Problema Olifis 2Liv Meccanica
Ciao ragazzi! Scusate se vi assillo continuamente ma siete gli unici a cui posso rivolgermi 
Mi sto preparando per le olifis di quest'anno ( che si terranno 19 febbraio) e facendo problemi degli anni passati mi sono bloccato su uno riguardante la fisica meccanica del 2007... Questo è il testo:
http://i47.tinypic.com/1e59no.jpg
Nel primo punto non ho avuto problemi, mi è bastato applicare la condizione dell'equilibrio statico che la somma delle forze sia nulla, ma nel secondo dove si deve calcolare il rapporto $ (Delta m)/(Delta z) $ mi sono bloccato, ed è da due giorni che cerco di risolverlo da solo ma proprio non ci riesco...
Ho cercato di trovare inizialmente la relazione tra $ Delta m $ e $ Delta alpha $ e poi quella tra $ Delta z $ e $ Delta alpha $ per metterli a sistema, ma non riesco assolutamente a risolverlo... Vi posto il sistema che ottengo:
http://i50.tinypic.com/k3pqua.jpg
Io non riesco in nessun modo ad ottenere il rapporto richiesto
Mi sto preparando per le olifis di quest'anno ( che si terranno 19 febbraio) e facendo problemi degli anni passati mi sono bloccato su uno riguardante la fisica meccanica del 2007... Questo è il testo:http://i47.tinypic.com/1e59no.jpg
Nel primo punto non ho avuto problemi, mi è bastato applicare la condizione dell'equilibrio statico che la somma delle forze sia nulla, ma nel secondo dove si deve calcolare il rapporto $ (Delta m)/(Delta z) $ mi sono bloccato, ed è da due giorni che cerco di risolverlo da solo ma proprio non ci riesco...
Ho cercato di trovare inizialmente la relazione tra $ Delta m $ e $ Delta alpha $ e poi quella tra $ Delta z $ e $ Delta alpha $ per metterli a sistema, ma non riesco assolutamente a risolverlo... Vi posto il sistema che ottengo:
http://i50.tinypic.com/k3pqua.jpg
Io non riesco in nessun modo ad ottenere il rapporto richiesto
Risposte
Ciao!
Nel primo quesito mi viene: $m/M=2cosalpha$.
Nel secondo ho proceduto cosi' ( la tua soluzione non l'ho letta ): ho cercato lo spostamento '' $Deltaz$ '' in funzione della variazione dell'angolo '' $Deltaalpha$ '' ( da ora in poi chiamato '' $alpha'$ '' per convenienza ), poi '' $alpha'$ '' in funzione di '' $Deltam$ '', poi ricavo '' $k$ '' ( ponendo '' $Deltaz=1mm$ '' ).
Sia '' $Deltaz=kDeltam$ ''.
Concentriamoci sulla prima parte. Considera il triangolo rettangolo con angolo '' $alpha$ '' e cateto '' $a$ ''. A causa delle misure date anche l'altro cateto varra' '' $a=30$ ''. Introducendo la massetta abbiamo lo spostamento '' $Deltaz$ '', e considereremo il triangolo rettangolo che viene a formarsi; l'angolo da '' $alpha$ '' diventa '' $beta$ ''; sia '' $alpha'=alpha-beta$ ''.
$tg(alpha-alpha')=30/(30+Deltaz)$. Ma:
$(sen(alpha-alpha'))/(cos(alpha-alpha'))=30/(30+Deltaz)$. Che si sviluppa cosi':
$(senalphacosalpha'-cosalphasenalpha')/(cosalphacosalpha'+senalphasealpha')=30/(30+Deltaz)$.
Usando i valori dati e le approssimazioni trigonometriche ottieni ( controlla i calcoli ):
$Deltaz=(60alpha')/(1-alpha')$. Quindi:
$(60alpha')/(1-alpha')=kDeltam$. Ci serve il legame tra la variazione di angolo e la variazione di massa.
Prima abbiamo ottenuto: $m/M=2cosalpha$. Dai valori noti si ricava: $m=sqrt2$.
Tuttavia con l'aggiunta della massetta si ritorna all'equilibrio; avremo allora:
$(m+Deltam)/M=2cos(alpha-alpha')$. Da cui:
$(m+Deltam)/M=2cosalphacosalpha'+2senalphasenalpha'$. Risolvendo in maniera analoga a prima si ottiene:
$Deltam=sqrt2alpha'$. Sostituisci nell'equazione precedente di '' $Deltaz$ ''.
Siccome e' ricercata '' $k$ '' ed essendo gli spostamenti misurati al millimetro, direi di porre '' $Deltaz=1mm$ '' ( attenzione alle varie unita' di misura: non ho controllato ). Infatti la costante e' relativa al millimetro, come unita' di misura, quindi e' ragionevole calcolarla su '' $1mm$ ''. Con questo, e sostutuendo tutto il resto, '' $k$ '' puo' essere proprio ricavato.
Nel primo quesito mi viene: $m/M=2cosalpha$.
Nel secondo ho proceduto cosi' ( la tua soluzione non l'ho letta ): ho cercato lo spostamento '' $Deltaz$ '' in funzione della variazione dell'angolo '' $Deltaalpha$ '' ( da ora in poi chiamato '' $alpha'$ '' per convenienza ), poi '' $alpha'$ '' in funzione di '' $Deltam$ '', poi ricavo '' $k$ '' ( ponendo '' $Deltaz=1mm$ '' ).
Sia '' $Deltaz=kDeltam$ ''.
Concentriamoci sulla prima parte. Considera il triangolo rettangolo con angolo '' $alpha$ '' e cateto '' $a$ ''. A causa delle misure date anche l'altro cateto varra' '' $a=30$ ''. Introducendo la massetta abbiamo lo spostamento '' $Deltaz$ '', e considereremo il triangolo rettangolo che viene a formarsi; l'angolo da '' $alpha$ '' diventa '' $beta$ ''; sia '' $alpha'=alpha-beta$ ''.
$tg(alpha-alpha')=30/(30+Deltaz)$. Ma:
$(sen(alpha-alpha'))/(cos(alpha-alpha'))=30/(30+Deltaz)$. Che si sviluppa cosi':
$(senalphacosalpha'-cosalphasenalpha')/(cosalphacosalpha'+senalphasealpha')=30/(30+Deltaz)$.
Usando i valori dati e le approssimazioni trigonometriche ottieni ( controlla i calcoli ):
$Deltaz=(60alpha')/(1-alpha')$. Quindi:
$(60alpha')/(1-alpha')=kDeltam$. Ci serve il legame tra la variazione di angolo e la variazione di massa.
Prima abbiamo ottenuto: $m/M=2cosalpha$. Dai valori noti si ricava: $m=sqrt2$.
Tuttavia con l'aggiunta della massetta si ritorna all'equilibrio; avremo allora:
$(m+Deltam)/M=2cos(alpha-alpha')$. Da cui:
$(m+Deltam)/M=2cosalphacosalpha'+2senalphasenalpha'$. Risolvendo in maniera analoga a prima si ottiene:
$Deltam=sqrt2alpha'$. Sostituisci nell'equazione precedente di '' $Deltaz$ ''.
Siccome e' ricercata '' $k$ '' ed essendo gli spostamenti misurati al millimetro, direi di porre '' $Deltaz=1mm$ '' ( attenzione alle varie unita' di misura: non ho controllato ). Infatti la costante e' relativa al millimetro, come unita' di misura, quindi e' ragionevole calcolarla su '' $1mm$ ''. Con questo, e sostutuendo tutto il resto, '' $k$ '' puo' essere proprio ricavato.
Grazie per la risposta 
allora ho letto la tua spiegazione ma purtroppo non ci capisco molto... È forse dovuto al fatto che non ho ancora studiato la trigoniometria? Comunque stamattina mi ci sono rimesso e ho scoperto di aver fatto innanzitutto due errori "gravi", ponevo $ beta = alpha + Deltaalpha $ anzichè $ beta = alpha - Deltaalpha $, e poi non semplificavo $ m $ con $ 2Mcosalpha $ . Dopo aver sistemato queste cose e dopo un paio di calcoli ho ottenuto:
$ (Deltaz)/(Deltam) = (a/ (senalpha) + (Deltaz)/2)/ (M*senalpha*tanalpha) $
Inizialmente la formula mi sembrava sbagliata, infatti io non avevo $ Deltaz $ ma poi leggendo la tua risposta ho provato a porre $ Deltaz = 1mm $ e ho portato tutte le misure in grammi e millimetri ed il risultato ottenuto è giusto!
Quello che non capisco però è perchè si deve porre $ Deltaz = 1mm $... Non dovrebbe essere una scelta arbitraria dato che $ (Deltaz)/(Deltam) $ è costante no?... Ho l'impressione che ponendolo 1mm il fatto che riesca sia solo una coincidenza
allora ho letto la tua spiegazione ma purtroppo non ci capisco molto... È forse dovuto al fatto che non ho ancora studiato la trigoniometria? Comunque stamattina mi ci sono rimesso e ho scoperto di aver fatto innanzitutto due errori "gravi", ponevo $ beta = alpha + Deltaalpha $ anzichè $ beta = alpha - Deltaalpha $, e poi non semplificavo $ m $ con $ 2Mcosalpha $ . Dopo aver sistemato queste cose e dopo un paio di calcoli ho ottenuto:$ (Deltaz)/(Deltam) = (a/ (senalpha) + (Deltaz)/2)/ (M*senalpha*tanalpha) $
Inizialmente la formula mi sembrava sbagliata, infatti io non avevo $ Deltaz $ ma poi leggendo la tua risposta ho provato a porre $ Deltaz = 1mm $ e ho portato tutte le misure in grammi e millimetri ed il risultato ottenuto è giusto!
Quello che non capisco però è perchè si deve porre $ Deltaz = 1mm $... Non dovrebbe essere una scelta arbitraria dato che $ (Deltaz)/(Deltam) $ è costante no?... Ho l'impressione che ponendolo 1mm il fatto che riesca sia solo una coincidenza
Scusa, ho commesso piu' errorini, e ti riporto la mia soluzione riveduta.
- Intanto non c'era bisogno di porre '' $1mm$ '', nella formula bastava isolare '' $Deltam$ '' e notare il suo coefficiente ( '' $k$ '', appunto ). In ogni caso, dato che troviamo '' $Deltaz(alpha')$ '' e '' $alpha'(Deltam)$ '', ponendo '' $1mm$ '' si ricava semplicemente la massetta relativa a quello spostamento.
- Abomini con le unita' di misura ( spero di aver revisionato a dovere ).
- La fastidiosa conformazione dell''esperimento mi ha confuso: '' $Deltaz$ '' ( lo spostamento del piatto con la massetta ) non e' uguale a '' $Deltax$ '' ( lo spostamento di '' $M$ '' ). Ovvero passa la stessa porzione di filo, ma in altezza si dispone in maniera diversa. Con il teorema di Pitagora si ricava subito la relazione ( '' $Deltaz$ '', in relta', non e' direttamente proporzionale alla massetta ), ma a causa della piccola variazione dell'angolo possiamo porre, con ottima approssimazione: $Deltax=2Deltazsenalpha$. Si moltiplica per '' $2$ '' perche' ci sono due fili a sorreggere il piatto ( quello a sinistra tende a tirare su ).
Errori di distrazione. Sarebbe utile un disegno, ma non li so mettere... . Quindi immagina un triangolo rettangolo con i cateti '' $a$ '' e angolo in basso '' $alpha$ ''. L'introduzione della massetta porta giu' il piatto, e avremo il suo spostamento '' $Deltaz$ ''. L'angolo al vertice e' ora '' $beta$ ''. Quindi i cateti di questo triangolo rettangolo sono '' $a,a+Deltaz$ ''.
La nomenclatura e' quella del mio post precedente.
La trigonometria si studia al quarto anno del liceo scientifico ( per quanto riguarda il PNI non so ), e le leggi che ho usato sono tra le prime che studierai. '' $alpha'$ '' e' in radianti. La massa si trova in grammi.
Si ottiene: $Deltaz=(600alpha')/(1-alpha')$.
Dall'altra parte si ottiene: $Deltam=1000sqrt2alpha'$. Sostituendo otteniamo:
$Deltaz=(600(Deltam)/(1000sqrt2))/(1-(Deltam)/(1000sqrt2))$.
Sappiamo che la bilancia puo' misurare il peso di corpi con masse piccole, quindi e' precisa entro i limiti sperimentali per masse da pochi grammi. Direi che '' $(Deltam)/(1000sqrt2)$ '' puo' essere trascurato, lasciando solo '' $1$ '' al denominatore.
Rimane: $Deltaz=(0,6)/sqrt2Deltam$. Ma '' $Deltax=sqrt2Deltaz$ '' e proprio per esso e' supposta la proporzionalita' diretta.
Quindi: $Deltax=0,6Deltam$. Da cui:
$k=0,6(mm)/(g)$.
Mi viene questo risultato.
- Intanto non c'era bisogno di porre '' $1mm$ '', nella formula bastava isolare '' $Deltam$ '' e notare il suo coefficiente ( '' $k$ '', appunto ). In ogni caso, dato che troviamo '' $Deltaz(alpha')$ '' e '' $alpha'(Deltam)$ '', ponendo '' $1mm$ '' si ricava semplicemente la massetta relativa a quello spostamento.
- Abomini con le unita' di misura ( spero di aver revisionato a dovere ).
- La fastidiosa conformazione dell''esperimento mi ha confuso: '' $Deltaz$ '' ( lo spostamento del piatto con la massetta ) non e' uguale a '' $Deltax$ '' ( lo spostamento di '' $M$ '' ). Ovvero passa la stessa porzione di filo, ma in altezza si dispone in maniera diversa. Con il teorema di Pitagora si ricava subito la relazione ( '' $Deltaz$ '', in relta', non e' direttamente proporzionale alla massetta ), ma a causa della piccola variazione dell'angolo possiamo porre, con ottima approssimazione: $Deltax=2Deltazsenalpha$. Si moltiplica per '' $2$ '' perche' ci sono due fili a sorreggere il piatto ( quello a sinistra tende a tirare su ).
Errori di distrazione. Sarebbe utile un disegno, ma non li so mettere... . Quindi immagina un triangolo rettangolo con i cateti '' $a$ '' e angolo in basso '' $alpha$ ''. L'introduzione della massetta porta giu' il piatto, e avremo il suo spostamento '' $Deltaz$ ''. L'angolo al vertice e' ora '' $beta$ ''. Quindi i cateti di questo triangolo rettangolo sono '' $a,a+Deltaz$ ''.
La nomenclatura e' quella del mio post precedente.
La trigonometria si studia al quarto anno del liceo scientifico ( per quanto riguarda il PNI non so ), e le leggi che ho usato sono tra le prime che studierai. '' $alpha'$ '' e' in radianti. La massa si trova in grammi.
Si ottiene: $Deltaz=(600alpha')/(1-alpha')$.
Dall'altra parte si ottiene: $Deltam=1000sqrt2alpha'$. Sostituendo otteniamo:
$Deltaz=(600(Deltam)/(1000sqrt2))/(1-(Deltam)/(1000sqrt2))$.
Sappiamo che la bilancia puo' misurare il peso di corpi con masse piccole, quindi e' precisa entro i limiti sperimentali per masse da pochi grammi. Direi che '' $(Deltam)/(1000sqrt2)$ '' puo' essere trascurato, lasciando solo '' $1$ '' al denominatore.
Rimane: $Deltaz=(0,6)/sqrt2Deltam$. Ma '' $Deltax=sqrt2Deltaz$ '' e proprio per esso e' supposta la proporzionalita' diretta.
Quindi: $Deltax=0,6Deltam$. Da cui:
$k=0,6(mm)/(g)$.
Mi viene questo risultato.
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