Problema particella libera

[lp.brighel]

Una particella libera è descritta, nello stato iniziale, dalla formula $ psi (x,0)=Ne^((x^2)/(2sigma ^2) $. Con N opportuna costante di normalizzazione. Mi chiede di calcolare i valori medi di posizione, quantità di moto e energia in funzione del tempo.

Il mio problema è che non riesco ad arrivare all'espressione della funzione di schroedinger della particella in funzione del tempo. Ho trovato la base di autovettori $ psi n = e^(ikx) $ risolvendo l'equazione $ -ℏ^2/(2m)psin=Epsin $ con $ E=(ℏ^2k^2)/(2m) $ .
Ho poi ricostruito il pacchetto d'onda sfruttando la trasformata di fourier, ovvero:
$ \psi (x,t)= 1/(2\Pi ℏ)^(1/2)\int_{R}^{} e^(ikx)e^(-iE/ht) psi(k) \ dx $ ,
dove $ psi(k) $ è la trasformata di fourier di $ psi(x,0) $, ovvero $ psi(k) = 1/(2piℏ)^(1/2)int_(R)^() Ne^(-x^2/(2sigma ^2)e^(-ikx) dx $ .

Ora, il problema è che ricomponendo tutti i pezzi mi viene un integrale tremendo, e prima di provare a risolverlo vorrei sapere se è tutto giusto quello che ho fatto finora.

Grazie in anticipo per le risposte

[Sk_Anonymous]

Magari farlo un pezzetto per volta? Prima trova la funzione d'onda in rappresentazione degli impulsi, cioè trova la trasformata di fourier, poi scrivi l'integrale finale (in p o in k come hai fatto va bene uguale). A quel punto quello che trovi è un integrale notevole (o meglio notevole in mecc quantistica nel senso che ti ci metti una volta, te lo calcoli e poi vedi di ricordarlo perché comparirà spesso).