Problema meccanica quantistica e tetraedro
ciao a tutti, tra le esercitazione per l'esame di teorica mi è capito questo problema che mi lascia molto perplessa, spero mi possiate aiutare o anche suggerire qualche fonte, teorica/pratica, simile per approfondire l'argomento
Sia data una molecola tridimensionale formata da quattro atomi posti nei vertici di un tetraedro . Una particella di massa m può trovarsi su uno degli atomi che formano la molecola, con energia E e lo stato corrispondente sia |1>=(1,0,0,0), |2>=(0,1,0,0); |3>=(0,0,1,0); |4>=(0,0,0,1), con ovvio significato dei simboli.
1) Scrivere l’Hamiltoniano H0 in questa base.
Supponiamo che la particella possa muoversi da uno qualsiasi degli atomi verso gli altri e viceversa. Sia a l’energia associata alle transizioni tra i vari atomi.
2) Scrivere l’Hamiltoniano H1 corrispondente a questi processi.
6) Definire un opportuno operatore che commuti con H.
7) Se a t=0 la particella si trova localizzata su uno dei vertici, per esempio sul vertice 1, discutere l’evoluzione temporale di tale stato nonché l’esistenza di istanti di tempo per i quali la particella sia localizzata sui diversi vertici del tetraedro.
quindi :
L' H0 è semplicemente una matrice i cui elementi diagonali sono diversi da zero = E_0
ma non riesco a capire come si valuta lo spostamento della particella, cosa avviene?
non so da dove iniziare per scrivere H1, so solo che deve avere forma con traccia 0 e gli altri elementi della matrice tutti uguali ad a, ma non comprendo come ci si arriva.
Di conseguenza ho perplessità su come costruire un operatore che commuti con H . Potreste aiutarmi a capire come si svolge o anche il significato fisico tra matrice e posizione della particella che forse non mi è chiara e non riesco ad individuare la lacuna teorica .
grazie
Sia data una molecola tridimensionale formata da quattro atomi posti nei vertici di un tetraedro . Una particella di massa m può trovarsi su uno degli atomi che formano la molecola, con energia E e lo stato corrispondente sia |1>=(1,0,0,0), |2>=(0,1,0,0); |3>=(0,0,1,0); |4>=(0,0,0,1), con ovvio significato dei simboli.
1) Scrivere l’Hamiltoniano H0 in questa base.
Supponiamo che la particella possa muoversi da uno qualsiasi degli atomi verso gli altri e viceversa. Sia a l’energia associata alle transizioni tra i vari atomi.
2) Scrivere l’Hamiltoniano H1 corrispondente a questi processi.
6) Definire un opportuno operatore che commuti con H.
7) Se a t=0 la particella si trova localizzata su uno dei vertici, per esempio sul vertice 1, discutere l’evoluzione temporale di tale stato nonché l’esistenza di istanti di tempo per i quali la particella sia localizzata sui diversi vertici del tetraedro.
quindi :
L' H0 è semplicemente una matrice i cui elementi diagonali sono diversi da zero = E_0
ma non riesco a capire come si valuta lo spostamento della particella, cosa avviene?
non so da dove iniziare per scrivere H1, so solo che deve avere forma con traccia 0 e gli altri elementi della matrice tutti uguali ad a, ma non comprendo come ci si arriva.
Di conseguenza ho perplessità su come costruire un operatore che commuti con H . Potreste aiutarmi a capire come si svolge o anche il significato fisico tra matrice e posizione della particella che forse non mi è chiara e non riesco ad individuare la lacuna teorica .
grazie
Risposte
Ciao. Non c'è nessun calcolo da fare e probabilmente questo è il motivo che ti sconvolge. Dal punto di vista teorico devi avere presente che gli elementi di matrice rappresentano delle transizioni tra due stati. Quindi gli elementi diagonali della matrice cercata non presenteranno nessuna transizione poiché la particella è nel vertice e l'energia rimane quella precedente. In tutti gli altri casi la transizione è sempre uguale per sinmetria, poiché il tetraedro non ha una orientazione preferenziale. Le energie di transizione saranno quindi tutte uguali ed il testo le chiama "a". La matrice complessiva del sistema sarà $H_0+H_1$
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