Problema meccanica rotazionale - Dubbio
Buonasera, sto provando a risolvere alcuni temi d'esame di fisica relativi agli anni passati e mi sono imbattuto in questo (di cui ho inserito l'immagine relativa):
"Una carrucola costituita da due dischi concentrici incollati uno sull’altro, di masse M1=0,8 Kg e M2=1,5 Kg e raggi rispettivamente R1=0,4 m e R2 =0,6 m, e’ vincolata a ruotare in un piano verticale intorno al suo centro O. Intorno al disco piu’ piccolo e’ avvolto un filo al cui estremo e’ attaccato un blocco di massa m1=0,5 Kg che scivola senza attrito su un piano liscio, inclinato di un angolo θ=60° rispetto all’ orizzontale (vedi figura). Intorno al disco maggiore e’ avvolto un altro filo, al cui estremo libero e’ appesa una massa m2. Determinare:
a) l' accelerazione angolare della carrucola se m2 = 0,4 kg:
La soluzione proposta dal professore è
α = (m2gR2-m1gR1sinθ)/ (Io + m1R1^2 + m2R2^2 )= 1,17 rad/s2 , dove Io = M1R1^2/2 + M2R2^2/ 2 = 0,334 Kg m2
Ho cercato di ricavare questa formula considerando separatamente i due corpi e scrivendo le equazioni delle forze e dei momenti:
T2 è la tensione della corda relativa al blocco m2 che provoca un momento negativo sul rispettivo disco; T1 è la tensione della corda relativa al blocco m1 che provoca un momento positivo sul rispettivo disco; I1 è il momento di inerzia del primo disco (1/2 M1R1^2 = 0,064 kg*m^2); I2 è il momento di inerzia del secondo disco (1/2 M2R2^2 = 0,27 kg*m^2)
T2 = m2g-m2 α R2
T1 = m1gsenθ + m1αR1
T1R1=αI1
T2R2 = -αI2
Essendo comune l'accelerazione angolare ho ottenuto questa relazione tra T2 e T1
Da cui T2 = -T1 * (R1/I1)*(I2/R2) = - 2,8125 T1
Sostituendo i dati del problema alle lettere:
T2= 0,4*9,8-0,4*0,6*α
T1 = 0,5*9,8*sen(60)+0,5*0,4α
Risolvendo si trova che α vale circa -49,16 radianti al secondo quadrato molto diversa dalla soluzione corretta.
In questo caso non è proprio possibile considerare separatamente i due dischi?
Per risolvere è obbligatorio utilizzare la formula proposta nella soluzione del tema d'esame?
Ringrazio in anticipo coloro che si interesseranno al problema.
"Una carrucola costituita da due dischi concentrici incollati uno sull’altro, di masse M1=0,8 Kg e M2=1,5 Kg e raggi rispettivamente R1=0,4 m e R2 =0,6 m, e’ vincolata a ruotare in un piano verticale intorno al suo centro O. Intorno al disco piu’ piccolo e’ avvolto un filo al cui estremo e’ attaccato un blocco di massa m1=0,5 Kg che scivola senza attrito su un piano liscio, inclinato di un angolo θ=60° rispetto all’ orizzontale (vedi figura). Intorno al disco maggiore e’ avvolto un altro filo, al cui estremo libero e’ appesa una massa m2. Determinare:
a) l' accelerazione angolare della carrucola se m2 = 0,4 kg:
La soluzione proposta dal professore è
α = (m2gR2-m1gR1sinθ)/ (Io + m1R1^2 + m2R2^2 )= 1,17 rad/s2 , dove Io = M1R1^2/2 + M2R2^2/ 2 = 0,334 Kg m2
Ho cercato di ricavare questa formula considerando separatamente i due corpi e scrivendo le equazioni delle forze e dei momenti:
T2 è la tensione della corda relativa al blocco m2 che provoca un momento negativo sul rispettivo disco; T1 è la tensione della corda relativa al blocco m1 che provoca un momento positivo sul rispettivo disco; I1 è il momento di inerzia del primo disco (1/2 M1R1^2 = 0,064 kg*m^2); I2 è il momento di inerzia del secondo disco (1/2 M2R2^2 = 0,27 kg*m^2)
T2 = m2g-m2 α R2
T1 = m1gsenθ + m1αR1
T1R1=αI1
T2R2 = -αI2
Essendo comune l'accelerazione angolare ho ottenuto questa relazione tra T2 e T1
Da cui T2 = -T1 * (R1/I1)*(I2/R2) = - 2,8125 T1
Sostituendo i dati del problema alle lettere:
T2= 0,4*9,8-0,4*0,6*α
T1 = 0,5*9,8*sen(60)+0,5*0,4α
Risolvendo si trova che α vale circa -49,16 radianti al secondo quadrato molto diversa dalla soluzione corretta.
In questo caso non è proprio possibile considerare separatamente i due dischi?
Per risolvere è obbligatorio utilizzare la formula proposta nella soluzione del tema d'esame?
Ringrazio in anticipo coloro che si interesseranno al problema.
Risposte
I due dischi sono incollati, perchè vuoi considerarli separati ? Cioè , la puleggia che ruota è unica.
Piuttosto, ti sei reso conto di come il tuo docente è arrivato a quella formula per $alpha$ ?
Si tratta di applicare la seconda cardinale della dinamica : il momento delle forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare , e cioè :
$M_e = (dL)/(dt) = Ialpha \rightarrow alpha = M_e/I$
Piuttosto, ti sei reso conto di come il tuo docente è arrivato a quella formula per $alpha$ ?
Si tratta di applicare la seconda cardinale della dinamica : il momento delle forze esterne è uguale alla variazione del momento angolare , e cioè :
$M_e = (dL)/(dt) = Ialpha \rightarrow alpha = M_e/I$
Nessuna risposta. Allora scrivo io.
La massa $m_2$ scende in verticale, la massa $m_1$ sale lungo il piano inclinato. Le loro accelerazioni lineari non sono uguali. La 2º equazione della dinamica per $m_2$ , in forma scalare , è:
$m_2a_2=m_2g-T_2 rightarrow T_2=m_2(g-a_2)=m_2(g-alphaR_2)$
In cui $T_2$ è la tensione nel filo che sostiene $m_2$ , $alpha $ è l'accelerazione angolare della puleggia composta dai due dischi solidali, e $R_2$ è il raggio del disco più grande.
Analogamente , scrivendo la 2º equazione della dinamica per la massa $m_1$ , si trova che la tensione $T_1$ vale:
$T_1 = m_1 (gsentheta + alphaR_1) $
Perciò , la puleggia è sottoposta al momento motore ,orario, dovuto alla tensione $T_2$ del filo di destra, che vale in modulo :
$M_m = T_2R_2 = m_2gR_2 - m_2alphaR_2^2 $
e al momento resistente , antiorario, dovuto alla tensione $T_1$ del filo di sinistra , che vale in modulo :
$M_r = T_1R_1 = m_1gsenthetaR_1 + m_1alpha R_1^2$
Per la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi , deve essere :
$M_m -M_r = I_0alpha $
Ovviamente $I_0$ è la somma dei momenti di inerzia assiali dei due dischi accoppiati.
Cioè : $ m_2gR_2 - m_2alphaR_2^2 -m_1gsenthetaR_1 - m_1alpha R_1^2 = I_0alpha $
da cui :
$alpha ( m_2R_2^2 + m_1R_1^2 + I_0) = g(m_2R_2 - m_1senthetaR_1)$
la quale fornisce l'accelerazione angolare : $alpha =g(m_2R_2 - m_1senthetaR_1)/( m_2R_2^2 + m_1R_1^2 + I_0)$
La massa $m_2$ scende in verticale, la massa $m_1$ sale lungo il piano inclinato. Le loro accelerazioni lineari non sono uguali. La 2º equazione della dinamica per $m_2$ , in forma scalare , è:
$m_2a_2=m_2g-T_2 rightarrow T_2=m_2(g-a_2)=m_2(g-alphaR_2)$
In cui $T_2$ è la tensione nel filo che sostiene $m_2$ , $alpha $ è l'accelerazione angolare della puleggia composta dai due dischi solidali, e $R_2$ è il raggio del disco più grande.
Analogamente , scrivendo la 2º equazione della dinamica per la massa $m_1$ , si trova che la tensione $T_1$ vale:
$T_1 = m_1 (gsentheta + alphaR_1) $
Perciò , la puleggia è sottoposta al momento motore ,orario, dovuto alla tensione $T_2$ del filo di destra, che vale in modulo :
$M_m = T_2R_2 = m_2gR_2 - m_2alphaR_2^2 $
e al momento resistente , antiorario, dovuto alla tensione $T_1$ del filo di sinistra , che vale in modulo :
$M_r = T_1R_1 = m_1gsenthetaR_1 + m_1alpha R_1^2$
Per la seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi , deve essere :
$M_m -M_r = I_0alpha $
Ovviamente $I_0$ è la somma dei momenti di inerzia assiali dei due dischi accoppiati.
Cioè : $ m_2gR_2 - m_2alphaR_2^2 -m_1gsenthetaR_1 - m_1alpha R_1^2 = I_0alpha $
da cui :
$alpha ( m_2R_2^2 + m_1R_1^2 + I_0) = g(m_2R_2 - m_1senthetaR_1)$
la quale fornisce l'accelerazione angolare : $alpha =g(m_2R_2 - m_1senthetaR_1)/( m_2R_2^2 + m_1R_1^2 + I_0)$
Grazie dell'esauriente spiegazione!
Dovevo quindi inserire immediatamente la somma dei due momenti nell'equazione di Newton con momento di inerzia pari a quello del sistema e non considerare i due dischi come sistemi isolati, ciascuno con il suo momento d'inerzia.
Dovevo quindi inserire immediatamente la somma dei due momenti nell'equazione di Newton con momento di inerzia pari a quello del sistema e non considerare i due dischi come sistemi isolati, ciascuno con il suo momento d'inerzia.
Prego. Ti faccio notare una cosa . L'accelerazione angolare è il rapporto tra il momento delle forze esterne al sistema, che sono le due forze peso (rispetto al centro di rotazione), e il momento di inerzia: è un momento di inerzia complessivo, che include quello dei dischi e quello di due masse puntiformi $m_1$ ed $m_2$ , come se queste fossero concentrate ai rispettivi raggi.
Ed è logico: le forze esterne devono non solo mettere in rotazione i dischi, ma anche tirarsi dietro le due masse.
Tutto ha un senso in fisica.
Ed è logico: le forze esterne devono non solo mettere in rotazione i dischi, ma anche tirarsi dietro le due masse.
Tutto ha un senso in fisica.
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