Problema relatività
in un sistema monodimensionale, A,B,C sono coincidenti ed i loro orologi sono sincronizzati, per TA=0, B parte con VB=+0.9c e C con VC=-0.9c.
per TA=1" A emette un impulso luminoso (JA); quando B viene colpito emette a sua volta un impulso (JB) di ritorno che colpisce sia A che C. Lo stesso fa anche C (impulso JC) che colpisce sia A che B.
Si richiede di calcolare tutti i valori della tabella ove i diversi T indicano i tempi indicati dai rispettivi orologi:
evento TA TB TC
TA=1"
Arrivo JA in B .
Arrivo JA in C .
Arrivo JB in A .
Arrivo JC in A .
Arrivo JB in C .
Arrivo JC in B .
Apparentemente la soluzione è relativamente semplice, ma l'errore consiste nel fatto che non si considera in genere la velocità fra C e B, qundi la differenza fra questi due orologi.
Fino ad ora (dopo molti anni) non ho ancora trovato una soluzione soddisfacente.
C'è qualcuno che può cimentarsi?
Grazie
per TA=1" A emette un impulso luminoso (JA); quando B viene colpito emette a sua volta un impulso (JB) di ritorno che colpisce sia A che C. Lo stesso fa anche C (impulso JC) che colpisce sia A che B.
Si richiede di calcolare tutti i valori della tabella ove i diversi T indicano i tempi indicati dai rispettivi orologi:
evento TA TB TC
TA=1"
Arrivo JA in B .
Arrivo JA in C .
Arrivo JB in A .
Arrivo JC in A .
Arrivo JB in C .
Arrivo JC in B .
Apparentemente la soluzione è relativamente semplice, ma l'errore consiste nel fatto che non si considera in genere la velocità fra C e B, qundi la differenza fra questi due orologi.
Fino ad ora (dopo molti anni) non ho ancora trovato una soluzione soddisfacente.
C'è qualcuno che può cimentarsi?
Grazie
Risposte
Hai provato a risolvere il problema cinematico nel sistema di riferimento solidale con A, intendo trovare tutti i tempi e le posizioni dei vari eventi, e poi usare le trasformazioni di Lorentz per trasformarli in quelle dei sistemi in moto?
certo, ma ottengo degli assurdi, vuoi provarci tu? cetamente sbaglio qualche cosa, perchè ottengo sempre valori eguali per tb e tc quando logicamente i tempi di arrivo dei reciproci segnali dovrebbero differire a caus della velocità relativa
Forse sbaglio qualcosa, però non vedo dove sia l'incongruenza.
Provo a calcolare.
Devo però notare che occorre fare un po' di chiarezza nelle simbologie.
Prima di tutto occorre dire in quale sistema di riferimento siamo, cioè qual è il sistema che calcola tempi e spazi, chi ha la "visione" del fenomeno insomma.
Indico allora, ad esempio con [tex]{T_{\left[ A \right]JA}}[/tex] il tempo "nella visione del mondo di A" in cui l'impulso JA viene emesso, e allora scrivo: [tex]{T_{\left[ A \right]JA}} = 1s[/tex]
Indico poi con [tex]{T_{\left[ A \right]JA \to B}}[/tex] il tempo "nella visione del mondo di A" in cui l'impulso JA arriva in B, e calcolo: [tex]{T_{\left[ A \right]JA \to B}} = 10s[/tex].
Indico poi [tex]{X_{\left[ A \right]JA \to B}} = 9C[/tex] l'ascissa nella visione di A alla quale l'impulso JA raggiunge B.(dove C è lo spazio percorso dalla luce in un secondo ovvero numericamente uguale a c).
Adesso posso fare le trasformazioni di Lorentz senza cadere in equivoci.
[tex]{T_{\left[ B \right]JA \to B}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JA \to B}} - \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]JA \to B}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{10 - \frac{{0,9}}{c}9C}}{{\sqrt {1 - {{\left( {0,9} \right)}^2}} }} = \frac{{10 - 8,1}}{{\sqrt {1 - 0,81} }} = \frac{{1,9}}{{\sqrt {0,19} }} = 4,36s[/tex]
Questo è l'istante "nella visione di B" in cui gli arriva l'impulso JA
Adesso B risponde con l'impulso JB. Allora riprendo la visione nel mondo di A e calcolo:
[tex]{T_{\left[ A \right]JB \to A}} = 10 + \frac{{9C}}{c} = 19s[/tex]
[tex]{T_{\left[ B \right]JB \to A}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JB \to B}} - \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]JB \to A}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{19 - \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}0}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {0,19} }} = 43,6s[/tex]
Sempre utilizzando la visione di A calcolo tempo e spazio in cui l'impulso JB arriva a C:
[tex]{T_{\left[ A \right]JB \to C}} = 190s[/tex]
[tex]{X_{\left[ A \right]JB \to C}} = - 171C[/tex]
e usando Lorentz calcolo quando l'impulso arriva a C nella visione di C:
[tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JB \to C}} + \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]JB \to C}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{190 - \frac{{0,9}}{c}171C}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{{190 - 154}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {0,19} }} = 82,6s[/tex]
Ora se dopo aver fatto questo faccio i ragionamenti simmetrici considerando l'impulso JC emesso da C e scambio B con C ottengo esattamente gli stessi risultati, perchè nelle formule di trasformazione il segno - della velocità di C rispetto ad A e il segno - dell'ascissa di C nella visione di A si elidono.
O almeno così mi sembra.
Provo a calcolare.
Devo però notare che occorre fare un po' di chiarezza nelle simbologie.
Prima di tutto occorre dire in quale sistema di riferimento siamo, cioè qual è il sistema che calcola tempi e spazi, chi ha la "visione" del fenomeno insomma.
Indico allora, ad esempio con [tex]{T_{\left[ A \right]JA}}[/tex] il tempo "nella visione del mondo di A" in cui l'impulso JA viene emesso, e allora scrivo: [tex]{T_{\left[ A \right]JA}} = 1s[/tex]
Indico poi con [tex]{T_{\left[ A \right]JA \to B}}[/tex] il tempo "nella visione del mondo di A" in cui l'impulso JA arriva in B, e calcolo: [tex]{T_{\left[ A \right]JA \to B}} = 10s[/tex].
Indico poi [tex]{X_{\left[ A \right]JA \to B}} = 9C[/tex] l'ascissa nella visione di A alla quale l'impulso JA raggiunge B.(dove C è lo spazio percorso dalla luce in un secondo ovvero numericamente uguale a c).
Adesso posso fare le trasformazioni di Lorentz senza cadere in equivoci.
[tex]{T_{\left[ B \right]JA \to B}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JA \to B}} - \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]JA \to B}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{10 - \frac{{0,9}}{c}9C}}{{\sqrt {1 - {{\left( {0,9} \right)}^2}} }} = \frac{{10 - 8,1}}{{\sqrt {1 - 0,81} }} = \frac{{1,9}}{{\sqrt {0,19} }} = 4,36s[/tex]
Questo è l'istante "nella visione di B" in cui gli arriva l'impulso JA
Adesso B risponde con l'impulso JB. Allora riprendo la visione nel mondo di A e calcolo:
[tex]{T_{\left[ A \right]JB \to A}} = 10 + \frac{{9C}}{c} = 19s[/tex]
[tex]{T_{\left[ B \right]JB \to A}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JB \to B}} - \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]JB \to A}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{19 - \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}0}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{{19}}{{\sqrt {0,19} }} = 43,6s[/tex]
Sempre utilizzando la visione di A calcolo tempo e spazio in cui l'impulso JB arriva a C:
[tex]{T_{\left[ A \right]JB \to C}} = 190s[/tex]
[tex]{X_{\left[ A \right]JB \to C}} = - 171C[/tex]
e usando Lorentz calcolo quando l'impulso arriva a C nella visione di C:
[tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JB \to C}} + \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]JB \to C}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{190 - \frac{{0,9}}{c}171C}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{{190 - 154}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{{36}}{{\sqrt {0,19} }} = 82,6s[/tex]
Ora se dopo aver fatto questo faccio i ragionamenti simmetrici considerando l'impulso JC emesso da C e scambio B con C ottengo esattamente gli stessi risultati, perchè nelle formule di trasformazione il segno - della velocità di C rispetto ad A e il segno - dell'ascissa di C nella visione di A si elidono.
O almeno così mi sembra.
grazie mille, dammi tempo per ragionarci un poco sopra, la contemporaneità che deriva fra T [C]JB→C e T JC→B, se da un lato è giustificata dalla simmetria del problema, dall'altra non tiene conto dei diversi clock rate derivante dal moto relativo fra B e C.
Proseguo alla verifica.
Mettiamoci adesso nell'ottica di C.
Per la regola di composizione delle velocità, B viaggia a una velocità rispetto a C che si calcola così:
[tex]{V_{\left[ C \right]B}} = \frac{{{V_{\left[ C \right]A}} + {V_{\left[ A \right]B}}}}{{1 + \frac{{{V_{\left[ C \right]A}}{V_{\left[ A \right]B}}}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,9 + 0,9}}{{1 + 0,81}}c = {\rm{0}}{\rm{,9945c}}[/tex]
L'evento di emissione del raggio da parte di A, che per A avviene dopo 1 secondo, nell'ottica di C avviene:
[tex]{T_{\left[ C \right]JA}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JA}} + \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]A}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{1 + \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}0}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{1}{{\sqrt {0,19} }} = 2,294s[/tex]
Adesso, dovendo metterci nel riferimento di C, prendiamo un righello delle distanze che viaggi solidale a C.
Allora su questo righello l'evento "emissione da parte di A" è visto da C alla distanza:
[tex]{X_{\left[ C \right]JA}} = {T_{\left[ C \right]JA}}0,9c = {\rm{2}}{\rm{,0646}}C[/tex]
Secondo C questo raggio raggiunge B quando è valida la seguente relazione
[tex]\left( {{T_{\left[ C \right]JA \to B}} - {T_{\left[ C \right]JA}}} \right)c + {X_{\left[ C \right]JA}} = {V_{\left[ C \right]B}}{T_{\left[ C \right]JA \to B}}[/tex]
da cui
[tex]{T_{\left[ C \right]JA \to B}} = \frac{{0,2294}}{{0,0055}} = 41,7s[/tex]
e ciò avviene, nel righello di C. alla distanza:
[tex]{X_{\left[ C \right]JA \to B}} = {V_{\left[ C \right]B}}{T_{\left[ C \right]JA \to B}} = {\rm{0}}{\rm{,9945c}}41,7 = 41,47C[/tex]
A quel punto B emette il raggio di ritorno che raggiunge C:
[tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = {T_{\left[ C \right]JA \to B}} + \frac{{{X_{\left[ C \right]JA \to B}}}}{c} = 41,7 + 41,47 = 83,17s[/tex]
Abbiamo ottenuto [tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = 83,17s[/tex] mentre col calcolo del post precedente si era ottenuto [tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = 82,6s[/tex]. Però visto che i calcoli sono stati approssimati, spero che la piccola differenza sia dovuta appunto alle approssimazioni.
Mettiamoci adesso nell'ottica di C.
Per la regola di composizione delle velocità, B viaggia a una velocità rispetto a C che si calcola così:
[tex]{V_{\left[ C \right]B}} = \frac{{{V_{\left[ C \right]A}} + {V_{\left[ A \right]B}}}}{{1 + \frac{{{V_{\left[ C \right]A}}{V_{\left[ A \right]B}}}}{{{c^2}}}}} = \frac{{0,9 + 0,9}}{{1 + 0,81}}c = {\rm{0}}{\rm{,9945c}}[/tex]
L'evento di emissione del raggio da parte di A, che per A avviene dopo 1 secondo, nell'ottica di C avviene:
[tex]{T_{\left[ C \right]JA}} = \frac{{{T_{\left[ A \right]JA}} + \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}{X_{\left[ A \right]A}}}}{{\sqrt {1 - {{\left( {\frac{{0,9c}}{c}} \right)}^2}} }} = \frac{{1 + \frac{{0,9c}}{{{c^2}}}0}}{{\sqrt {0,19} }} = \frac{1}{{\sqrt {0,19} }} = 2,294s[/tex]
Adesso, dovendo metterci nel riferimento di C, prendiamo un righello delle distanze che viaggi solidale a C.
Allora su questo righello l'evento "emissione da parte di A" è visto da C alla distanza:
[tex]{X_{\left[ C \right]JA}} = {T_{\left[ C \right]JA}}0,9c = {\rm{2}}{\rm{,0646}}C[/tex]
Secondo C questo raggio raggiunge B quando è valida la seguente relazione
[tex]\left( {{T_{\left[ C \right]JA \to B}} - {T_{\left[ C \right]JA}}} \right)c + {X_{\left[ C \right]JA}} = {V_{\left[ C \right]B}}{T_{\left[ C \right]JA \to B}}[/tex]
da cui
[tex]{T_{\left[ C \right]JA \to B}} = \frac{{0,2294}}{{0,0055}} = 41,7s[/tex]
e ciò avviene, nel righello di C. alla distanza:
[tex]{X_{\left[ C \right]JA \to B}} = {V_{\left[ C \right]B}}{T_{\left[ C \right]JA \to B}} = {\rm{0}}{\rm{,9945c}}41,7 = 41,47C[/tex]
A quel punto B emette il raggio di ritorno che raggiunge C:
[tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = {T_{\left[ C \right]JA \to B}} + \frac{{{X_{\left[ C \right]JA \to B}}}}{c} = 41,7 + 41,47 = 83,17s[/tex]
Abbiamo ottenuto [tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = 83,17s[/tex] mentre col calcolo del post precedente si era ottenuto [tex]{T_{\left[ C \right]JB \to C}} = 82,6s[/tex]. Però visto che i calcoli sono stati approssimati, spero che la piccola differenza sia dovuta appunto alle approssimazioni.
convincente, grazie di tutto
"vecchio fisico":
convincente, grazie di tutto
grazie a te per averlo proposto, è un esercizio istruttivo
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