Problema moto circolare (cinematica)
La posizione di una particella in moto nel piano xy varia nel tempo secondo l'equazione r=3cos2t *i + 3sen2t *j ,dove r è in metri e t in s.(a) Mostrare che il percorso della particella è una circonferenza di centro l'origine e raggio 3 m. (suggerimento : sia 2t = teta). (b) Calcolare i vettori velocità ed accelerazione .(c) Mostrare che il vettore accelerazione punta sempre verso l'origine ( in verso opposto ad r) ed ha modulo v^2/r .
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Il mio problema è soprattutto nel punto (a).C'è un qualche teorema o qualcosa che mi dica che in generale cos (teta)+sen(teta) è collegabile alla circonferenza (un teorema, la definizione del cerchio etc..). Non è che sono così pratico XD
Per il punto (b) ho fatto solo le derivate (prima e seconda) e ok .
In particolare a=-12cos2t *i-12sen2t *j da cui ho potuto notare che a=-4r .Quindi posso sbrigarmela in (c) dicendo che l'accelerazione ha la stessa direzione di r ma visto che ha il segno negativo punta in verso opposto ossia verso l'origine (r so che punta verso l’esterno della circonferenza )? Basta solo questo ? E per la dimostrazione del suo modulo ?
Insomma, il punto (b) sui risultati mi torna però mi chiedo come mai visto che ho solo fatto le derivate e basta. Insomma, il vettore accelerazione dovrebbe essere costituito da un componente tangenziale e uno radiale visto che la velocità suppongo non sia costante perché mi risulta essere v=-6sen2t *i + 6cos2t *j dove t è una variabile. So che a_t=dv/dt quindi l’accelerazione totale dovrebbe essere (espressione vettoriale) a=dv/dt + v^2/r .Adesso risulta che invece l’accelerazione è solo la derivata prima della velocità ossia a=-12cos2t *i-12sen2t *j mentre io mi aspetto sia a=-12cos2t *i-12sen2t *j+v^2/r .
Quindi mi chiedo perché il punto (c) adesso mi chiede di dimostrare che il modulo dell’accelerazione è v^2/r quando non penso sia così ..! Cioè, prima ho calcolato l’accelerazione come derivata e adesso me la fa calcolare così ? Come se prima ci fosse solo un’accelerazione tangenziale e dopo solo un’accelerazione radiale??
Ps = so che l’accelerazione è la derivata della velocità però mi pare che questo dovrebbe valere solo se il moto non è curvilineo. In caso contrario essa è la somma di due accelerazioni di cui una è quella tangenziale (la derivata detta prima) e l’altra è quella radiale di modulo v^2/r . Che poi mi chiedo come voglia che io dimostri la formula v^2/r ..! La dimostrazione sul libro già c’è quindi suppongo che voglia qualche ragionamento del tipo quello che ho fatto con a=-4r . Nei risultati compare questo v^2/r=12 m/s^2 =|a| .. sempre se fosse davvero solo v^2/r! a me viene
a=v^2/r = [36sen^2(2t)+36cos^2(2t)] / [sqrt (9cos^2 (2t) + 9sen^2(2t)]
dove ho usato i moduli dei vettori r e v .Mi trovo in difficoltà a semplificare maggiormente e non vorrei fidarmi che venga 12 m/s^2 ..
Insomma,st'accelerazione nel moto circolare uniforme o non , non l'ho mai capita..! Qualcuno mi dica due parole per capire quest'esercizio e l'argomento..!
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Il mio problema è soprattutto nel punto (a).C'è un qualche teorema o qualcosa che mi dica che in generale cos (teta)+sen(teta) è collegabile alla circonferenza (un teorema, la definizione del cerchio etc..). Non è che sono così pratico XD
Per il punto (b) ho fatto solo le derivate (prima e seconda) e ok .
In particolare a=-12cos2t *i-12sen2t *j da cui ho potuto notare che a=-4r .Quindi posso sbrigarmela in (c) dicendo che l'accelerazione ha la stessa direzione di r ma visto che ha il segno negativo punta in verso opposto ossia verso l'origine (r so che punta verso l’esterno della circonferenza )? Basta solo questo ? E per la dimostrazione del suo modulo ?
Insomma, il punto (b) sui risultati mi torna però mi chiedo come mai visto che ho solo fatto le derivate e basta. Insomma, il vettore accelerazione dovrebbe essere costituito da un componente tangenziale e uno radiale visto che la velocità suppongo non sia costante perché mi risulta essere v=-6sen2t *i + 6cos2t *j dove t è una variabile. So che a_t=dv/dt quindi l’accelerazione totale dovrebbe essere (espressione vettoriale) a=dv/dt + v^2/r .Adesso risulta che invece l’accelerazione è solo la derivata prima della velocità ossia a=-12cos2t *i-12sen2t *j mentre io mi aspetto sia a=-12cos2t *i-12sen2t *j+v^2/r .
Quindi mi chiedo perché il punto (c) adesso mi chiede di dimostrare che il modulo dell’accelerazione è v^2/r quando non penso sia così ..! Cioè, prima ho calcolato l’accelerazione come derivata e adesso me la fa calcolare così ? Come se prima ci fosse solo un’accelerazione tangenziale e dopo solo un’accelerazione radiale??
Ps = so che l’accelerazione è la derivata della velocità però mi pare che questo dovrebbe valere solo se il moto non è curvilineo. In caso contrario essa è la somma di due accelerazioni di cui una è quella tangenziale (la derivata detta prima) e l’altra è quella radiale di modulo v^2/r . Che poi mi chiedo come voglia che io dimostri la formula v^2/r ..! La dimostrazione sul libro già c’è quindi suppongo che voglia qualche ragionamento del tipo quello che ho fatto con a=-4r . Nei risultati compare questo v^2/r=12 m/s^2 =|a| .. sempre se fosse davvero solo v^2/r! a me viene
a=v^2/r = [36sen^2(2t)+36cos^2(2t)] / [sqrt (9cos^2 (2t) + 9sen^2(2t)]
dove ho usato i moduli dei vettori r e v .Mi trovo in difficoltà a semplificare maggiormente e non vorrei fidarmi che venga 12 m/s^2 ..
Insomma,st'accelerazione nel moto circolare uniforme o non , non l'ho mai capita..! Qualcuno mi dica due parole per capire quest'esercizio e l'argomento..!
Risposte
per il punto a) questa è chiaramente una circonferenza perchè se sostituisci 2t=teta (angolo al centro)
ti viene
r=3cos(teta)*i+3sen(teta)*j
i e j sono i due versori rispettivamente degli assi x e y.
in una circonferenza qualsiasi la posizione di un punto è data per l'asse x da r*cos(teta) e per l'asse y da r*sen(teta) con r il raggio di riferimento
ti viene
r=3cos(teta)*i+3sen(teta)*j
i e j sono i due versori rispettivamente degli assi x e y.
in una circonferenza qualsiasi la posizione di un punto è data per l'asse x da r*cos(teta) e per l'asse y da r*sen(teta) con r il raggio di riferimento
se il punto a ancora non ti è chiaro riguardati le relazioni fondamentali della trigonometria in un triangolo rettangolo.
Per il punto b) come mai dici che a=-4R ?
Per il punto b) come mai dici che a=-4R ?
Ho capito tutto quanto ..! Lasciate perdere tutto sto casino ..vorrei sapere solo due cose!
Il vettore accelerazione è la derivata del vettore velocità ?
L'accelerazione tangenziale è la derivata del modulo del vettore velocità ?
ps : dico che a=-4r perchè è così! Prova a sostituire a r il valore 3cos2t *i + 3sen2t *j (quello dato dal libro) e vedrai che corrisponde con la derivata seconda di r ..!
ps^2 : quindi modulo dell'accelerazione totale=sqrt( (derivata del modulo della velocità)^2 + ((v*v)/r)^2) ????
Il vettore accelerazione è la derivata del vettore velocità ?
L'accelerazione tangenziale è la derivata del modulo del vettore velocità ?
ps : dico che a=-4r perchè è così! Prova a sostituire a r il valore 3cos2t *i + 3sen2t *j (quello dato dal libro) e vedrai che corrisponde con la derivata seconda di r ..!
ps^2 : quindi modulo dell'accelerazione totale=sqrt( (derivata del modulo della velocità)^2 + ((v*v)/r)^2) ????
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