Problema puro rotolamento
Ciao a tutti, potreste dirmi se i passaggi che svolgo sono giusti? Avrei qualche dubbio.
L'esercizio è preso da una prova d'esame:
Su di un piano inclinato di $ θ = 20° $ e lunghezza $L = 3 m$ si muovono di moto di puro rotolamento una sfera e un cilindro pieno di massa e raggio uguali.
(1)Se partono entrambi da fermi dalla sommità del piano inclinato, chi arriva prima?
(2)Con che velocità del centro di massa raggiungeranno la fine del piano inclinato?
(3)Immaginiamo di poter variare l'angolo di inclinazione.Se consideriamo un coefficiente di attrito statico $ μ = 0.2 $, quale dei due esce prima dal puro rotolamento? A che angolo ciò avviene?
Dubbio: Per i punti 1,2 evidentemente non devo considerare la forza d'attrito statico, ma allora come fanno a muoversi con moto di puro rotolamento?
Svolgimento:
(1)Trascurando le forze dissipative si conserva l'eneriga meccanica:
Tra la sommità e la fine il centro di massa scende di una quota L, quindi:
$E(i) = mg(L+R)=E(f)=mgR+1/2Iw^2$ dove I è il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro nel caso della sfera e rispetto all'asse nel caso del cilindro.
Da questa equazione ottengo:
$w=sqrt(2mgL/I)$ e quindi arriva prima la sfera dato che ha un momento di inerzia minore.
(2)Dal risultato ottenuto in (1) e considerando il puro rotolamento: $v=wR$.
(3)La condizione fisica per il puro rotolamento è che il punto P di contatto sia fermo ovvero che $α = wR$.
Considerando l'attrito, mi scrivo le due equazioni cardinali considerando come polo il centro O:
$a=g( μcos θ-sin θ)$ e $ α = μmgcosθR/I$
Impongo che a sia diverso da αR e trovo θ che lo soddisfi.
Scusate la probabile lunghezza ma, facendo fisica e avendo l'esame di fisica I a breve, sarei molto interessato a capire.
Grazie in anticipo!
L'esercizio è preso da una prova d'esame:
Su di un piano inclinato di $ θ = 20° $ e lunghezza $L = 3 m$ si muovono di moto di puro rotolamento una sfera e un cilindro pieno di massa e raggio uguali.
(1)Se partono entrambi da fermi dalla sommità del piano inclinato, chi arriva prima?
(2)Con che velocità del centro di massa raggiungeranno la fine del piano inclinato?
(3)Immaginiamo di poter variare l'angolo di inclinazione.Se consideriamo un coefficiente di attrito statico $ μ = 0.2 $, quale dei due esce prima dal puro rotolamento? A che angolo ciò avviene?
Dubbio: Per i punti 1,2 evidentemente non devo considerare la forza d'attrito statico, ma allora come fanno a muoversi con moto di puro rotolamento?
Svolgimento:
(1)Trascurando le forze dissipative si conserva l'eneriga meccanica:
Tra la sommità e la fine il centro di massa scende di una quota L, quindi:
$E(i) = mg(L+R)=E(f)=mgR+1/2Iw^2$ dove I è il momento di inerzia rispetto ad un asse passante per il centro nel caso della sfera e rispetto all'asse nel caso del cilindro.
Da questa equazione ottengo:
$w=sqrt(2mgL/I)$ e quindi arriva prima la sfera dato che ha un momento di inerzia minore.
(2)Dal risultato ottenuto in (1) e considerando il puro rotolamento: $v=wR$.
(3)La condizione fisica per il puro rotolamento è che il punto P di contatto sia fermo ovvero che $α = wR$.
Considerando l'attrito, mi scrivo le due equazioni cardinali considerando come polo il centro O:
$a=g( μcos θ-sin θ)$ e $ α = μmgcosθR/I$
Impongo che a sia diverso da αR e trovo θ che lo soddisfi.
Scusate la probabile lunghezza ma, facendo fisica e avendo l'esame di fisica I a breve, sarei molto interessato a capire.
Grazie in anticipo!
Risposte
La forza di attrito statico va considerata, altroché! È quella che, col suo momento rispetto al CM del corpo che rotola sul piano inclinato, fa accelerare il corpo stesso, come vuole la 2^ equazione cardinale della dinamica: $M_e = (dL)/(dt)$ .
Leggi le risposte di navigatore in questa discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 01#p853696
La forza di attrito statico e il puro rotolamento non hanno a che fare una con l’altro, e un errore in cui cadono molti.
Leggi le risposte di navigatore in questa discussione:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 01#p853696
La forza di attrito statico e il puro rotolamento non hanno a che fare una con l’altro, e un errore in cui cadono molti.
Grazie per la risposta.
Infatti ci avevo pensato anche io, ma come mai non lo specificano nel testo e non mi danno il valore del coefficiente d'attrito?Essendo un testo d'esame vorrei ben sperare non sia sbagliato.
Per quanto riguarda il punto (3), può andare il procedimento?
Infatti ci avevo pensato anche io, ma come mai non lo specificano nel testo e non mi danno il valore del coefficiente d'attrito?Essendo un testo d'esame vorrei ben sperare non sia sbagliato.
Per quanto riguarda il punto (3), può andare il procedimento?
Il moto di rotolamento lungo il piano inclinato, senza strisciamento, avviene con accelerazione costante del CM data da :
$a=(gsenalpha)/(1+ I_c/(mR^2))$
Quindi ilCM si muove di moto uniformemente accelerato , in cui :
$v=at$
$s=1/2at^2$
che non credo tu abbia difficoltà a risolvere. Tornando all’accelerazione, il corpo che ha minor momento di inerzia ha maggior accelerazione, quindi è la sfera quella che arriva per prima.
La velocità finale è data da: $v=sqrt(2aL)$ .
Non capisco che cosa hai fatto. L’attrito è statico, non dinamico.b
$a=(gsenalpha)/(1+ I_c/(mR^2))$
Quindi ilCM si muove di moto uniformemente accelerato , in cui :
$v=at$
$s=1/2at^2$
che non credo tu abbia difficoltà a risolvere. Tornando all’accelerazione, il corpo che ha minor momento di inerzia ha maggior accelerazione, quindi è la sfera quella che arriva per prima.
La velocità finale è data da: $v=sqrt(2aL)$ .
Non capisco che cosa hai fatto. L’attrito è statico, non dinamico.b
Mi chiede chi dei due esce prima dal puro rotolamento e a quale inclinazione, come dovrei usarle le leggi orarie?
Io ho pensato che escono dal puro rotolamento quanto l'attrito statico raggiunge il suo massimo è per quello che ho usato la formula dell'attrito dinamico.
Io ho pensato che escono dal puro rotolamento quanto l'attrito statico raggiunge il suo massimo è per quello che ho usato la formula dell'attrito dinamico.
Se guardi il post di navigatore che ti ho indicato, ad un certo punto trovi il calcolo della forza di attrito statico, quella che causa l’accelerazione angolare, col suo momento rispetto al CM. Affinché il moto sia di puro rotolamento, questa forza di attrito deve essere minore o uguale alla “massima forza “ di attrito statico che si può avere tra corpo e piano; cioè dev’essere:
$F_a <=muN$
Questa è la condizione da verificare per i due corpi. Tieni presente che N è la componente normale della reazione del piano. In definitiva, la condizione scritta ti dà l’angolo massimo che il piano inclinato può formare con l’orizzontale , che dipende da $mu$ . Pensa che, se fosse $mu=0$ , cioè “piano liscio “ , non ci sarebbe affatto rotolamento, ma slittamento immediato.
Scusa se scrivo poco, sono all’estero e ho solo un vecchio cellulare, non il PC .
$F_a <=muN$
Questa è la condizione da verificare per i due corpi. Tieni presente che N è la componente normale della reazione del piano. In definitiva, la condizione scritta ti dà l’angolo massimo che il piano inclinato può formare con l’orizzontale , che dipende da $mu$ . Pensa che, se fosse $mu=0$ , cioè “piano liscio “ , non ci sarebbe affatto rotolamento, ma slittamento immediato.
Scusa se scrivo poco, sono all’estero e ho solo un vecchio cellulare, non il PC .
Visto che ti sei ammutolito, ti dico come procedere. La forza di attrito statico si dimostra essere data da :
$F_a=I_C/(I_C + mR^2) *mgsen\theta$
l’ho semplicemente copiata dal post di navigatore che ti ho detto. Si ricava con la prima eq. cardinale della dinamica. Affinchè il moto sia di puro rotolamento, deve essere:
$F_a<=\mumgcos\theta$
Se assumi il segno di uguaglianza, ottieni la condizione limite, cioè l’angolo massimo del piano con l’orizzontale , perché il corpo non scivoli ; angolo che dipende dal corpo attraverso $I_c$ , essendo assegnato $mu$.
È chiaro?
$F_a=I_C/(I_C + mR^2) *mgsen\theta$
l’ho semplicemente copiata dal post di navigatore che ti ho detto. Si ricava con la prima eq. cardinale della dinamica. Affinchè il moto sia di puro rotolamento, deve essere:
$F_a<=\mumgcos\theta$
Se assumi il segno di uguaglianza, ottieni la condizione limite, cioè l’angolo massimo del piano con l’orizzontale , perché il corpo non scivoli ; angolo che dipende dal corpo attraverso $I_c$ , essendo assegnato $mu$.
È chiaro?
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