Problema roto-scivolamento

[cristian.vitali.102]

Salve, ho un dubbio sulla risoluzione di un esercizio.

Ho un carrello, dove sopra vi è un asta incernierata su di esso in posizione verticale.
L asta è libera di cadere fino alla posizione orizzontale. Ogni tipo di attrito è trascurabile.

Saprei trovare le forze (rispetto all angolo) nel punto di contatto tra carrello e asta, ma alla fine dei calcoli mi son accorto che non ho considerato lo spostamento del carrello mentre l asta cadeva:

questi sono i miei calcoli:

$a_(rad)=-w^2 R$
$a_(tan)= \alpha R$

$a_x=a_t cos\phi- a_r sin\phi$
$a_y=a_t sin\phi- a_r cos\phi$

$F_x= m a_x$
$F_y= m a_y$

sono corretti? o $a_x$ dispende anche dallo spostamento del carrello mentre l asta sta cadendo?

[Falco5x]

"anonymous_56b3e2":Qui c'è lo schizzo del problema:

https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6RHlpTnhBRFltZ1k/view?usp=sharing

Ah vabbè.

[anonymous_56b3e2]

Per non lasciare il topic incompiuto, riassumerei e concluderei.

Nella configurazione

https://drive.google.com/file/d/0B93bnHiXNlz6RHlpTnhBRFltZ1k/view?usp=sharing,

e con le condizioni iniziali $x(0)=0, \dot x(0)=0, \theta(0)=\pi, \dot \theta(0)=0$, la legge di conservazione della quantità di moto porta all'equazione:

$(M+m) \dot x +\frac{1}{2} m l \dot \theta cos \theta = 0$ (1)

e la legge di conservazione dell'energia, all'equazione:

$\frac{1}{2}M \dot x^2 +\frac{1}{2} m (\dot x^2 + l \dot x \dot \theta cos \theta + \frac{1}{3}l^2 \dot \theta^2)-\frac{1}{2} m g l cos \theta = \frac{1}{2}m g l$ (2).

La (1) può essere scritta come:

$(M+m) \dot x +\frac{1}{2} m l \frac{d}{d \theta} sin \theta= 0$

per cui, integrando, si ricava (considerando le condizioni iniziali):

$(M+m) x +\frac{1}{2} m l sin \theta= 0$

ovvero:

$x=-\frac{m l}{2(M + m)} sin \theta$ (3)

da cui:

$\dot x=-\frac{m l}{2(M + m)} \dot theta cos \theta$ (4)

e:

$\ddot x=-\frac{m l}{2(M + m)} (\ddot \theta cos \theta - \dot \theta^2 sin \theta)$ (5).

Ora rispondiamo alle domande del problema

a) spostamento del carrello rispetto alla posizione iniziale, quando l asta è orizzontale
b) velocità angolare dell'asta, quando è orizzontale
c) modulo dell'accelerazione del carrello.

a) per $\theta= \frac{\pi}{2}$ si ricava dalla (3)

$x=-\frac{m l}{2(M + m)}$.

b) per $\theta= \frac{\pi}{2}$ e considerando la (4), si ricava dalla (2)

$\frac{1}{6} m l^2 \dot theta^2 = \frac{1}{2} m g l$

ovvero

$\dot \theta =- \sqrt{\frac{3g}{l}}$.

c) per $\theta= \frac{\pi}{2}$ e (b) si ricava dalla (5):

$\ddot x=\frac{m l}{2(M + m)} \frac{3g}{l} = \frac{3 m g}{2(M + m)} $.

S.e.e.o.