so cosa inventarmi a dir il vero...
Un cilindro pieno di raggio 10cm e massa 12kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6m, giu' per il tetto di una casa inclinato di 30°. Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto a un asse passante per il suo centro di massa? La parete esterna della casa è alta 5m. A che distabnza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano?
La prima cosa da fare, o almeno quella che ho pensato è calcolarsi l'altezza del tetto ossia: h=6m*sin30°=3m
Inoltre poi si va a sfruttare la conservazione dell'energia meccanica totale. Siccome il cilindro parte da fermo allora Ui=mgh mentre Ki=0, al bordo invece la situazione si inverte, quindi:
$ mgh=1/2 Icdmw^2 + 1/2 MV^2cdm
dove w è la velocità angolare e Vcdm è la velocità del centro di massa, dato che non abbiamo la Vdcm la esprimiamo in funzione della velocità angolare ossia Vcdm=wr.
Ora il problema sta nel momento d'inerzia del cilindro pieno che è $Icdm=1/4 MR^2+1/12 ML^2$. Il problema come si fa ad eliminare quell'L che sta per lunghezza del cilindro, dal momento che appare nell'equazione quando dovrò ricavare la velocità angolare?
Per il secondo punto non so cosa inventarmi a dir il vero...
Risposte
Forse si fa così ... xD
$ R = 0.1 m $
$ M = 12 Kg $
$ d = 6 m $
$ \theta = 30° $
Momento Inerzia cilindro $ I = (MR^2)/2 $
$ Mgdsen \theta = \frac {Iw^2}{2} + \frac {Mv^2}{2} $
$ Mgdsen \theta = \frac {Iw^2}{2} + \frac {M(wR)^2}{2} $
Risolvendo
$ w = {\sqrt (4gd sen \theta)}/ {\sqrt (3R^2)} = 62.6 $ rad/s
Dal momento in cui lascia il tetto il cilindro segue una traiettoria parabolica le cui equazioni sono
$ x(t)=(vcos \theta) t = (wRcos \theta)t $
$ y(t)=-(g t^2)/2 - (wRsen \theta)t + 5 $
che risolto per $ y=0 $ viene $ x = 4 m $ (se non ho sbagliato i calcoli xD)
$ R = 0.1 m $
$ M = 12 Kg $
$ d = 6 m $
$ \theta = 30° $
Momento Inerzia cilindro $ I = (MR^2)/2 $
$ Mgdsen \theta = \frac {Iw^2}{2} + \frac {Mv^2}{2} $
$ Mgdsen \theta = \frac {Iw^2}{2} + \frac {M(wR)^2}{2} $
Risolvendo
$ w = {\sqrt (4gd sen \theta)}/ {\sqrt (3R^2)} = 62.6 $ rad/s
Dal momento in cui lascia il tetto il cilindro segue una traiettoria parabolica le cui equazioni sono
$ x(t)=(vcos \theta) t = (wRcos \theta)t $
$ y(t)=-(g t^2)/2 - (wRsen \theta)t + 5 $
che risolto per $ y=0 $ viene $ x = 4 m $ (se non ho sbagliato i calcoli xD)
grazie mille dell'aiuto.
Non mi spiego perchè il mio libro dia quel momento d'inerzia dove figura pure L
Non mi spiego perchè il mio libro dia quel momento d'inerzia dove figura pure L
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