Problema Lavoro/energia
Un punto P, di massa m, scivola senza attrito lungo una guida fissa AB che ha la forma di un arco di circonferenza(raggio R e centro C) avente ampiezza angolare ACB = (pigreco / 2) + theta con theta = pigreco/3. P parte da fermo in A e dopo B cade nel vuoto.
1. Massima quota raggiunta da P rispetto il piano orizzontale su cui giace O.
2. Velocità di P prima di cadere.
Vi allego per chiarezza il disegno.
Io direi che K(i)=K(f)=0 per via delle velocità iniziali e finali nulle.A fare lavoro è solo la forza peso che è conservativa e quindi E(i) = E(f).
E(i) = K(i) + Upi = 0 + mgr dove R è la quota che ha in A.
E(f) = K(f) + Upf = 0 + mgh con h quota incognita.
Il mio problema è nel punto 1 principalmente perchè ho ancora dei dubbi su come fissare le quote per il potenziale della forza peso.
Qualche consiglio?
1. Massima quota raggiunta da P rispetto il piano orizzontale su cui giace O.
2. Velocità di P prima di cadere.
Vi allego per chiarezza il disegno.
Io direi che K(i)=K(f)=0 per via delle velocità iniziali e finali nulle.A fare lavoro è solo la forza peso che è conservativa e quindi E(i) = E(f).
E(i) = K(i) + Upi = 0 + mgr dove R è la quota che ha in A.
E(f) = K(f) + Upf = 0 + mgh con h quota incognita.
Il mio problema è nel punto 1 principalmente perchè ho ancora dei dubbi su come fissare le quote per il potenziale della forza peso.
Qualche consiglio?
Risposte
Perché non procedi a step? Ti conviene ricavare la velocità in B e poi considerare solo la componente verticale. Devi imporre la conservazione due volte insomma.
La situazione è questa?
Direi intanto che il primo punto è espresso in modo equivoco. Si potrebbe, correttamente, notare che la massima quota raggiunta è quella di partenza,, perchè M è più basso di A. Ma forse si intende la quota di M....
In ogni caso, è' molto semplice: devi trovare la velocità in B, che è data da $V_B = sqrt(2gh)$ dove $h$ è la differenza di quota fra A e B, e questa è la risposta alla seconda domanda.
Poi, in B la velocità forma un angolo di 60° con l'orizzontale, verso l'alto, quindi la componente verticale della velocità è $V_(Bv) = V_Bsintheta$, e con questa velocità l'altezza raggiunta (rispetto a B) è $h_M = v_(Bv)^2/(2g)$
Direi intanto che il primo punto è espresso in modo equivoco. Si potrebbe, correttamente, notare che la massima quota raggiunta è quella di partenza,, perchè M è più basso di A. Ma forse si intende la quota di M....
In ogni caso, è' molto semplice: devi trovare la velocità in B, che è data da $V_B = sqrt(2gh)$ dove $h$ è la differenza di quota fra A e B, e questa è la risposta alla seconda domanda.
Poi, in B la velocità forma un angolo di 60° con l'orizzontale, verso l'alto, quindi la componente verticale della velocità è $V_(Bv) = V_Bsintheta$, e con questa velocità l'altezza raggiunta (rispetto a B) è $h_M = v_(Bv)^2/(2g)$
Ciao, grazie mille per l'aiuto.
Visti i risultati sembra essere un altro problema poiché la quota massima risulta (7/8)R e la velocità prima di cadere v = sqrt(gR)(i/2 - sqrt(7)j/2) con i e j versorsi.
I risultati sono quindi stranamente molto diversi eppure il disegno e l'interpretazione del problema fatti da te sono corretti.
Visti i risultati sembra essere un altro problema poiché la quota massima risulta (7/8)R e la velocità prima di cadere v = sqrt(gR)(i/2 - sqrt(7)j/2) con i e j versorsi.
I risultati sono quindi stranamente molto diversi eppure il disegno e l'interpretazione del problema fatti da te sono corretti.
Per il primo punto io ho fatto una cosa del genere che si avvicina(cosa sbaglio?) al risultato del libro:
Condizione iniziale: P in A
Condizione finale:P in B
E(i) = E(f)
mgR = 1/2mvB^2 + mgR(1-cos(theta))
E quindi trovo vB = sqrt(gR)
Riapplico la conservazione energia meccanica
Condizione iniziale:P in B
Condizione finale:P alla quota h da trovare
E(i)=E(f)
Quindi
1/2mvB^2 + mgR(1-cos(theta))=mgh
Quindi
h=(3/4)R
Ma non è il (7/8)R del libro
Condizione iniziale: P in A
Condizione finale:P in B
E(i) = E(f)
mgR = 1/2mvB^2 + mgR(1-cos(theta))
E quindi trovo vB = sqrt(gR)
Riapplico la conservazione energia meccanica
Condizione iniziale:P in B
Condizione finale:P alla quota h da trovare
E(i)=E(f)
Quindi
1/2mvB^2 + mgR(1-cos(theta))=mgh
Quindi
h=(3/4)R
Ma non è il (7/8)R del libro
"Ale112":
Visti i risultati sembra essere un altro problema poiché la quota massima risulta (7/8)R e la velocità prima di cadere $v = sqrt(gR)(i/2 - sqrt(7)/2j)$ con i e j versori.
I risultati sono quindi stranamente molto diversi eppure il disegno e l'interpretazione del problema fatti da te sono corretti.
$sqrt(gR)$ è la stessa cosa che $sqrt(2gh)$ con $h$ distanza verticale fra A e B. Questo è il modulo della velocità in B, $V_B$.
La scomposizione secondo i e j mi pare un po' strana, non sarà $1/2i$ e $sqrt(3)/2j$? Che corrisponde ad una inclinazione di 60°?
EDIT Mi viene il dubbio che la richiesta "velocità prima di cadere" - estremamente vaga come si vede - porrebbe significare qualcosa d'altro che la velocità in B: visto il segno negativo in J non vorrà dire la velocità immediatamente prima di toccare il suolo?
"Ale112":
Per il primo punto io ho fatto una cosa del genere che si avvicina(cosa sbaglio?) al risultato del libro:
Condizione finale:P alla quota h da trovare
E(i)=E(f)
Quindi
1/2mvB^2 + mgR(1-cos(theta))=mgh
Quindi
h=(3/4)R
Ma non è il (7/8)R del libro
Devi applicare la conservazione solo alla componente verticale della velocità, come ti è stato già detto.
Per la seconda richiesta concordo con mgrau, penso anche io sia la velocità prima di toccare il suolo. Anche questa puoi ricavarla separando le due componenti ed applicando la conservazione dell'energia o studiare il moto accelerato. Ti consiglio di prendere come punto di partenza il simmetrico di B nella traiettoria discendente, così sai la velocità e sai anche l'inclinazione, essendo speculare.
PS: Ti prego, metti un segno di dollaro $ all'inizio e alla fine di ogni formula
Il modulo della velocità è $ sqrt(gR) $ come faccio a trasformarla in forma cartesiana?
Beh quello è il modulo. Poi sai che è tangente alla guida. Hai l'angolo. Una componente avrà il coseno e l'altra il seno.
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