Problema Moto Circolare
Ciao a tutti questo è il testo del problema:
Un punto materiale si muove su una circonferenza con la legge $φ(t)=B*t^3$. Calcolare l'angolo che l'accelerazione forma con l'asse x la prima volta che ritorna su $φ=0$. (Il risultato non dipende da B.)
Non so dove mettere le mani qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo..
Un punto materiale si muove su una circonferenza con la legge $φ(t)=B*t^3$. Calcolare l'angolo che l'accelerazione forma con l'asse x la prima volta che ritorna su $φ=0$. (Il risultato non dipende da B.)
Non so dove mettere le mani qualcuno potrebbe aiutarmi? Grazie in anticipo..
Risposte
Metodo (1)
Detta R il raggio della circonferenza, in un sistema di riferimento x-y con origine nel centro della circonferenza, x, rivolto verso dx e y rivolto verso l'alto e $\varphi$ crescente in senso antiorario e nullo quando il raggio vettore e' parallelo a x
$x=Rcos\varphi=RcosBt^3$
$y=Rsin\varphi=RsinBt^3$
Da qui ricavi le accelerazioni per derivazione. Il punto passa per $2\pi$ all' istante $t_1=....?$. Da li e' facile calcolare l'angolo.
Metodo (2)
Cambiando il SDR in uno polare (raggio R e angolo $\varphi$), il moto ha due componenti di accelerazione:
Comp. tangenziale $a_t=R\ddot\varphi$
Comp. Normale $ a_n=-Rdot\varphi^2 $
Calcola per $t_1$ quando passa per $2\pi$.......
Detta R il raggio della circonferenza, in un sistema di riferimento x-y con origine nel centro della circonferenza, x, rivolto verso dx e y rivolto verso l'alto e $\varphi$ crescente in senso antiorario e nullo quando il raggio vettore e' parallelo a x
$x=Rcos\varphi=RcosBt^3$
$y=Rsin\varphi=RsinBt^3$
Da qui ricavi le accelerazioni per derivazione. Il punto passa per $2\pi$ all' istante $t_1=....?$. Da li e' facile calcolare l'angolo.
Metodo (2)
Cambiando il SDR in uno polare (raggio R e angolo $\varphi$), il moto ha due componenti di accelerazione:
Comp. tangenziale $a_t=R\ddot\varphi$
Comp. Normale $ a_n=-Rdot\varphi^2 $
Calcola per $t_1$ quando passa per $2\pi$.......
forse potresti:
-scrivere l'equazione parametrica della circonferenza (traiettoria del punto) con parametro il tuo angolo(ovvero scrivi la funzione vettoriale di variabile reale fi che ha come componenti x (fi) e y (fi))
-comporla con la funzione che hai messo la quale lega angolo al tempo
componendo le 2 funzioni ti rimane x=x (t) e y=y (t) da cui derivando 2 volte trovi il vettore a (t)
..ora a questo vettore sostituisci (qui' non sono certo) il valore di t per fi=2*pi e quindi hai a (fi=0)...da qui è facile trovare l'angolo che forma con l'asse delle x...hai il risultato per caso!?
ps intendevo esattamente il primo procedimento di professork..
i conti sono laboriosi ma non importa..ti deve rimanere il concetto...e qui i concetti di base sono:
-saper scrivere l'equazione paramentrica della traiettoria tramite "funzioni vettporiali di variabile reale"
-saper comporre le funzioni
sapere ovviamente che derivando 2 volte ottengo il vettore l'accelerazione
-scrivere l'equazione parametrica della circonferenza (traiettoria del punto) con parametro il tuo angolo(ovvero scrivi la funzione vettoriale di variabile reale fi che ha come componenti x (fi) e y (fi))
-comporla con la funzione che hai messo la quale lega angolo al tempo
componendo le 2 funzioni ti rimane x=x (t) e y=y (t) da cui derivando 2 volte trovi il vettore a (t)
..ora a questo vettore sostituisci (qui' non sono certo) il valore di t per fi=2*pi e quindi hai a (fi=0)...da qui è facile trovare l'angolo che forma con l'asse delle x...hai il risultato per caso!?
ps intendevo esattamente il primo procedimento di professork..
i conti sono laboriosi ma non importa..ti deve rimanere il concetto...e qui i concetti di base sono:-saper scrivere l'equazione paramentrica della traiettoria tramite "funzioni vettporiali di variabile reale"
-saper comporre le funzioni
sapere ovviamente che derivando 2 volte ottengo il vettore l'accelerazione
Io ora derivando due volte ottengo la componente x e y dell'accelerazione, fin qui è ok. Poi per trovare l'angolo cosa devo fare?
Devi ricordarti che il prodotto scalare tra 2 vettori (uno sarà la tua a e un altro parallelo all' asse x ad esempio prendi la proiezione di a su x) è uguale al prodotto del modulo dei 2 vettori per il coseno dell'angolo tra essi. quindi ti ricavi il coseno..quindi l'angolo! prova!
Ok dovrei moltiplicare ax per ay per cos tra loro ora provo...
mi viene che $alpha=arccos(4RB^2t^4(cos(Bt^3)+sin(Bt^3))$
no aspetta..il prodotto scalare lo devi fare tra 2 VETTORI non tra 2 componenti...ax e ay sono componenti di un vettore...ad esempio tu hai a=(ax, ay) ora devi prendere un vettore tipo v=(-1,0) che come vedi è lungo l'asse x. a questo punto fare il prodotto scalare tra a e v significa fare "la somma dei prodotti delle componenti omologhe" ovvero axv= ax*(-1)+ay*0...questo deve risultare uguale a |a|*|v|*cos(fi) quindi hai che ax*(-1)+ay*0=|a|*|v|cos (fi) da cui isoli cos (fi) e trovi fi...prova!;) ps mi raccomando il modulo di un vettore e' la radice quadrata della somma delle componenti al quadrato!
Ho fatto la radice quadrata della somma delle componenti quadrate ed ho ottenuto che $a=4RB^2t^4$
Ora moltiplico per il versore sull'asse x? Non riesco a capire...
Ora moltiplico per il versore sull'asse x? Non riesco a capire...
ci sono tanti modi per trovare l'angolo..solo che ora senza sapere le componenti di a non è facile...comunque prova a fare "arcos (ax/ |a|)" quello che viene fuori dovrebbe essere l'angolo...se torna il risultato ( spero tu lo abbia:) ne parliamo
ps |a|=quello che hai trovato tu quadrando e mettendo sotto radice
ps |a|=quello che hai trovato tu quadrando e mettendo sotto radice
Se facessì così:
$θ(t)=Bt^3$ quindi ottengo con le derivate $ω=3Bt^2$ e $alpha=6Bt$
Da omega ricavo che $v=ω*R$ e quindi $a_n=(v^2)/R$. Dall'altra invece trovo che $a_t=R*alpha$
Se faccio il rapporto tra $a_t$ e $a_n$ trovo l'angolo θ?
$θ(t)=Bt^3$ quindi ottengo con le derivate $ω=3Bt^2$ e $alpha=6Bt$
Da omega ricavo che $v=ω*R$ e quindi $a_n=(v^2)/R$. Dall'altra invece trovo che $a_t=R*alpha$
Se faccio il rapporto tra $a_t$ e $a_n$ trovo l'angolo θ?
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