Problema pioggia
L'altro giorno camminando sotto la pioggia mi sono chiesto: ci si bagna di più a correre o a camminare? Volevo provare a risolvere a livello matematico.
Allora supponiamo un parallelepipedo di base a*b e altezza h che deve percorrere una distanza l sotto una pioggia che cade con velocità costante vp ed ad una quantità paria a q ( [q]=m^3*s/m^2). Trovare la velocità per cui il parallelepipedo si bagna il meno possibile. I dati dovrebebro bastare per risolvere il problema. Ho provato a ragionarci su ma non sono ancora arrivato a nulla. Chiunque abbia qualche idea la posti. Grazie a tutti.
Allora supponiamo un parallelepipedo di base a*b e altezza h che deve percorrere una distanza l sotto una pioggia che cade con velocità costante vp ed ad una quantità paria a q ( [q]=m^3*s/m^2). Trovare la velocità per cui il parallelepipedo si bagna il meno possibile. I dati dovrebebro bastare per risolvere il problema. Ho provato a ragionarci su ma non sono ancora arrivato a nulla. Chiunque abbia qualche idea la posti. Grazie a tutti.
Risposte
Ci si dovrebbe bagnare di meno stando fermi, se si considera un intervallo di tempo uguale in cui ci si muove o si sta fermi e se la pioggia cade verticalmente.
L'idea di base dovrebbe essere che la quantità di pioggia che cade sulla superficie a*b quando è ferma o quando si muove è la stessa, mentre la quantità di pioggia che bagna le facce di superficie a*h o b*h varia a seconda di come ci si muove e quanto veloce ci si muove.
L'idea di base dovrebbe essere che la quantità di pioggia che cade sulla superficie a*b quando è ferma o quando si muove è la stessa, mentre la quantità di pioggia che bagna le facce di superficie a*h o b*h varia a seconda di come ci si muove e quanto veloce ci si muove.
Io preferisco definirla in modo leggermente diverso. Con pedice $r$ intendo ciò che si riferisce alla pioggia (rain) e con pedice $p$ ciò che si riferisce al parallelepipedo.
Il parallelepipedo percorre una distanza $d$ a velocità $v_p$ nel tempo:
$t=d/v_p$
Considero una portata volumetrica d'acqua (della pioggia) $q [m^3/s]$ che cade verticale...quindi con una velocità $v_r=q/(ab) [m/s]$. Questa è la componente verticale della velocità! Considero la velocità completa della pioggia come la composizione vettoriale di $v_r$ e $v_p$...praticamente come se il parallelepidepo fosse fermo ma con la pioggia che cade diagonale con un angolo che varia con la velocità di spostamento del corpo. Quindi:
$v=sqrt(v_r^2+v_p^2)[m/s]$
$Theta=arctan(v_r/v_p)[rad]$
Considerando la velocità inclinata bisogna anche valutare la proiezione dell'area investita dal flusso d'acqua:
$A=abcosTheta+hbsinTheta[m^2]$
Quindi la proiezione d'area sarà investita dal volume d'acqua:
$Q=qt=vAt=sqrt(v_r^2+v_p^2)*(abcosTheta+hbsinTheta)*d/v_p=db(acosTheta+hsinTheta)sqrt((v_r^2/v_p^2)+1)=db(acosTheta+hsinTheta)sqrt(1+1/(tan^2Theta)) [m^3]$
Io farei così almeno...poi lascio a chi ne ha voglia l'onere di derivare è vedere se ci sono massimi, minimi o cos'altro
Il parallelepipedo percorre una distanza $d$ a velocità $v_p$ nel tempo:
$t=d/v_p
Considero una portata volumetrica d'acqua (della pioggia) $q [m^3/s]$ che cade verticale...quindi con una velocità $v_r=q/(ab) [m/s]$. Questa è la componente verticale della velocità! Considero la velocità completa della pioggia come la composizione vettoriale di $v_r$ e $v_p$...praticamente come se il parallelepidepo fosse fermo ma con la pioggia che cade diagonale con un angolo che varia con la velocità di spostamento del corpo. Quindi:
$v=sqrt(v_r^2+v_p^2)[m/s]$
$Theta=arctan(v_r/v_p)[rad]$
Considerando la velocità inclinata bisogna anche valutare la proiezione dell'area investita dal flusso d'acqua:
$A=abcosTheta+hbsinTheta[m^2]$
Quindi la proiezione d'area sarà investita dal volume d'acqua:
$Q=qt=vAt=sqrt(v_r^2+v_p^2)*(abcosTheta+hbsinTheta)*d/v_p=db(acosTheta+hsinTheta)sqrt((v_r^2/v_p^2)+1)=db(acosTheta+hsinTheta)sqrt(1+1/(tan^2Theta)) [m^3]$
Io farei così almeno...poi lascio a chi ne ha voglia l'onere di derivare è vedere se ci sono massimi, minimi o cos'altro
Colleghi! Ho la soluzione: comprare un ombrello!
A parte gli scherzi, volendo guardare al problema reale, mi sembra che il parallelepipedo sia un'approssimazione piuttosto larga di un corpo umano. Inoltre la pioggia non cade mai in una singola direzione (verticale, obliqua), causa vento. Inoltre a seconda della velocità di movimento il corpo di inclina più o meno in avanti modificando di molto l'area effettivamente colpita (colpibile) dalla pioggia.
A livello empirico mi sembra che correndo si becchi molta meno pioggia. Dato che Pisa è parecchio piovosa in questi giorni vi assicuro che farò degli esperimenti e vi farò sapere.
A parte gli scherzi, volendo guardare al problema reale, mi sembra che il parallelepipedo sia un'approssimazione piuttosto larga di un corpo umano. Inoltre la pioggia non cade mai in una singola direzione (verticale, obliqua), causa vento. Inoltre a seconda della velocità di movimento il corpo di inclina più o meno in avanti modificando di molto l'area effettivamente colpita (colpibile) dalla pioggia.
A livello empirico mi sembra che correndo si becchi molta meno pioggia. Dato che Pisa è parecchio piovosa in questi giorni vi assicuro che farò degli esperimenti e vi farò sapere.
[asvg]xmin=0; xmax=3;
ymin=0; ymax=1000;
axes();
plot("160*((0.3*cos(x))+(1.8*sin(x)))*(sqrt(1+(1/((tan(x))^2))))");
stroke="red";
line([1.57079633,0], [1.57079633,1000]);[/asvg]
Questo è il grafico che ne risulta, il che è attendibile visto che si prende pioggia infinita se si sta fermi, e che all'aumentare della velocità si prende meno in testa e più in pancia (+ faccia)
La linea rossa indica i $90°$, cioè oltre quel valore il grafico non ha più senso perchè la pioggia comincerebbe ad arrivare da sotto. I $90°$ indicano il caso di velocità infinita! Non si può non prendere pioggia perchè comunque si sbatte con fronte del corpo contro la pioggia che ci si trova davanti.
Il grafico è fatto per:
$h=1.8[m]$
$a=0.3[m]$
$b=0.8[m]$
$d=200[m]$
Comunque il minimo è per velocità infinità, solo che il quel modo ci si prende una ondata d'acqua istantanea in pieno viso e corpo (hai i capelli asciutti ma con ciuffo stonfo!) e non essendoci tempo di evaporazione l'acqua ce la si becca proprio tutta. Per fare le cose serie è da considerare anche l'evaporazione dell'acqua e la sua variazione in base alla velocità, che varia anche lo scorrimento sul corpo e quindi la perdita di acqua per la spinta aerodinamica, e il tempo che serve all'abito per bagnarsi (in poco tempo la goccia magari fa a tempo solo ad appoggiarsi e non a bagnare)....un macello insomma!!
In definitiva, W Il Ciuffo Bagnato!!!
ymin=0; ymax=1000;
axes();
plot("160*((0.3*cos(x))+(1.8*sin(x)))*(sqrt(1+(1/((tan(x))^2))))");
stroke="red";
line([1.57079633,0], [1.57079633,1000]);[/asvg]
Questo è il grafico che ne risulta, il che è attendibile visto che si prende pioggia infinita se si sta fermi, e che all'aumentare della velocità si prende meno in testa e più in pancia (+ faccia)
La linea rossa indica i $90°$, cioè oltre quel valore il grafico non ha più senso perchè la pioggia comincerebbe ad arrivare da sotto. I $90°$ indicano il caso di velocità infinita! Non si può non prendere pioggia perchè comunque si sbatte con fronte del corpo contro la pioggia che ci si trova davanti.
Il grafico è fatto per:
$h=1.8[m]$
$a=0.3[m]$
$b=0.8[m]$
$d=200[m]$
Comunque il minimo è per velocità infinità, solo che il quel modo ci si prende una ondata d'acqua istantanea in pieno viso e corpo (hai i capelli asciutti ma con ciuffo stonfo!) e non essendoci tempo di evaporazione l'acqua ce la si becca proprio tutta. Per fare le cose serie è da considerare anche l'evaporazione dell'acqua e la sua variazione in base alla velocità, che varia anche lo scorrimento sul corpo e quindi la perdita di acqua per la spinta aerodinamica, e il tempo che serve all'abito per bagnarsi (in poco tempo la goccia magari fa a tempo solo ad appoggiarsi e non a bagnare)....un macello insomma!!
In definitiva, W Il Ciuffo Bagnato!!!
Giustamente come dice Megan00b, anche il fatto che ci si inclina è molto importante....questo mi fa cadere miseramente la speranza del ciuffo 
...ma se tengo la faccia su si salva tutto!
...ma se tengo la faccia su si salva tutto!
"Megan00b":
Colleghi! Ho la soluzione: comprare un ombrello!
Ma se giri con l'ombrello come fai a capire quando smette di piovere?
Ok non senti piu' il tic tic tic, ma non rovinatemi il metaforone
Comunque secondo me ci si bagna di piu' correndo (volete mettere quanti "sciaf" in piu?)
Morale della favola: restiamo tutti a casa con la cioccolata calda. Con questo comunico a tutti che io sono appena tornato da lezione e sto per inaugurare la stagione delle cioccolate calde. Alla vostra salute.
bhe.... bisogna specificare anche in che posizione è il parallelogramma....
ipotizzandolo fermo in posizione verticale rimarra praticamente asciutto...XD (con pioggia verticale)
infatti nn si bagnerà neanche la delimitazione superiore in quanto nn vi è spessore
mentre in tale posizione... bisogna vedere anche in che verso si deve spostare...
se si sposterà nella direzione di un qualsiasi vettore su di essa... rimarrà sempre ascitto..XD
mentre se si sposterà ad esempio nella direzione perpendicolare ad esso...
dato che la "grande" velocità deforma il tempo...
ossia più alta è la velocità relativa e più il tempo relativo rallenta... abbiamo che questo benedetto parallelogramma
+ viaggia veloce e + si becca tutta l'acqua che trova lungo lo spazio da lei temporaneamente occupato...
quindi in conclusione... meglio stare fermi 5 minuti sotto la pioggia che viaggiare alla velocità della luce per 5 minuti sotto la pioggia... XD
ipotizzandolo fermo in posizione verticale rimarra praticamente asciutto...XD (con pioggia verticale)
infatti nn si bagnerà neanche la delimitazione superiore in quanto nn vi è spessore
mentre in tale posizione... bisogna vedere anche in che verso si deve spostare...
se si sposterà nella direzione di un qualsiasi vettore su di essa... rimarrà sempre ascitto..XD
mentre se si sposterà ad esempio nella direzione perpendicolare ad esso...
dato che la "grande" velocità deforma il tempo...
ossia più alta è la velocità relativa e più il tempo relativo rallenta... abbiamo che questo benedetto parallelogramma
+ viaggia veloce e + si becca tutta l'acqua che trova lungo lo spazio da lei temporaneamente occupato...
quindi in conclusione... meglio stare fermi 5 minuti sotto la pioggia che viaggiare alla velocità della luce per 5 minuti sotto la pioggia... XD
un mio amico fisico tempo fa mi disse esattamente questa cosa che a correre sotto la pioggia ci si bagna molto di più a che a stare fermi(anche se secondo me c'è da vedere quanta pioggia cade... se è pioggerellina ci posso anche credere, ma con l'acqua abbondante....mah?)devo dire che lì per lì la frase mi colpì parecchio, ciò non toglie che io ho sempre l'ombrello in borsa anche in estate... perchè sopra tutto vige la legge di Murphi :piove solo se non hai l'ombrello con te... 
"Gigi":
ipotizzandolo fermo in posizione verticale rimarra praticamente asciutto...XD (con pioggia verticale)
infatti nn si bagnerà neanche la delimitazione superiore in quanto nn vi è spessore
In realtà l'area superiore è $a*b$ e altezza $h$...quindi stando fermo prende infinita acqua
"Gigi":
quindi in conclusione... meglio stare fermi 5 minuti sotto la pioggia che viaggiare alla velocità della luce per 5 minuti sotto la pioggia... XD
...di sicuro a parità di tempo d'esposizione, ma in uno spazio finito da percorrere come era il caso visto, il tempo di esposizione diminuisce (salvo condizioni di deformazione del tempo, quindi per $Theta$ non proprio a $90°$m a minore).
"matemix":
un mio amico fisico tempo fa mi disse esattamente questa cosa che a correre sotto la pioggia ci si bagna molto di più a che a stare fermi(anche se secondo me c'è da vedere quanta pioggia cade... se è pioggerellina ci posso anche credere, ma con l'acqua abbondante....mah?)
Sono d'accordo con te...andrebbe considerato il fatto che al variare della quantità della pioggia l'evaporazione può compensare o meno il deposito d'acqua. Ma è onoeroso considerare questo fattore in questa sede
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