Problema moto relativi moto di un proietttile

[indovina]

Ciao a tutti, vorrei postare un problema a cui non riesco a trovare una buona risoluzione.
Allego il testo integrale del problema, più il disegno stesso del problema del libro.
Ecco i link:

[img]http://img852.imageshack.us/i/problemaz.jpg/[/img]
[img]http://img833.imageshack.us/i/65370618.jpg/
[/img]

la velocità iniziale del proiettile con la componente x viene frenata per la velocità contraria V, in formule sarebbe:
$V_x = V_0 *cos alpha + V$

calcolo la gittata e a mezza gittata calcolo z:
$2*h = ((V_0)^2 *2 sin alpha * cos alpha)/g$

da cui:
$h*g = (V_0)^2)*sin alpha * cos alpha$
e quindi mi trovo $V_0$:
$V_0 = sqrt( h*g/(sin alpha * cos alpha))$
questo valore lo metto nella prima relazione e mi trovo $V_x$, che rispetto al risultato ha una discrepanza di 1.....(risultato sarebbe: $V_x=sqrt(g*h/2)$)

Vado alla ricerva di $V_z$:
dal momento che la formula: $V^2 = V_0z - 2*g*h$ non dipenda dalla particolare traiettoria di un punto materiale, e dal momento che mi sto considerando il moto a mezza gittata, dunque con $V_oz$ quando è in cima, che è 0 dovrebbe venire:
$0= (V_0z)^2 - 2*g*h$
da cui
$V_0z =sqrt( 2*g*h)$

trovato vx e vy per trovarmi $alpha = arctan(vy/vx)$
il problema è $V_x$....
La mia domanda è: come mai nel risultato non c'è nulla in funzione di $V$?

[cyd1]

hai $vec(V) = vec(V)c + vec(V)'$ dove $vec(V)$ è la velocità rispetto il sistema di riferimento (e quindi anche del bersaglio) $vec(V)c$ è la veocità del carrello e $vec(V)'$ quella iniziale del proiettile.

quindi $ { ( dot(x)(0) = 2 + Vxo ),( dot(y)(0) = Vyo ):} $
inoltre se prendiamo come asse y l'asse su cui c'è il bersaglio e come ascisse quella da dove parte il proiettile si ha $ { ( x(0) = -h ),( y(0) = 0 ):} $
e queste sono le condizioni iniziali.

si ha
$ { ( mddot(x) = 0 ),( mddot(y) = -mg ):} $
integrando e imponendo le condizioni iniziali
$ { ( dot(x) = dot(x)(0) = 2 + Vxo ),( dot(y) = - g t + Vyo ):} $

da cui
$ { ( x(t) = (2 + Vxo)t -h ),( y(t) = -1/2g t^2 + Vyo t ):} $

eliminando il tempo si ha la traiettoria:
$ y(x) = -1/2g(x+h)^2/(Vxo + 2)^2 + Vyo*(x+h)/(Vxo +2)$

per trovare $Vxo$ e $Vyo$ io farei cosi:

impongo che la traiettoria comprenda il punto (0,h) sostituendo (x,y(x)) = (0,h) nella traiettoria e questo mi da un'equazione in $Vxo$ e $Vyo$:
$Vyo = Vxo + 2 + 1/2g h/(Vxo +2)$

a questo punto per imporre che al culmine dell'altezza il proiettile colpisca il bersaglio puoi fare in due modi,
o imponi Vy = 0 , calcoli il tempo in cui è soddisfatta dalle equazioni del moto e poi imponi che in quell'istante la posizione sia (0,h) oppure calcoli la derivata della traiettoria e la poni = 0 in (0,h)

in entrambi i casi dovresti avere un'altra equazione nelle variabili $Vxo$ e $Vyo$

$dot(y) = 0 <=> t' = (Voy)/g $
$x(t') = 0 <=> (2 + Vxo)*Vyo -h =0 <=> Vyo = (gh)/(Vxo +2)$

sostituendo nell'altra eq si ha $ (Vxo + 2)^2 = 1/2g h $ cioè $Vx = Vxo +2 = sqrt((g h)/2) -> Vxo = sqrt((g h)/2) -2$
mentre da quella di prima $Vyo = (gh)/(sqrt((gh)/2)) = sqrt(2gh)$

poi l'angolo lo trovi con $theta = arctg((Voy)/(Vxo ))$

non sonon sicuro che sia giusto, ma per me il ragionamento è questo.

[indovina]

Ciao ho letto il tuo procedimento, sembra filare, ma non capisco il perchè non si trovi con i risultato del libro.
ovvero:
$V_ox=sqrt(gh/2)$, come se non dipendesse nulla dalla velocità data all'inizio, che invece secondo me è importante perchè si oppone al moto.

Off topic (che tanto off topic non è)
avresti da darmi delle 'dritte' su come 'operare' con i problemi sui moti relativi che me ne vengono 1 sì e 2 no.....sto vedendo anche altri post su matematicamente, non volevo aprire un altro topic.

[cyd1]

"clever":Ciao ho letto il tuo procedimento, sembra filare, ma non capisco il perchè non si trovi con i risultato del libro.
ovvero:
$V_ox=sqrt(gh/2)$, come se non dipendesse nulla dalla velocità data all'inizio, che invece secondo me è importante perchè si oppone al moto.

cioè? Vox è la velocità iniziale, è quella 'relativa', cioè misurata rispetto al carrello, la velocità assoluta iniziale è $2 + Vox$

Off topic (che tanto off topic non è)
avresti da darmi delle 'dritte' su come 'operare' con i problemi sui moti relativi che me ne vengono 1 sì e 2 no.....sto vedendo anche altri post su matematicamente, non volevo aprire un altro topic.

beh che dritte potrò darti che vadano oltre alle equazioni di composizione...
di solito io ricavo tali equazioni ogni volta da capo per ogni problema partendo dall'identità $(P-O)=(O'-O) - (P-O')$ cn O=origine sistema fisso e O' origine del sistema mobile
derivando man mano e eliminandole componenti che nel caso specifico risultano nulle.
una volta che hai
$vec(V)a = vec(V)r + vec(V)t$
$vec(a)a = vec(a)r + vec(a)c + vec(a)t$

sei a cavallo, per un problema di dinami ca spesso ti si può chiedere l'equilibrio relativo e in quel caso consideri che le forze si possono suddividere in due grandi classi, quelle 'assolute' dovute all'azione di altri corpi' e quelle 'apparenti' che nascono se si vede la cosa dal riferimento non inerziale.
beh una volta note le forze assolute sai che $m vec(a)a = sum(vec(F))$
e $vec(a)r = vec(a)a - vec(a)c - vec(a)t$

poi puoi imporre le condizioni che vuoi, esempio l'equilibrio .
per trovare l'equilibrio relativo per esempio basta porre $m vec(a)r = 0$ e quindi risolvere $sum(vec(F)) - m vec(a)c - m vec(a)t = vec(0)$ (nota imponendo l'equilibrio devi imporre nulla la velocità relative, quindi tutti i termini che la moltiplicano diventano nulli (ad esempio $vec(a)c = 2 vec(omega) xx vec(v)r = vec(0) $)

se invece è solo un problema di velocità, come questo, beh dipende un po dal problema, in questo caso conveniva trattare il problema dal riferimento assoluto
tenendo conto che la velocità era la somma tra quella del carrellino e quella di sparo.