Problema relatività
L'ultima settimana del corso di fisica teorica l'abbiamo dedicata allo studio della relatività. Una sola settimana (8 ore credo) non sono servite a nulla naturalmente. Ho comunque studiato per conto mio dal libro di Vincenzo Barone e, almeno durante la lettura, mi sembrava di capire più o meno tutto. Tuttavia oggi ho cerato alcuni esercizi e mi sono reso conto che stando attento a seguire la matematica dei tensori, geometrie strane etc, mi sono perso un po' il senso fisico delle cose che studiavo. Se fosse stato un corso semestrale ci sarebbe stato tutto il tempo per abituarsi e familiarizzare con i concetti e con le notazioni, così come lo è stato per la meccanica quantistica. Non sono preoccupato per l'esame, non so nemmeno se sarò interrogato su questo argomento, tuttavia mi preme avere una buona conoscenza soprattutto in vista della specialistica.
Ho scritto questa introduzione per far capire la situazione in cui mi trovo, non troppo tragica, ma nemmeno troppo felice.
Scrivo un problema nella quale mi sono imbattuto:
Una particella si muove soggetta ad una forza $F^mu!= 0$
Considerare il tensore momento angolare calcolato rispetto a $bar(x)$
$L^(munu)=(x-bar(x))^mu*p^nu-(x-bar(x))^nu*p^mu$
Ricavare equazioni del moto soddisfatta da $L^(munu)$ e trovare la forma più generale di moto rettilineo che conserva $L^(munu)$
Allora, non ho ben capito cosa si intende per tensore momento angolare calcolato rispetto a $bar(x)$
$(x-bar(x))^mu$ dovrebbe essere una curva nello spazio di Minkowski, giusto? Ma io so che il momento angolare è definito come $L^(munu)=x^mu*p^nu-x^nu*p^mu$. Quindi è il prodotto vettoriale elementi dei quadrivettori (la curva e la sua velocità). Cosa vuol dire allora quel $bar(x)$?
Nelle soluzioni pone $ y=x-bar(x) $ e va avanti così.
$(dL)^(munu)/(d(tau))=y^mu*f^nu-y^nu*f^mu=T^(munu)$
Dato che $L$ si conserva $y^mu*f^nu=y^nu*f^mu$
Ancora mi dice che affinché questo sia valido deve essere $f^mu=lambda*y^nu$, ma non riesco a trovare una dimostrazione di questo.
Ultimo punto dice: $y^mu*y_mu=-r_0^2$ dove $r_0^2$ è una costante data dalle condizioni iniziali. Io so che $ds^2=(dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$, ma a quella uguaglianza non ci arrivo.
Forse questo non è il miglior esercizio con cui iniziare, ma ho provato degli altri più semplici, quelli senza tensori ma solo con trasformazioni di Lorentz e riesco a farli.
Vi chiedo anche se sapete dove trovare del materiale con esercizi semplici sulla relatività con la geometria e i tensori, magari svolti, anche qualche libro.
Grazie dell'aiuto
Ho scritto questa introduzione per far capire la situazione in cui mi trovo, non troppo tragica, ma nemmeno troppo felice.
Scrivo un problema nella quale mi sono imbattuto:
Una particella si muove soggetta ad una forza $F^mu!= 0$
Considerare il tensore momento angolare calcolato rispetto a $bar(x)$
$L^(munu)=(x-bar(x))^mu*p^nu-(x-bar(x))^nu*p^mu$
Ricavare equazioni del moto soddisfatta da $L^(munu)$ e trovare la forma più generale di moto rettilineo che conserva $L^(munu)$
Allora, non ho ben capito cosa si intende per tensore momento angolare calcolato rispetto a $bar(x)$
$(x-bar(x))^mu$ dovrebbe essere una curva nello spazio di Minkowski, giusto? Ma io so che il momento angolare è definito come $L^(munu)=x^mu*p^nu-x^nu*p^mu$. Quindi è il prodotto vettoriale elementi dei quadrivettori (la curva e la sua velocità). Cosa vuol dire allora quel $bar(x)$?
Nelle soluzioni pone $ y=x-bar(x) $ e va avanti così.
$(dL)^(munu)/(d(tau))=y^mu*f^nu-y^nu*f^mu=T^(munu)$
Dato che $L$ si conserva $y^mu*f^nu=y^nu*f^mu$
Ancora mi dice che affinché questo sia valido deve essere $f^mu=lambda*y^nu$, ma non riesco a trovare una dimostrazione di questo.
Ultimo punto dice: $y^mu*y_mu=-r_0^2$ dove $r_0^2$ è una costante data dalle condizioni iniziali. Io so che $ds^2=(dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$, ma a quella uguaglianza non ci arrivo.
Forse questo non è il miglior esercizio con cui iniziare, ma ho provato degli altri più semplici, quelli senza tensori ma solo con trasformazioni di Lorentz e riesco a farli.
Vi chiedo anche se sapete dove trovare del materiale con esercizi semplici sulla relatività con la geometria e i tensori, magari svolti, anche qualche libro.
Grazie dell'aiuto
Risposte
"Spremiagrumi":
…...
Una particella si muove soggetta ad una forza $F^mu!= 0$
Considerare il tensore momento angolare calcolato rispetto a $bar(x)$
$L^(munu)=(x-bar(x))^mu*p^nu-(x-bar(x))^nu*p^mu$
Ricavare equazioni del moto soddisfatta da $L^(munu)$ e trovare la forma più generale di moto rettilineo che conserva $L^(munu)$
Allora, non ho ben capito cosa si intende per tensore momento angolare calcolato rispetto a $bar(x)$
Con sole 8 ore di lezione, è un po' difficile ….Cerco di dirti quello che ho capito.
Penso che $bar(x)$ siano semplicemente le 4-coordinate del polo rispetto a cui si calcola il tensore momento angolare : il polo non coincide con l'origine delle coordinate.
$(x-bar(x))^mu$ dovrebbe essere una curva nello spazio di Minkowski, giusto?
No, è semplicemente un 4-vettore posizione.
Ma io so che il momento angolare è definito come $L^(munu)=x^mu*p^nu-x^nu*p^mu$. Quindi è il prodotto vettoriale elementi dei quadrivettori (la curva e la sua velocità). Cosa vuol dire allora quel $bar(x)$?
È giusta la definizione che dai del 4-momento angolare , che è un tensore doppio controvariante antisimmetrico. E se al posto di $x^mu$ metti $(x-bar(x))^mu$ , come ti ho detto prima secondo me hai solo cambiato il polo.
Nelle soluzioni pone $ y=x-bar(x) $ e va avanti così.
infatti, questo confermerebbe quello che ho detto.
$(dL)^(munu)/(d(tau))=y^mu*f^nu-y^nu*f^mu=T^(munu)$
Dato che $L$ si conserva $y^mu*f^nu=y^nu*f^mu$
Ancora mi dice che affinché questo sia valido deve essere $f^mu=lambda*y^nu$, ma non riesco a trovare una dimostrazione di questo.
qui entra in gioco la 4-forza. Anche io non ho trovato una dimostrazione. Però se sostituisci ti rendi conto che effettivamente risulta $(dL)^(munu) = 0 $
Ultimo punto dice: $y^mu*y_mu=-r_0^2$ dove $r_0^2$ è una costante data dalle condizioni iniziali. Io so che $ds^2=(dx^0)^2-(dx^1)^2-(dx^2)^2-(dx^3)^2$, ma a quella uguaglianza non ci arrivo.
Penso che questo non sia altro che l'invariante spaziotemporale, cioè il calcolo della norma del 4-vettore di componenti $y^\mu$ , però con la segnatura della metrica cambiata : (-,+,+,+). Avevo scritto questo , in un altro post tempo fa :
Faccio un brevissimo cenno a come si fa il prodotto scalare tra due quadrivettori $A^\mu$ e $B^\nu$ nello spaziotempo piatto della RR , dotato della metrica di Minkowski in coordinate pseudo-euclidee $\eta_(\mu\nu) = diag (1,-1,-1,-1)$ (il primo è il componente temporale, gli altri tre sono spaziali).
In componenti, i due quadrivettori sono : $A^\mu = (A^0,A^1,A^2,A^3) $ , e $ B^\nu = (B^0,B^1,B^2,B^3) $ .
Il prodotto scalare si esegue, tenendo presente che il tensore metrico è diagonale e occorre sommare su indici ripetuti di co- e contro- varianza (convenzione di Einstein), con la formula :
$vecA*vecB = \eta _(\mu\nu) A^\muB^\nu = \eta_(00)A^0B^0 + \eta_(11)A^1B^1 + \eta_(22)A^2B^2 + \eta_(33)A^3B^3 = +A^0B^0 - A^1B^1 - A^2B^2 - A^3B^3 $ .
Alla stessa maniera si trova la norma di un quadrivettore dato . La norma in questo modo può risultare positiva, e allora il 4-vettore è di tipo tempo; nulla, e allora il 4-vettore è di tipo luce ; negativa, e allora il 4-vettore è di tipo spazio.
Questo perché la metrica non è euclidea ma pseudo euclidea.
Alcuni adottano la convenzione opposta per la segnatura della metrica.
Se i due 4-vettori sono lo stesso 4-vettore , viene fuori il quadrato della norma : $A^muA_(mu)$ , e se la metrica ha il segno cambiato, viene fuori l'opposto del quadrato della norma, cioè proprio il tuo $-r_0^2$ , essendo in componenti : $r_0 = (y^\(mu)) $
Forse questo non è il miglior esercizio con cui iniziare, ma ho provato degli altri più semplici, quelli senza tensori ma solo con trasformazioni di Lorentz e riesco a farli.
Vi chiedo anche se sapete dove trovare del materiale con esercizi semplici sulla relatività con la geometria e i tensori, magari svolti, anche qualche libro.
Grazie dell'aiuto
Si, certamente non è dei più semplici esercizi, specie dopo sole 8 ore di lezione. Non sono molti i libri di relatività che parlano del momento angolare relativistico.
Ho trovato un paio di pagine nel Landau-Lifshitz "Teoria dei campi" . È evidenziato che 4-momento angolare, energia, e centro di massa-energia (non solo centro di massa) sono strettamente correlati.
Poi c'è qualcosa qui :
http://www.df.unipi.it/~ferrante/ssis_p ... tivita.pdf
http://en.wikipedia.org/wiki/Relativist ... r_momentum
http://www.roma1.infn.it/cms/ric/cinematica.pdf
mi sembra che l'articolo di wikipedia sia abbastanza esteso, ma non vi sono esercizi.
Di più non posso dirti.
Ok, mi sembra tutto chiaro, solo due domandine.
1)
$r_0$ è quindi una distanza nello spazio di Minkowski, non una distanza "classica", giusto?
2)
Ti cito un passo del Barone:
"Per rappresentare il moto relativistico di una particella occorre scrivere le $x^mu$ in funzione di un parametro scalare. La scelta naturale per questo parametro è l'invariante $s$, definito da $ds...$ (lo sappiamo), che chiameremo cammino proprio o tempo proprio poiché $ds=cd(tau)$. Si avrà quindi, al posto della legge oraria, la cosiddetta linea di universo.
$x^mu=x^mu(s)$
che dal punto di vista geometrico è l'equazione di una curva nello spazio di Minkowski."
Ora se a questo $s$ do un valore ottengo non una curva ma un punto nello spazio e quindi $x^mu$ diventa il vettore posizione. Negli esercizi come quello che ho postato allora quando si parla di $x^mu$, $p^mu$, etc sono sempre per un $s$ fissati. Voglio dire sono sempre dei vettori posizione, non mi indicano una legge temporale. O meglio non la indicano direttamente, ma la devo scoprire facendo considerazioni sulle forze, momenti. E' giusto quello che dico? Un po' come accadeva nei problemi di cinematica, non ti davano mai $x(t)$ ma solo $x$ ed eventualmente velocità o accelerazione.
1)
$r_0$ è quindi una distanza nello spazio di Minkowski, non una distanza "classica", giusto?
2)
Ti cito un passo del Barone:
"Per rappresentare il moto relativistico di una particella occorre scrivere le $x^mu$ in funzione di un parametro scalare. La scelta naturale per questo parametro è l'invariante $s$, definito da $ds...$ (lo sappiamo), che chiameremo cammino proprio o tempo proprio poiché $ds=cd(tau)$. Si avrà quindi, al posto della legge oraria, la cosiddetta linea di universo.
$x^mu=x^mu(s)$
che dal punto di vista geometrico è l'equazione di una curva nello spazio di Minkowski."
Ora se a questo $s$ do un valore ottengo non una curva ma un punto nello spazio e quindi $x^mu$ diventa il vettore posizione. Negli esercizi come quello che ho postato allora quando si parla di $x^mu$, $p^mu$, etc sono sempre per un $s$ fissati. Voglio dire sono sempre dei vettori posizione, non mi indicano una legge temporale. O meglio non la indicano direttamente, ma la devo scoprire facendo considerazioni sulle forze, momenti. E' giusto quello che dico? Un po' come accadeva nei problemi di cinematica, non ti davano mai $x(t)$ ma solo $x$ ed eventualmente velocità o accelerazione.
"Spremiagrumi":
Ok, mi sembra tutto chiaro, solo due domandine.
1)
$r_0$ è quindi una distanza nello spazio di Minkowski, non una distanza "classica", giusto?
Sì, se ho interpretato bene il tuo precedente scritto, $r_0$ è una "distanza spaziotemporale" nello ST di Minkowski. Insomma, non è una distanza solo spaziale a tre dimensioni, perché si tratta di un 4-vettore , ovvero un tensore controvariante del primo ordine, che ha 4 componenti, una temporale e tre spaziali.
2)
Ti cito un passo del Barone:
"Per rappresentare il moto relativistico di una particella occorre scrivere le $x^mu$ in funzione di un parametro scalare. La scelta naturale per questo parametro è l'invariante $s$, definito da $ds...$ (lo sappiamo), che chiameremo cammino proprio o tempo proprio poiché $ds=cd(tau)$. Si avrà quindi, al posto della legge oraria, la cosiddetta linea di universo.
$x^mu=x^mu(s)$
che dal punto di vista geometrico è l'equazione di una curva nello spazio di Minkowski."
Ora se a questo $s$ do un valore ottengo non una curva ma un punto nello spazio e quindi $x^mu$ diventa il vettore posizione. Negli esercizi come quello che ho postato allora quando si parla di $x^mu$, $p^mu$, etc sono sempre per un $s$ fissati. Voglio dire sono sempre dei vettori posizione, non mi indicano una legge temporale. O meglio non la indicano direttamente, ma la devo scoprire facendo considerazioni sulle forze, momenti. E' giusto quello che dico? Un po' come accadeva nei problemi di cinematica, non ti davano mai $x(t)$ ma solo $x$ ed eventualmente velocità o accelerazione.
È chiaro quello che dice Barone (ce l'ho qui con me, il pezzo da te riportato è nel paragrafo 6.1) :
l'equazione $x^\(mu) = x^\(mu)(s) $ è l'equivalente, nello ST di M. della RR , della equazione parametrica che in meccanica newtoniana descrive il moto di una particella materiale in funzione del tempo : $vecx = vecx(t)$ . Ma in relatività si tratta sempre di 4 componenti, una temporale e 3 spaziali.
In meccanica relativistica, è conveniente, ma non sempre possibile ( lo dice dopo, a proposito del fotone per il quale $ds = 0$ ) assumere come parametro $s$ il "cammino proprio" , definito dal $ds^2 = g_(munu) dx^(mu)dx^(nu)$ , per il motivo che il cammino proprio, ovvero il tempo proprio (coincidono a meno di $c^2$ , e del segno) è invariante , cioè non dipende dalle coordinate . Quindi si tratta geometricamente di una curva nello ST di M. , ma è meglio chiamarla "linea di universo" .
È un po' come quando, in meccanica classica, si parametrizza una curva con la lunghezza d'arco $s$ .
Certo che poi l'andamento effettivo di questa linea di universo dipende dal modo in cui la particella materiale si muove : per esempio, se ti limiti al piano di Minkowski $(t,x)$ (cioè in sostanza elimini due coordinate spaziali lasciando solo la $x$ ) , una particella non accelerata avrà linea di universo rettilinea (è il caso della RR quando la particella si muove nel rif. $(t,x)$ a velocità costante, per cui si hanno le trasformazioni di Lorentz tra rif. inerziali ) , ma nulla vieta di considerare anche moti accelerati in RR , nello ST piatto ! Un esempio è il cosiddetto moto iperbolico relativistico , cioè un moto che avviene con accelerazione "propria" costante. SE leggi più avanti il Barone, dovresti trovarlo.
In RG vale la stessa cosa, però qui l'andamento effettivo "locale" della linea di universo dipende da come è fatto lo ST , che non è più piatto ma curvato da massa-energia , e oltretutto può essere variabile nel tempo e nello spazio. Una particella libera in uno ST curvo segue una "geodetica" , la cui equazione coinvolge le derivate prime dei coefficienti della metrica, non più costanti come nel caso dello ST della RR riferito a coordinate lorentziane, tramite i simboli di Christoffel. I coefficienti della metrica assumono il ruolo di potenziali gravitazionali.
Ho capito quello che hai scritto ma un dubbio permane ancora e scusami se insisto ma voglio afferrare bene, altrimenti rischio di fondare una casa sul fango:
$ L^(munu)=(x-bar(x))^mu*p^nu-(x-bar(x))^nu*p^mu $
In questa espressione, per esempio, $p^mu $ e tutti gli altri, sono dei punti ben precisi dello spazio di Minkowski (vettori velocità (o momento che sia) e posizione) e non delle curve dipendenti da $s$? Oppure sono delle relazioni tra curve?
Poniamoci in $R^3$ per semplificare un attimo: se ho $r=(3,4,5)$ ad un certo $t$ per trovare $v$ non posso certo fare la derivata ma mi servono altri dati. Per esempio la posizione ad un altro istante. Mentre se ho $r=(56t^3,0,t)$ allora mi basterebbe fare una derivata per trovare la velocità.
Nel problema che ho postato, quando scrivo $x^mu$ (e gli altri quadrivettori) è il quadrivettore ad un tempo (proprio) ben definito o rimane generale e questa è l'equazione della linea di universo?
In realtà mi hai già risposto scrivendomi
No, è semplicemente un 4-vettore posizione. [/quote]
ma come fai a dirlo, non potrebbe essere una curva quella e solamente $bar(x)$ essere un 4-vettore posizione?
Io credo che sia così, perché quella relazione dovrebbe valere per ogni $tau$. O meglio, potrebbe certo essere un 4-vettore posizione, ma ad un $tau$ del tutto arbitrario (il problema non lo specifica perlomeno). Non vorrei sembrare presuntuoso, anzi, attendo il tuo giudizio.
$ L^(munu)=(x-bar(x))^mu*p^nu-(x-bar(x))^nu*p^mu $
In questa espressione, per esempio, $p^mu $ e tutti gli altri, sono dei punti ben precisi dello spazio di Minkowski (vettori velocità (o momento che sia) e posizione) e non delle curve dipendenti da $s$? Oppure sono delle relazioni tra curve?
Poniamoci in $R^3$ per semplificare un attimo: se ho $r=(3,4,5)$ ad un certo $t$ per trovare $v$ non posso certo fare la derivata ma mi servono altri dati. Per esempio la posizione ad un altro istante. Mentre se ho $r=(56t^3,0,t)$ allora mi basterebbe fare una derivata per trovare la velocità.
Nel problema che ho postato, quando scrivo $x^mu$ (e gli altri quadrivettori) è il quadrivettore ad un tempo (proprio) ben definito o rimane generale e questa è l'equazione della linea di universo?
In realtà mi hai già risposto scrivendomi
[quote]$ (x-bar(x))^mu $ dovrebbe essere una curva nello spazio di Minkowski, giusto?
No, è semplicemente un 4-vettore posizione. [/quote]
ma come fai a dirlo, non potrebbe essere una curva quella e solamente $bar(x)$ essere un 4-vettore posizione?
Io credo che sia così, perché quella relazione dovrebbe valere per ogni $tau$. O meglio, potrebbe certo essere un 4-vettore posizione, ma ad un $tau$ del tutto arbitrario (il problema non lo specifica perlomeno). Non vorrei sembrare presuntuoso, anzi, attendo il tuo giudizio.
In meccanica classica scrivi il momento angolare così :
$ vecL = vecrxxvecp $
e puoi scrivere le componenti alla stessa maniera che hai scritto in meccanica relativistica , no?
$L^(munu) = r^(mu)p^(nu) - r^(nu)p^(mu)$
mi sembra ora che la scrittura $r^(mu) = (x-bar(x))^(mu) $ voglia dire solo che il polo ha coordinate $bar(x)^(mu)$ .
Ma nessuno ci dice se le coordinate $x^(mu)$ siano costanti o variabili !
Voglio dire : il vettore $(x-bar(x))^(mu) $ è comunque un vettore posizione, ma non è detto che sia costante.
$ vecL = vecrxxvecp $
e puoi scrivere le componenti alla stessa maniera che hai scritto in meccanica relativistica , no?
$L^(munu) = r^(mu)p^(nu) - r^(nu)p^(mu)$
mi sembra ora che la scrittura $r^(mu) = (x-bar(x))^(mu) $ voglia dire solo che il polo ha coordinate $bar(x)^(mu)$ .
Ma nessuno ci dice se le coordinate $x^(mu)$ siano costanti o variabili !
Voglio dire : il vettore $(x-bar(x))^(mu) $ è comunque un vettore posizione, ma non è detto che sia costante.
Ma nessuno ci dice se le coordinate $x^mu$ siano costanti o variabili !
Era quello che volevo sentirmi dire.
Ti ringrazio tanto per la disponibilità navigatore, adesso a giorni dovrebbe arrivarmi il libro di Landau e studierò anche da quello. Probabilmente capiterà di avere ancora qualche dubbio e magari mi farò risentire. Grazie ancora!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo