Problema meccanica Hamiltoniana
Ciao a tutti,
ho un problema relativo alla Meccanica Hamiltoniana che non riesco proprio a risolvere, anche guardando su vari testi o su vari siti internet, spero mi possiate aiutare:
Data un Hamiltoniana H(q,p) e data una funzione G, verificare che questa è un integrale primo; ok, fin qui ci sono, basta verificare che la parentesi di Poisson {H,G}=0, giusto?
il mio cruccio è il problema inverso: se ho una Hamiltoniana (tra l'altro funzione di 4 parametri, H (q1,q2,p1,p2), se il problema mi chiede di trovare una funzione G(q1,q2,p1,p2) tale per cui {H,G}=0, come faccio? viene un'equazione alle derivate parziali, non proprio semplice da risolvere...o sbaglio? devo applicare qualche altra nozione?
spero mi sappiate aiutare perchè non so dove sbattere la testa. Grazie in anticipo,
ciao
ho un problema relativo alla Meccanica Hamiltoniana che non riesco proprio a risolvere, anche guardando su vari testi o su vari siti internet, spero mi possiate aiutare:
Data un Hamiltoniana H(q,p) e data una funzione G, verificare che questa è un integrale primo; ok, fin qui ci sono, basta verificare che la parentesi di Poisson {H,G}=0, giusto?
il mio cruccio è il problema inverso: se ho una Hamiltoniana (tra l'altro funzione di 4 parametri, H (q1,q2,p1,p2), se il problema mi chiede di trovare una funzione G(q1,q2,p1,p2) tale per cui {H,G}=0, come faccio? viene un'equazione alle derivate parziali, non proprio semplice da risolvere...o sbaglio? devo applicare qualche altra nozione?
spero mi sappiate aiutare perchè non so dove sbattere la testa. Grazie in anticipo,
ciao
Risposte
"skyluke89":
Data un Hamiltoniana H(q,p) e data una funzione G, verificare che questa è un integrale primo; ok, fin qui ci sono, basta verificare che la parentesi di Poisson {H,G}=0, giusto?
Si, se $G$ non dipende da $t$.
"skyluke89":
il mio cruccio è il problema inverso: se ho una Hamiltoniana (tra l'altro funzione di 4 parametri, H (q1,q2,p1,p2), se il problema mi chiede di trovare una funzione G(q1,q2,p1,p2) tale per cui {H,G}=0, come faccio? viene un'equazione alle derivate parziali, non proprio semplice da risolvere...o sbaglio? devo applicare qualche altra nozione?
Ma infatti a quanto ne so non è così facile ricavare gli integrali di moto, in genere si ricorre a stratagemmi, come gruppi di simmetrie, se sai che la tua Hamiltoniana è invariante rispetto ad un dato gruppo di simmetria allora la grandezza associata a quel gruppo è integrale di moto...
Ciò che dici comunque è giusto, il sistema da impostare è quello, almeno in linea teorica.
Il metodo delle parentesi di poisson è estremamente utile per dire se una DATA variabile fisica è integrale di moto.
ah, innanzitutto grazie per la risposta! 
per es, la mia Hamiltoniana è codesta:
H (q1,q2,p1,p2) = ½[(p1² + 2p1q1 + p2²) / ( q1+q2)] + q1² -q1q2 + q2²
...nello specifico come potrei fare? i gruppi di simmetria purtroppo non li ho ancora presi in mano...
per es, la mia Hamiltoniana è codesta:
H (q1,q2,p1,p2) = ½[(p1² + 2p1q1 + p2²) / ( q1+q2)] + q1² -q1q2 + q2²
...nello specifico come potrei fare? i gruppi di simmetria purtroppo non li ho ancora presi in mano...
Sei sicuro che l'espressione corretta della tua Hamiltoniana sia:
$1/2[(p_1^2 + 2p_1q_1 + p_2^2) / ( q_1+q_2)] + q_1^2-q_1q_2 + q_2^2 $
e non magari:
$ 1/2[(p_1^2 + 2p_1p_2 + p_2^2) / ( q_1+q_2)] + q_1^2 -q_1q_2 + q_2^2 $
Perché in questo caso ci sarebbero due quadrati perfetti, mentre nel primo caso solo uno...
$1/2[(p_1^2 + 2p_1q_1 + p_2^2) / ( q_1+q_2)] + q_1^2-q_1q_2 + q_2^2 $
e non magari:
$ 1/2[(p_1^2 + 2p_1p_2 + p_2^2) / ( q_1+q_2)] + q_1^2 -q_1q_2 + q_2^2 $
Perché in questo caso ci sarebbero due quadrati perfetti, mentre nel primo caso solo uno...
sicuro, è proprio cosi... inoltre dubito che sia un errore del testo, anche perchè H è funzione anche di p2, e se fosse come dici tu p2 non comparirebbe nell'Hamiltoniana...
EDIT: scusa, p2 compare anche nella tua, non mi ero accorto... comunque non saprei, il testo dice cosi, magari è un errore...
se fosse come hai detto tu, come lo faresti?
EDIT: scusa, p2 compare anche nella tua, non mi ero accorto... comunque non saprei, il testo dice cosi, magari è un errore...
se fosse come hai detto tu, come lo faresti?
Scusa ma ho sbagliato a scrivere, ora ho corretto, comunque se dici che sei sicuro è un mistero... cioè nel caso che ho descritto si avrebbe una hamiltoniana molto più facile da gestire, del tipo:
$H = ((p_1+p_2)^2 + (q_1-q_2)^2 *(q_1+q_2))/(q_1+q_2)$
che è della forma $(P^2 + Q^2H)/(H)$
Nel tuo caso non so come aiutarti...
$H = ((p_1+p_2)^2 + (q_1-q_2)^2 *(q_1+q_2))/(q_1+q_2)$
che è della forma $(P^2 + Q^2H)/(H)$
Nel tuo caso non so come aiutarti...
ti faccio notare che anche il secondo pezzo non è un quadrato perfetto, manca infatti un 2 al termine misto... purtroppo... xD
Ah cavolo è vero! E allora c'è poca speranza...
eh... 
dunque non mi ricordo più come si faceva (non sono ancora arrivato a studiare quella parte dell'esame, l'avevo solo visto in classe)
ma mi pare che ad esempio, se hai un' Hamiltoniana invariante per rotazioni si conserva il momento angolare rispetto all'asse di rotazione...
Si dovrebbe riuscire comunque a dimostrare facilmente.
Prendi il gruppo delle Rotazioni proprie (che non invertono gli assi) [tex]SO(3)[/tex] a questo punto XD non mi ricordo a cosa si applicava! Se nessuno ti risponde guardo se ritrovo il discorso...
P.S. guarda qua: formule
dunque non mi ricordo più come si faceva (non sono ancora arrivato a studiare quella parte dell'esame, l'avevo solo visto in classe)ma mi pare che ad esempio, se hai un' Hamiltoniana invariante per rotazioni si conserva il momento angolare rispetto all'asse di rotazione...
Si dovrebbe riuscire comunque a dimostrare facilmente.
Prendi il gruppo delle Rotazioni proprie (che non invertono gli assi) [tex]SO(3)[/tex] a questo punto XD non mi ricordo a cosa si applicava! Se nessuno ti risponde guardo se ritrovo il discorso...
P.S. guarda qua: formule
Comunque in effetti verrebbe un cubo perfetto se guardi:
$(p_1^2 + 2p_2q_2+p_2^2 + (q_1+q_2)(q_1^2 - q_1q_2 + q_2)^2) / (q_1+ q_2) = (p_1^2 + 2p_2q_2+p_2^2 + q_1^3 + q_2^3)/ (q_1+ q_2)$
Se ora anche il primo pezzo fosse un quadrato perfetto verrebbe fuori:
$((p_1+p_2)^2 + q_1^3+q_2^3) / (q_1+q_2)$
lievemente più trattabile...
$(p_1^2 + 2p_2q_2+p_2^2 + (q_1+q_2)(q_1^2 - q_1q_2 + q_2)^2) / (q_1+ q_2) = (p_1^2 + 2p_2q_2+p_2^2 + q_1^3 + q_2^3)/ (q_1+ q_2)$
Se ora anche il primo pezzo fosse un quadrato perfetto verrebbe fuori:
$((p_1+p_2)^2 + q_1^3+q_2^3) / (q_1+q_2)$
lievemente più trattabile...
ok, nel caso fosse più trattabile come dici tu, per risolvere il prob comunque che dovrei fare? svolgere le parentesi di Poisson?
ps. a Fox, grazie per il link
ps. a Fox, grazie per il link
La teoria dice che se La parentesi di Poisson di una f (indipendente dal tempo) con H fa 0, allora f esprime una legge di conservazione. Quindi non devi svolgere un'equazione alle derivate parziali incasinatissima, ma devi trovare una legge di conservazione... Comunque in teoria da come è scritto il testo mi pare che io possa prendere come f anche una f costante... in quel caso è ovvio che la parentesi di poisson faccia 0... però mi pare un barbatrucco!
Se, come credo io la tua domanda è generale, non legata cioè alla forma specifica della tua hamiltoniana che hai scritto nel post sopra,
la risposta matematica alla tua domanda è il teorema di Noether
guarda qui
http://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem
mi dispiace di non sapertelo spiegare in parole semplici ma non l'ho studiato nemmeno io ancora...
Un buon libro dove lo puoi trovare e dove è spiegata bene (secondo me) la meccanica analitica è
Fasano Marmi "Meccanica Analitica", Bollati Boringhieri (quei libri grigi per intendersi che secondo me sono molto fatti bene)
la risposta matematica alla tua domanda è il teorema di Noether
guarda qui
http://en.wikipedia.org/wiki/Noether%27s_theorem
mi dispiace di non sapertelo spiegare in parole semplici ma non l'ho studiato nemmeno io ancora...
Un buon libro dove lo puoi trovare e dove è spiegata bene (secondo me) la meccanica analitica è
Fasano Marmi "Meccanica Analitica", Bollati Boringhieri (quei libri grigi per intendersi che secondo me sono molto fatti bene)
ah si, avevo un mezzo sentore che il teorema di Noether potesse c'entrare, allora penso che mi toccherà vedermelo bene.
comunque grazie ad entrambi, domani vedo i link che mi avete postato..grazie di nuovo
comunque grazie ad entrambi, domani vedo i link che mi avete postato..grazie di nuovo
ok, ho letto qualcosina sul teorema di Noether e le costanti del moto, credo di averci capito qualcosina in più. Vi faccio un esempio, ditemi se ho capito oppure sto dicendo stupidaggini:
Ho preso un altro esercizio, l'Hamiltoniana in questo caso è:
$ 4p1² + 4p2² + q2² $
se ho ben capito, ho che in questo caso la coordinata q1 è ciclica, dato che non compare nell'Hamiltoniana; quindi l'Hamiltoniana è invariante rispetto a questa coordinata, e dato che $ p' = (dL)/(dq) $, ho che $ (dL)/(dq1) =0 $, da cui $ p1'=0 $ , quindi p1 si conserva ed è una costante del moto; quindi come integrale primo posso prendere f=p1, e in effetti se faccio le parentesi di Poisson {f,H} mi esce proprio 0.
Può essere cosi?
Ho preso un altro esercizio, l'Hamiltoniana in questo caso è:
$ 4p1² + 4p2² + q2² $
se ho ben capito, ho che in questo caso la coordinata q1 è ciclica, dato che non compare nell'Hamiltoniana; quindi l'Hamiltoniana è invariante rispetto a questa coordinata, e dato che $ p' = (dL)/(dq) $, ho che $ (dL)/(dq1) =0 $, da cui $ p1'=0 $ , quindi p1 si conserva ed è una costante del moto; quindi come integrale primo posso prendere f=p1, e in effetti se faccio le parentesi di Poisson {f,H} mi esce proprio 0.
Può essere cosi?
Ciao a tutti!
Si, se l'Hamiltoniana è indipendente da una certa coordinata $q_i$ allora la quantità di moto associata si conserva, o se vuoi è un integrale primo. Questa cosa la puoi vedere come un esempio del teorema di Noether applicato ad un sistema specifico. Un altro esempio può essere l'energia del sistema, che si conserva se l'hamiltoniana non dipende dal tempo. Oppure il momento angolare per la indipendenza dagli angoli, anche se quest'ultima è un po' forte come affermazione sarebbe meglio dire invarianza per rotazioni. Questo perchè è proprio il teorema di Noether a collegare il fatto che esista una quantità conservata col fatto che il sistema sia invariante rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni, traslazioni (anche temporali) e rotazioni spaziali per casi precedenti.
Ehm.....adesso devo uscire....magari dopo aggiungo qualcosa di attinente al tuo esercizio...sorry...
Si, se l'Hamiltoniana è indipendente da una certa coordinata $q_i$ allora la quantità di moto associata si conserva, o se vuoi è un integrale primo. Questa cosa la puoi vedere come un esempio del teorema di Noether applicato ad un sistema specifico. Un altro esempio può essere l'energia del sistema, che si conserva se l'hamiltoniana non dipende dal tempo. Oppure il momento angolare per la indipendenza dagli angoli, anche se quest'ultima è un po' forte come affermazione sarebbe meglio dire invarianza per rotazioni. Questo perchè è proprio il teorema di Noether a collegare il fatto che esista una quantità conservata col fatto che il sistema sia invariante rispetto ad un certo gruppo di trasformazioni, traslazioni (anche temporali) e rotazioni spaziali per casi precedenti.
Ehm.....adesso devo uscire....magari dopo aggiungo qualcosa di attinente al tuo esercizio...sorry...
d'altronde in questo caso l' Hamiltoniana stessa non dipende esplicitamente dal tempo quindi l'Hamiltoniana stessa è un integrale primo del moto
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