Problema legge gravitazione universale.

[Just_me1]

Probabilmente sarà una domanda banale e semplice ma non capisco una cosa. La forza gravitazionale che si esercita tra 2 corpi è data da: Fg= (G*$M_1$*$m_2$)/D^2 dove D è la distanza fra i 2 corpi. Facciamo adesso questo esempio.Appendiamo un corpo di massa $M_1$ ad una fune inestensibile e priva di massa di Tensione
T= $M_1$*g che sostiene il corpo evitando di farlo cadere sotto l'effetto della gravità. Adesso poniamo quasi a contatto un corpo di massa $m_2$ sotto il corpo $M_1$ che è sorretto dalla fune. Il corpo di massa $M_1$ esercita una forza attrattiva su l'altro con una intensità pari a Fg= (G*$M_1$*$m_2$)/D^2 mentre il centro della terra esercita una forza sempre sul corpo 2 pari a $m_2$ *g ma opposta(g ovviamente varia in funzione della distanza dal centro della terra ma supponiamo di essere in superficie). Ora ammettendo di mettere i corpi 1 e 2 talmente vicini da avere una distanza piccolissima fra loro, la formula Fg= (G*$M_1$*$m_2$)/D^2 indica che ci sarebbe una attrazione fortissima esercitata dal corpo 1 sul 2 più forte di quella esercitata dal centro della Terra sul corpo 2.Nonostante questo il corpo 2 cade ovviamente ugualmente a terra.Qualcuno sa spiegarmi dove sta l'errore?

[cyd1]

ciao,
il mio ragionamento potrebbe essere sbagliato, comunque penso sia dovuto al fatto che le forze interne del sistema sono equivalenti ad una coppia di braccio nullo, cioè a zero.
infatti se $F_(12)$ è la forza che m1 esercita su m2 e $F_(21)=-F_(12)$ quella di m2 su m1 e
se $m_1$ e $m_2$ sono i due corpi, $m_1$ è quello appeso allora l'eq. fondamentale della dinamica proiettata lungo la verticale è:
$m_1ddot(y)_1 + m_2 ddot(y)_2 = F_(12) + F_(21) + T_1 - m_1 g - m_2g = -m_2 g$

poichè $m_1ddot(y)_1 + m_2 ddot(y)_2 = d^2/(dt^2) ( m_1 y_1 + m_2 y_2) = d/(dt) mv_g$ si ritrova l'equazione cardinale, cioè $d/(dt) q = sum F_(ext) + phi$

ma allora, dalla prima eq il baricentro si muoverà con accelerazione data da $(m_1 + m_2) ddot(y)_g = -m_2 g$ e per definizione di baricentro si ha:
$(m_1 + m_2) y_g = m_1 y_1 + m_2 y_2$ cioè, derivando due volte $ (m_1 + m_2) ddot(y)_g = m_1 ddot(y)_1 + m_2 ddot(y)_2$
da cui $ ddot(y)_2 = (m_1 + m_2)/m_2 ddot(y)_g - m_1/m_2 ddot(y)_1$
poiche $ddot(y)_1=0$ allora $ddot(y)_2 = (m_1 + m_2)/m_2 ddot(y)_g = - g$ quindi il corpo m2 si muove con legge $ddot(y)_2 = -g$ cioè come se fosse solo soggetto a m2_g

[Falco5x]

Confesso che non ho letto cyd, mi sono spaventato subito.

Ad ogni modo la mia spiegazione è semplice.
La considerazione di Just_me è giusta in linea di principio, però affinché i due corpi siano talmente vicini da esercitare l'uno sull'altro una attrazione maggiore di quella terrestre, dovrebbero essere talmente densi da avere la massa concentrata in un volume piccolissimo, cosa praticamente impossibile.
Supponiamo che siano due piccole sfere di massa m1 e m2: la somma dei loro raggi dovrebbe essere minore o uguale alla distanza richiesta per ottenere la forza desiderata. Infatti la distanza da considerare è quella tra i centri delle due sfere. A conti fatti viene fuori una dimensione così minuscola e una densità così enorme (la massa deve rimanere sempre quella) da essere praticamente irrealizzabile. E poi andremmo a dimensioni subatomiche dove diventano preponderanti altre forze ben più consistenti della gravità.

[Just_me1]

Capisco quello che dicied evidentemente è così,ma se ad esempio prendessi in esame il corpo 2 stesso e eseguo uno schema di corpo libero vedo che sul corpo 2 agiscono la forza di gravità m2*g e la forza di attrazione del corpo 1 e nessun'altra forza..dunque la sommatoria delle forze esterne agenti su m2 è data da m2*a dunque per il corpo 2 vale che :

-m2*g+ (G*$M_1$*$m_2$)/D^2 =m2*a dunque l'accelerazione risultante per a sarebbe verso l'alto visto che D^2 è molto piccolo..ma sicuramente sbaglio il modo di ragionare

Questa risposta era per cyd

[Just_me1]

"Falco5x":Confesso che non ho letto cyd, mi sono spaventato subito.

Ad ogni modo la mia spiegazione è semplice.
La considerazione di Just_me è giusta in linea di principio, però affinché i due corpi siano talmente vicini da esercitare l'uno sull'altro una attrazione maggiore di quella terrestre, dovrebbero essere talmente densi da avere la massa concentrata in un volume piccolissimo, cosa praticamente impossibile.
Supponiamo che siano due piccole sfere di massa m1 e m2: la somma dei loro raggi dovrebbe essere minore o uguale alla distanza richiesta per ottenere la forza desiderata. Infatti la distanza da considerare è quella tra i centri delle due sfere. A conti fatti viene fuori una dimensione così minuscola e una densità così enorme (la massa deve rimanere sempre quella) da essere praticamente irrealizzabile. E poi andremmo a dimensioni subatomiche dove diventano preponderanti altre forze ben più consistenti della gravità.

Adesso capisco..non avevo considerato che devo tenere conto della distanza dei 2 corpi dal loro centro di massa rispettivo che non può essere più di un certo valore!