Problema moto circolare uniforme
Una curva a raggio costante inclinata verso l'interno di un'autostrada è stata progettata per una velocità di $60(km)/h$. Il raggio della curva è $200m$ In una giornata di maltempo il traffico si svolge a $40(km)/h$. Qual è il minimo coefficiente di attrito fra strada e battistrada che consentirà ai veicoli di superare la curva senza uscire di strada?
Pongo l'asse $x$ quello in cui giace la forza centripeta. Le forze in gioco relativamente all'asse $x$ sono tre: la componente $x$ della forza di gravità (positiva), la forza centripeta e la forza di attrito dinamico $f_k = \mu_k F_N$, che ha stessa direzione della forza centripeta ma verso opposto. Devo trovare $\mu_k$.
La forza centripeta è data da $F= (mv^2)/R$.
Oltre al fatto che non conoscendo l'inclinazione della strada rispetto a un piano orizzontale né la massa del veicolo non so proprio come determinare la componente $x$ della forza peso, non riesco a capire a cosa mi serve sapere che la curva è stata progettata per una velocità di $60(km)/h$ quando io sto considerando il caso in cui ci sia maltempo (e quindi la velocità massima sarebbe $40(km)/h$).
Qualche consiglio?
Pongo l'asse $x$ quello in cui giace la forza centripeta. Le forze in gioco relativamente all'asse $x$ sono tre: la componente $x$ della forza di gravità (positiva), la forza centripeta e la forza di attrito dinamico $f_k = \mu_k F_N$, che ha stessa direzione della forza centripeta ma verso opposto. Devo trovare $\mu_k$.
La forza centripeta è data da $F= (mv^2)/R$.
Oltre al fatto che non conoscendo l'inclinazione della strada rispetto a un piano orizzontale né la massa del veicolo non so proprio come determinare la componente $x$ della forza peso, non riesco a capire a cosa mi serve sapere che la curva è stata progettata per una velocità di $60(km)/h$ quando io sto considerando il caso in cui ci sia maltempo (e quindi la velocità massima sarebbe $40(km)/h$).
Qualche consiglio?
Risposte
"Progettata per una velocità di $60\text(km/h)$" significa che a quella velocità puoi fare tutta la curva in modo sicuro pur in assenza di attrito (come se fosse ghiaccio anzi nullo proprio 
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Ma quindi quel $40(km)/h$ non è la velocità superata la quale la macchina va fuori strada (in presenza di maltempo)?
No, per niente: a quaranta all'ora se non c'è un minimo di attrito la macchina esce sì di strada ma scivolando all'interno della curva … per restare in strada deve andare esattamente a sessanta all'ora (se non ci fosse attrito) … sembra paradossale ma è così … fortunatamente, anche quando piove, l'attrito c'è … ed è quello che ti hanno chiesto di trovare … 
… fortunatamente, anche quando piove, l'attrito c'è … ed è quello che ti hanno chiesto di trovare …
Ok, ora almeno ho capito il testo del problema...
Non riesco a capire però come lo possa risolvere. Le forze chiave che devo considerare sono queste:
$f_k= mu_k F_N$
$F= (mv^2)/R$.
Ci sono quattro incognite nelle due equazioni. Inoltre rimane il fatto che, non conoscendo né la massa del veicolo né l'inclinazione della curva, io non sono in grado di determinare la componente della forza di gravità che mi interessa (che è diretta verso l'interno della pista)
Non riesco a capire però come lo possa risolvere. Le forze chiave che devo considerare sono queste:
$f_k= mu_k F_N$
$F= (mv^2)/R$.
Ci sono quattro incognite nelle due equazioni. Inoltre rimane il fatto che, non conoscendo né la massa del veicolo né l'inclinazione della curva, io non sono in grado di determinare la componente della forza di gravità che mi interessa (che è diretta verso l'interno della pista)
Inizia considerando la situazione a sessanta all'ora (l'hanno messa apposta )
In quel caso non c'è attrito quindi ci sono solo DUE forze: fai il tuo bel disegnino, il piano inclinato, il corpo, le due forze ...
)In quel caso non c'è attrito quindi ci sono solo DUE forze: fai il tuo bel disegnino, il piano inclinato, il corpo, le due forze ...
Nella situazione in cui la velocità è a $60(km)/h$ questo dovrebbe essere il diagramma delle forze. In questo caso la forza centripeta è data (credo) dalla componente $x$ della forza di gravità agente sul veicolo. Quindi posso scrivere $F_(p,x) = (mv^2)/R$, dove $F_(p,x)$ è appunto la componente $x$ della forza peso.
Se conoscessi l'angolo di inclinazione, potrei ricavarmi il modulo della forza centripeta; ma così non riesco ad inferire altro.
Il modulo della forza normale $F_N$ è uguale a quello della componente $y$ della forza di gravità (essendo l'accelerazione lungo l'asse $y$ nulla).
L'accelerazione centripeta è $a=v^2/R= 1,38m/s^2$.
Anche analizzando questa situazione non mi si accende ancora la lampadina
(o forse non sto considerando qualcosa...?)
Guarda questa immagine dell'Halliday
Verticalmente la macchina è in equilibrio perciò abbiamo $mg=n*cos(theta)$ cioè il peso è controbilanciato dalla componente verticale della forza normale di reazione.
Orizzontalmente abbiamo una forza centripeta che è quella che serve a mantenere la macchina nella traiettoria circolare di raggio costante e quindi $F_c=ma_c=(mv^2)/r$ la quale "è generata"/"corrisponde" alla componente orizzontale della forza normale cioè $(mv^2)/r=n*sin(theta)$.
Se divido membro a membro le due equazioni ottengo $v^2/(rg)=tan(theta)$ ovvero l'angolo!
Adesso il resto …
Variando la velocità cosa cambia (e cosa no )? Rifletti
Verticalmente la macchina è in equilibrio perciò abbiamo $mg=n*cos(theta)$ cioè il peso è controbilanciato dalla componente verticale della forza normale di reazione.
Orizzontalmente abbiamo una forza centripeta che è quella che serve a mantenere la macchina nella traiettoria circolare di raggio costante e quindi $F_c=ma_c=(mv^2)/r$ la quale "è generata"/"corrisponde" alla componente orizzontale della forza normale cioè $(mv^2)/r=n*sin(theta)$.
Se divido membro a membro le due equazioni ottengo $v^2/(rg)=tan(theta)$ ovvero l'angolo!
Adesso il resto …
Variando la velocità cosa cambia (e cosa no
)? Rifletti
Scusa ma non mi torna una tua relazione.
A me risulta $n=mg cos theta$. Di seguito posto il disegno, speculare al diagramma che hai postato.
Le forze si possono scomporre come si vuole basta che ci sia coerenza.
Le mie formule sono coerenti coll'immagine che ho allegato? A me pare proprio di sì
Le formule che ho scritto non devono coincidere con le tue ma con la mia rappresentazione ...
Secondo te dove sarebbe il mio errore?
Le mie formule sono coerenti coll'immagine che ho allegato? A me pare proprio di sì
Le formule che ho scritto non devono coincidere con le tue ma con la mia rappresentazione ...
Secondo te dove sarebbe il mio errore?
Ho risposto frettolosamente.
Comunque, a me risulta $theta = 8°$; però per conoscere la forza centripeta mi serve ovviamente anche la massa dell'oggetto, e non credo sia possibile ricavarla dai dati del problema. Magari la massa non serve proprio, non so...
Comunque ho ancora un dubbio sul testo del problema: devo ricavare il minimo coefficiente di attrito statico o dinamico? Credo proprio quello statico, ma meglio non avere dubbi
Comunque, a me risulta $theta = 8°$; però per conoscere la forza centripeta mi serve ovviamente anche la massa dell'oggetto, e non credo sia possibile ricavarla dai dati del problema. Magari la massa non serve proprio, non so...
Comunque ho ancora un dubbio sul testo del problema: devo ricavare il minimo coefficiente di attrito statico o dinamico? Credo proprio quello statico, ma meglio non avere dubbi
Statico, ovviamente …
Non elecubrare troppo che poi ti perdi prima del tempo …
Prosegui come ho detto: cosa cambia? cosa NON cambia?
Non elecubrare troppo che poi ti perdi prima del tempo …
Prosegui come ho detto: cosa cambia? cosa NON cambia?
Forse ho capito.
Considero il caso in cui $v=40(km)/h$.
Ora l'accelerazione è $0,60 m/s^2$.
Le forze che agiscono sull'asse $x$ (dove l'asse $x$ è il piano inclinato dell'angolo $theta$ rispetto a un piano orizzontale) sono:
$-massa*0,60m/s^2 + f_(s,max) = - massa * 0,60m/s^2$.
Ho applicato la seconda legge di Newton, imponendo che la macchina si muova in moto circolare uniforme.
MODIFICO: la relazione invece è sbagliata, perché così verrebbe $mu_s=0$. Rifletterò ancora
Considero il caso in cui $v=40(km)/h$.
Ora l'accelerazione è $0,60 m/s^2$.
Le forze che agiscono sull'asse $x$ (dove l'asse $x$ è il piano inclinato dell'angolo $theta$ rispetto a un piano orizzontale) sono:
$-massa*0,60m/s^2 + f_(s,max) = - massa * 0,60m/s^2$.
Ho applicato la seconda legge di Newton, imponendo che la macchina si muova in moto circolare uniforme.
MODIFICO: la relazione invece è sbagliata, perché così verrebbe $mu_s=0$. Rifletterò ancora
Ora i conti mi tornano.
Nel primo caso ($v= 60(km)/h$), la forza centripeta mi veniva $F_c = -mg * sin(theta)$.
Nel secondo caso ($v= 40(km)/h$), la somma delle forze lungo l'asse $x$ ( dove l'asse $x$ è quell'asse che forma l'angolo $theta$ col piano orizzontale) deve dare la stessa forza centripeta. E quindi: $-massa * 0,60 m/s^2 + f_(s,max) = -massa * g * sin(theta)$.
So che $f_(s,max) = mu_s * F_N$, e quindi ho tutti i dati per risolvere l'equazione in $mu_s$. Con l'arrotondamento mi viene $mu_s = 0,08$
Nel primo caso ($v= 60(km)/h$), la forza centripeta mi veniva $F_c = -mg * sin(theta)$.
Nel secondo caso ($v= 40(km)/h$), la somma delle forze lungo l'asse $x$ ( dove l'asse $x$ è quell'asse che forma l'angolo $theta$ col piano orizzontale) deve dare la stessa forza centripeta. E quindi: $-massa * 0,60 m/s^2 + f_(s,max) = -massa * g * sin(theta)$.
So che $f_(s,max) = mu_s * F_N$, e quindi ho tutti i dati per risolvere l'equazione in $mu_s$. Con l'arrotondamento mi viene $mu_s = 0,08$
Sì, nel secondo caso la forza centripeta è minore rispetto alla forza generata dalla componente della normale che è ancora quella di prima ($n*sin(theta)$).
La parte che manca (la differenza fra le due centripete) viene fornita dall'attrito (o meglio dalla componente orizzontale dell'attrito)
Ok
La parte che manca (la differenza fra le due centripete) viene fornita dall'attrito (o meglio dalla componente orizzontale dell'attrito)
Ok
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