Problema massa che scivola su semisfera liscia
Salve a tutti, avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio ( dal Menuccini-Silvestrini), ho scannerizzato l'immagine dell'esercizio che trovate in allegato ( se dovesse essere un problema, la elimino)
[img]https://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=2695[/img]
Il mio ragionamento è questo, dove sembra che io trascuri una qualche forza
Inizio considerando l'istante in cui la massa piccola è scivolata e si trova a un angolo $theta$ rispetto alla posizione iniziale e considero la forza peso che agisce su di esso.La scompongo nella componente perpendicolare e tangente al corpo, ottenendo che
$F_N = mgcos(theta)$
$F_T = mgsin(theta)$
Inoltre disegnando la scomposizione della forza peso, osservo che la componente normale non è completamente "assorbita" dal piano perchè forma un angolo $(pi/2 -theta)$ con il suolo, quindi la scompongo a sua volta, ottenendo un altro vettore che agisce in orizzontale contro la sfera, di modulo $mgcos(theta)sin(theta)$ e uno in verticale sul corpo più piccolo di modulo $mgcos^2(theta)$
Ora procedo a calcolare il lavoro effettuato per portare la massa dalla posizione iniziale a quella presa in considerazione, che considero l'ultimo istante in cui analizzare il sistema.
La posizione della sfera è $r(theta)=(Rcos(pi/2 -theta),Rsin(pi/2 -theta))=(Rsin(theta),Rcos(theta))$
Quindi il lavoro è uguale a $L = int_(Rcos(theta))^(R) ( mgcos^2(theta) +mgcos(theta))dx = Rmgcos^2(theta)(1-cos(theta))$
A questo punto passo al teorema delle forze vive.
Considerando che all'inizio la velocità del sistema è nulla e che, considerando come istante finale quello in cui la massa piccola si trova ad un angolo $theta$ rispetto alla posizione iniziale si ha
$1/2 (M+m)v^2 = Rmgcos^2(theta)(1-cos(theta))$
Da cui ricavo $v=cos(theta)sqrt((2Rmg(1-cos(theta))/(M+m)))$
Che è errato.La soluzione corretta è $v=mcos(theta)sqrt((2Rg(1-cos(theta))/((m+M)*(m+Msin^2(theta))))$
Chi ha la buona volontà si farmi capire dove sbaglio?
Una semisfera rigida di raggio $R$ e massa $M$ è appoggiata su un piano orizzontale liscio.La superficie della semisfera è priva di attrito (liscia) e sulla sua sommità è posizionato un piccolo corpo di massa $m$, in equilibrio instabile quando la sfera è ferma.A un certo istante il corpo di massa $m$ inizia a scivolare lungo la semisfera.RIcava l'espressione della velocità $v$ della semisfera rispetto al piano orizzontale nell'istante in cui il raggio passante per il corpo forma un angolo $theta$ ( come in figura, ovvero non abbastanza grande da far staccare il corpo dalla semisfera).
[img]https://www.matematicamente.it/forum/download/file.php?id=2695[/img]
Il mio ragionamento è questo, dove sembra che io trascuri una qualche forza
Inizio considerando l'istante in cui la massa piccola è scivolata e si trova a un angolo $theta$ rispetto alla posizione iniziale e considero la forza peso che agisce su di esso.La scompongo nella componente perpendicolare e tangente al corpo, ottenendo che
$F_N = mgcos(theta)$
$F_T = mgsin(theta)$
Inoltre disegnando la scomposizione della forza peso, osservo che la componente normale non è completamente "assorbita" dal piano perchè forma un angolo $(pi/2 -theta)$ con il suolo, quindi la scompongo a sua volta, ottenendo un altro vettore che agisce in orizzontale contro la sfera, di modulo $mgcos(theta)sin(theta)$ e uno in verticale sul corpo più piccolo di modulo $mgcos^2(theta)$
Ora procedo a calcolare il lavoro effettuato per portare la massa dalla posizione iniziale a quella presa in considerazione, che considero l'ultimo istante in cui analizzare il sistema.
La posizione della sfera è $r(theta)=(Rcos(pi/2 -theta),Rsin(pi/2 -theta))=(Rsin(theta),Rcos(theta))$
Quindi il lavoro è uguale a $L = int_(Rcos(theta))^(R) ( mgcos^2(theta) +mgcos(theta))dx = Rmgcos^2(theta)(1-cos(theta))$
A questo punto passo al teorema delle forze vive.
Considerando che all'inizio la velocità del sistema è nulla e che, considerando come istante finale quello in cui la massa piccola si trova ad un angolo $theta$ rispetto alla posizione iniziale si ha
$1/2 (M+m)v^2 = Rmgcos^2(theta)(1-cos(theta))$
Da cui ricavo $v=cos(theta)sqrt((2Rmg(1-cos(theta))/(M+m)))$
Che è errato.La soluzione corretta è $v=mcos(theta)sqrt((2Rg(1-cos(theta))/((m+M)*(m+Msin^2(theta))))$
Chi ha la buona volontà si farmi capire dove sbaglio?
Risposte
"caffeinaplus":
Ora procedo a calcolare il lavoro effettuato per portare la massa dalla posizione iniziale a quella presa in considerazione, che considero l'ultimo istante in cui analizzare il sistema.
La posizione della sfera è $r(theta)=(Rcos(pi/2 -theta),Rsin(pi/2 -theta))=(Rsin(theta),Rcos(theta))$
Quindi il lavoro è uguale a $L = int_(Rcos(theta))^(R) mgcos^2(theta)dx = Rmgcos^2(theta)(1-cos(theta))$
Non ho capito perchè c'è quel termine $cos^2(theta)$. Il lavoro non è solo la variazione dell'energia potenziale, ossia $Rmg(1-cos(theta))$ ?
Grazie della risposta 
Il $cos^2(theta)$ salta fuori perchè, come ho scritto su la forza normale in parte viene "assorbita" dalla sfera, dato che $F_N$ non è perfettamente indirizzata verso il suolo.Quindi scompongo nuovamente $F_N$ per ottenere la componente che punta al suolo e quella che punta contro la sfera.
La componente che punta dirittamente al suolo risulta essere $F_(NV) = F_N*sin(pi/2-theta) = mgcos^2(theta)$
Piccolo edit: anche se ho rifatto i conti e non mi pare cambi la situazione, avevo dimenticato un termine nel lavoro, lo aggiungo per correttezza
Il $cos^2(theta)$ salta fuori perchè, come ho scritto su la forza normale in parte viene "assorbita" dalla sfera, dato che $F_N$ non è perfettamente indirizzata verso il suolo.Quindi scompongo nuovamente $F_N$ per ottenere la componente che punta al suolo e quella che punta contro la sfera.
La componente che punta dirittamente al suolo risulta essere $F_(NV) = F_N*sin(pi/2-theta) = mgcos^2(theta)$
Piccolo edit: anche se ho rifatto i conti e non mi pare cambi la situazione, avevo dimenticato un termine nel lavoro, lo aggiungo per correttezza
Non sta in piedi. Con quella espressione il lavoro sarebbe zero per $theta =90°$, ti pare sensato? E poi, cosa c'entra la forza normale? Il lavoro lo fa il peso.
Non riesco a seguirti,
Il lavoro lo la forza peso e sono d'accordo, solo che parte della forza non viene usata per portare il corpo da $A$ a $B$ ma va sprecata (come succede nel piano inclinato), quindi il lavoro effettivamente viene svolto dalla parte normale della forza peso del corpo m.
Sei d'accordo o ho torto?Se ho torto vorrei sapere perché visto che a quel punto il mio errore è alla radice e vorrei correggerlo
Il lavoro lo la forza peso e sono d'accordo, solo che parte della forza non viene usata per portare il corpo da $A$ a $B$ ma va sprecata (come succede nel piano inclinato), quindi il lavoro effettivamente viene svolto dalla parte normale della forza peso del corpo m.
Sei d'accordo o ho torto?Se ho torto vorrei sapere perché visto che a quel punto il mio errore è alla radice e vorrei correggerlo
Anche io non ti seguo. Forse non ho capito cosa intendi per "forza normale". Quella che è diretta verso il centro della sfera? E che cosa "va sprecato"? Nel moto lungo un piano inclinato va sprecato qualcosa?
E, tanto per capirci, come calcoli il lavoro compiuto per scendere da un piano inclinato lungo L e alto H? Non è banalmente $mgH$, senza tante scomposizioni e forze normali?
Infine: non hai preso in considerazione la mia obiezione a $cos^2 theta$, male, perchè, se una formula dà un risultato evidentemente sballato, non può essere giusta, per quanti meravigliosi argomenti si possano portare.
E, tanto per capirci, come calcoli il lavoro compiuto per scendere da un piano inclinato lungo L e alto H? Non è banalmente $mgH$, senza tante scomposizioni e forze normali?
Infine: non hai preso in considerazione la mia obiezione a $cos^2 theta$, male, perchè, se una formula dà un risultato evidentemente sballato, non può essere giusta, per quanti meravigliosi argomenti si possano portare.
Si con forza normale intendo la componente della forza peso diretta verso il centro della semisfera!
Che non va "sprecata" ( l'ho detto proprio terra terra effettivamente
) ma si annulla per via del vincolo, che per il corpo piccolo è la semisfera.
Per il lavoro, in questo caso $H$ corrisponde alla differenza tra $R$(quando l'angolo è $pi/2$) e $Rcos(theta)$ se consideri l'angolo come $pi/2-theta$
Comunque l'ho spiegato dove salta fuori $cos^2(theta)$!
Che non va "sprecata" ( l'ho detto proprio terra terra effettivamente
) ma si annulla per via del vincolo, che per il corpo piccolo è la semisfera.Per il lavoro, in questo caso $H$ corrisponde alla differenza tra $R$(quando l'angolo è $pi/2$) e $Rcos(theta)$ se consideri l'angolo come $pi/2-theta$
Comunque l'ho spiegato dove salta fuori $cos^2(theta)$!
"caffeinaplus":
Comunque l'ho spiegato dove salta fuori $cos^2(theta)$!
Quel che dovresti spiegare è il fatto che per $theta = pi/2$ il lavoro risulterebbe zero. Oppure zero ti va bene?
Tanto per iniziare grazie della pazienza
Ho messo l'immagine in bella vista nel testo piuttosto che come allegato perché magari stufa scaricarla.Da li si vede che se scelgo $theta=pi/2$ il lavoro è effettivamente 0 perché è perpendicolare alla forza peso.
Comunque $theta$ è costante, l'unica limitazione su di essa è che è appunto minore di $pi/2$ nel caso dell'esercizio
Ho messo l'immagine in bella vista nel testo piuttosto che come allegato perché magari stufa scaricarla.Da li si vede che se scelgo $theta=pi/2$ il lavoro è effettivamente 0 perché è perpendicolare alla forza peso.
Comunque $theta$ è costante, l'unica limitazione su di essa è che è appunto minore di $pi/2$ nel caso dell'esercizio
"caffeinaplus":
$theta=pi/2$ il lavoro è effettivamente 0 perché è perpendicolare alla forza peso.
Cioè, il lavoro per andare dalla cima della semisfera fino a terra è zero???
Hai ragione sono andato in confusione nell'ultimo messaggio, dovrebbe essere $mgcos(theta)$ se accetti che l'angolo tra il suolo e la massa è $pi/2-theta$ e prendenso come riferimento il punto $O$ nell'immagine
Edit: comunque non capisco dove stai cercando di portarmi
Edit: comunque non capisco dove stai cercando di portarmi
"caffeinaplus":
Hai ragione sono andato in confusione nell'ultimo messaggio, dovrebbe essere $mgcos(theta)$ se accetti che l'angolo tra il suolo e la massa è $pi/2-theta$ e prendenso come riferimento il punto $O$ nell'immagine
Edit: comunque non capisco dove stai cercando di portarmi
Da nessuna parte...
Non ti sto fornendo una soluzione. Sto solo segnalando un passaggio che secondo me è sbagliato. Se nell'espressione del lavoro compiuto dal peso durante la discesa ci infili una costante moltiplicativa $cos theta$, o $cos^2 theta$, a scelta, risulta che se dalla cima scende al piano di base il lavoro viene zero, quindi non funziona...
Ciao. Il problema esce facendo l'ipotesi (da deboli? è legittima?) che
[*:2j72d2pg] La massa della semisfera è concentrata nel punto $O$, cioè la consideriamo come un punto materiale e fingiamo esista un'asta di lunghezza $R$ tra le due masse.[/*:m:2j72d2pg][/list:u:2j72d2pg]
Chiamiamo $P$ il punto di massa $m$ e fissiamo una base ortonormale $(e_1, e_2)$ nel punto dove si trova inizialmente $O$. Allora i punti $O$ e $P$ si scrivono in coordinate come
$$O = x e_1 \\
P = (x + R \sin(\theta)) e_1 + R \cos(\theta) e_2.$$
La derivata del vettore $P$ rispetto al tempo è $\dot{P} = (\dot{x} + R \cos(\theta) \dot{\theta}) e_1 - R \sin(\theta) \dot{\theta} e_2$, quindi la velocità al quadrato del punto $P$ è
$$v_p^2 = \langle \dot{P}, \dot{P} \rangle = \dot{x}^2 + 2 R \cos(\theta) \dot{x} \dot{\theta} + R^2 \dot{\theta}^2.$$
Ora usiamo la conservazione dell'energia e la conservazione della quantità di moto (
$$\frac{1}{2} M \dot{x}^2 + \frac{1}{2} m (\dot{x}^2 + 2 R \cos(\theta) \dot{x} \dot{\theta} + R^2 \dot{\theta}^2) + m g R \cos(\theta) = m g R \\
M \dot{x} + m(\dot{x} + R \cos(\theta) \dot{\theta}) = 0$$
dove i valori a desta si ottengono valutando le espressioni allo stato iniziale $x = \theta = \dot{x} = \dot{\theta} = 0$.
Se si ricavano $\dot{\theta}$ e $\cos(\theta) \dot{\theta}$ dalla seconda equazione e si sostituiscono nella prima equazione, facendo un po' di conti, dovrebbe uscire
$$v_O^2 = \dot{x}^2 = m^2 \cos^2(\theta) \frac{2gR(1 - \cos(\theta))}{(M+m)(M + m \sin^2(\theta))}.$$
Cheers
Edit. Una riflessione(al limite del delirio notturno). La seconda quantità conservata non è proprio la proiezione della quantità di moto lungo $e_1$. In questo problema la quantità di moto non si conserva, infatti se prendi la componente lungo $e_2$ trovi $m R \sin(\theta)$ che chiaramente non si conserva. Allora come diamine funziona?
In meccanica razionale si definisce un "momento" per ogni coordinata (nel nostro caso le coordinate sono $(x, \theta)$), e classicamente momenti associati a coordinate cartesiane sono chiamati "quantità di moto", mentre momenti associati a coordinate angolari sono chiamati "momenti angolari".
Generalmente i momenti non si conservano. Ad esempio il momento associato a $\theta$ in questo problema non si conserva.
La ragione per cui il momento associato alla coordinata $x$ si conserva è che il sistema meccanico ha una simmetria rispetto quella coordinata (se pensi di traslare il sistema fisico di una costante $c$ lungo l'asse, l'evoluzione del sistema è la tralsazione dell'evoluzione originaria). Analogamente la conservazione dell'energia corrisponde alla simmetria del sistema fisico rispetto al tempo. Il fatto che a ogni simmetria corrisponde una quantità conservata è detto teorema di Noether.
La maniera più facile per risolvere problemi fisici è cercare, mentalmente o usando strumenti, delle coordinate che corrispondono a simmetrie, in modo tale da ottenere quantità conservate. Se trovi tante quantità conservate quanti sono i parametri, nel nostro caso $2$, allora hai la vittoria assicurata, o quasi perché devi risolvere un sistema di equazioni possibilmente brutto.
Per molti problemi non è possibile trovare sufficienti quantità conservate, e.g. sistemi caotici come il bipendolo. Tuttavia per gli esercizi di meccanica che non vogliono dimostrare questo fatto è sempre possibile™.
Grazie mille per la risposta cosi completa!
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